Напоминание

Решение квадратных уравнений


Автор: Морозова Наталья Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ "СОШ № 40"
Населённый пункт: г. Новоуральск Свердловской области
Наименование материала: методическая разработка урока
Тема: Решение квадратных уравнений
Дата публикации: 12.06.2019
Раздел: среднее образование





Назад




Методическая разработка открытого урокапо алгебре в 8 классе

Учитель Морозова Наталья Николаевна, высшая квалификационная категория,

Тема: Решение квадратных уравнений.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока: 1.Обобщить знания о способах решения всех видов квадратных

уравнений.

2. Развивать умения: выбирать рациональный способ решения,

осуществлять само- и взаимопроверку, совершенствовать

вычислительные навыки учащихся.

3.Познакомить учащихся с исторической значимостью

квадратных уравнений. Формировать культуру диалога,

умение высказывать и обосновывать независимое оценочное

суждение.

Задачи урока: 1. Повторить все виды квадратных уравнений и способы их решений.

2. Обсудить целесообразность и рациональность применения указанных

способов решения при решении уравнений

конкретного вида.

3. Сформулировать алгоритм для выбора рационального способа

решения квадратного уравнения.

4. Закрепить умение решать квадратные уравнения.

Структура урока: 1. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.

2. Формулировка целей и задач урока.

3. Фронтальная устная работа.

4. Групповая работа.

5. Тест.

6. Подведение итогов урока.

Оборудование к уроку: 1.Карточки с заданиями ,

листы наблюдения длягрупповой работы.

2. Тест «Квадратные уравнения».

3. Таблицы «Теорема Виета», « Решение квадратных

уравнений».

4. Портреты древних учёных: Бхаскара, Леонардо

Фибоначчи, Штифеля, Виета, Жирара, Декарта, Ньютона.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания.

а)Найти суммы корней уравнений домашнего задания и расшифровать слово.

1)

x

2

12

=

0

(

x

1

=

2

3 ;

x

2

=−

2

3

;

x

1

+

x

2

=

0

)

2)

1

3

x

2

+

2 x

=

0

(

x

1

=

0;

x

2

=−

6 ;

x

1

+

x

2

=−

6

)

3)

7 x

2

+

9 x

+

2

=

0

(

x

1

=−

1;

x

2

=−

2

7

;

x

1

+

x

2

=−

9

7

)

4)

5 x

2

3 x

2

=

0

(

x

1

=

1;

x

2

=−

2

5

;

x

1

+

x

2

=

3

5

)

5)

5 x

2

8 x

+

3

=

0

(

x

1

=

1;

x

2

=

3

5

;

x

1

+

x

2

=

8

5

)

1

6)

x

2

5 x

+

6

=

0

(

x

1

=

2;

x

2

=

3;

x

1

+

x

2

=

5

)

7)

x

2

2 x

8

=

0

(

x

1

=

4 ;

x

2

=−

2 ;

x

1

+

x

2

=

2

)

0-Ш -2-О

8

5

-Е -6-Т -

9

7

3

5

-5-П -

3

5

-А 2-Ь

9

7

-С 5-Л 2

3

ШТИФЕЛЬ

Что бы узнать значение этого слова предлагается прослушать сообщения учащихся об истории

развития в математике темы «Квадратные уравнения».

б) Устные сообщения учащихся.

1. История возникновения квадратных уравнений

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была

вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков

и

с

земляными

работами

военного

характера,

а

также

с

развитием

астрономии

и

самой

математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах

встречаются кроме неполных и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило

решений

этих

уравнений,

изложенное

в

вавилонских

текстах,

совпадает

с

современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все

найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными

в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря

на

высокий

уровень

развития

алгебры

в

Вавилоне,

в

клинописных

текстах

отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

б) Квадратные уравнения в Индии

Задачи

на

квадратные

уравнения

встречаются

уже

в

499

г.

В

Древней

Индии

были

распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных

индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском

своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях,

предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из

задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась.

А12-по лианам... Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных

уравнений.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-

XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака»,

написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

2

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в

Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти

во все европейские

учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений,

приведенных к единому каноническому виду х

2

+ bх = с было сформулировано в Европе лишь в

1544 г. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет

признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо

положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта,

Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2. Формулировка целей и задач урока.

Сегодня

на

уроке

мы

повторим

и

обобщим

наши

знания

о

видах

и

способах

решений

квадратных уравнений, обсудим, какие способы решения наиболее рациональны и продолжим

отработку умений решать квадратные уравнения.

3. Фронтальная работа.

1. Заданиена определение вида уравнения.(Устно).

Вопрос учащимся:

-

Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете,

какое из уравнений этой группы является лишним? Почему?

а) 1) 2x

2

- х - 0; б) 1) х

2

- 5х + 1 = 0;

2) х

2

- 16 - 0; 2) 9х

2

- 6х + 10 = 0;

3) 4x

2

+ х - 3 = 0; 3) х

2

+ 2х - 2 = 0;

4) 2x

2

= 0. 4) х

2

- 3х - 1 = 0;

Ответы:

а) 3) - лишнее, так как это полное квадратное уравнение. 1), 2), 4) - неполные квадратные

уравнения.

б) 2) - лишнее, так как это уравнение общего вида. 1), 3), 4) - приведенные квадратные

уравнения.

- Какое квадратное уравнение называется: неполным, общего вида, приведённым.

Ответы:

Неполное квадратное уравнение это уравнение вида ax

2

+

bx

+

c

=

0

, где a≠0, b=0 или

c=0 или b=c=0.

Квадратное уравнение общего вида это уравнение ax

2

+

bx

+

c

=

0

, где a≠0, b≠0, c≠0.

Приведённое квадратное уравнение это уравнение

ax

2

+

bx

+

c

=

0

,

где a≠0, b≠0, c≠0,

a=1.

2. На доске записаны 3 уравнения.

x

2

9

=

0

5 x

2

7 x

+

2

=

0

x

2

2 x

15

=

0

Вопрос учащимся.

Какими способами можно решить первое уравнение, второе.третье? Какой из этих способов

рациональнее для данного уравнения?

Ответы:

Первое уравнение можно решить

по общей формуле корней квадратного уравнения,

разложением левой части на множители, приведением его к виду

x

2

=

d

. Быстрее

решить приведением его к виду

x

2

=

d

.

( Учащиеся решают уравнение устно.

x

1,2

3

)

Второе уравнение можно решить по общей формуле корней квадратного уравнения,

методом выделения полного квадрата, по теореме, обратной теореме Виета, используя

3

свойство коэффициентов ( a+b+c=0

x

1

=

1,

x

2

=

c

a

). Быстрее

решить используя

свойство коэффициентов. ( Учащиеся решают уравнение устно.

x

1

=

1,

x

2

=

2

5

)

Третье уравнение можно решить по общей формуле корней квадратного уравнения,

методом выделения полного квадрата, по теореме, обратной теореме Виета, применяя

формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Быстрее

решить по теореме, обратной теореме Виета.

( Учащиеся решают уравнение устно.

x

1

+

x

2

=

2,

x

1

x

2

=−

15

,

x

1

=

5

,

x

2

=−

3

)

Сообщение ученика о графическом способе решения уравнений.

4. Групповая работа.

Дети объединяются в группы по 4-5 человек. Каждая группа получает 5 уравнений разного вида

, которые нужно решить любым способом. Время для решения ограничено. Получив корни

уравнений, учащиеся вычисляют их произведение и затем расшифровывают слово, которое

должны объяснить. В каждой команде назначается учителем консультант-наблюдатель. Он

помогает учащимся группы при возникновении затруднений и заполняет лист наблюдения за

работой каждого участника группы и выставляет оценки за работу. Самому консультанту

учитель выставляет оценку после проверки работы группы.

Лист наблюдения.

Фамили

я

Имя

Номер

уравнени

я

Качество

выполнени

я

Помощь участникам

группы

Оценк

а

1.

2.

3.

4.

5.

Критерии оценивания индивидуальной работы..

«3 балла»-решил уравнение сам правильно.

«2 балла»-решил уравнение с ошибкой, но сам её исправил.

«1 балл»- решил уравнение с ошибкой, но сам исправить не смог.

Помощь участникам группы учитывается количественно (+ 1балл).

Критерии оценки.

«5»-4 балла

«4»-3 балла.

Задания первой группы.

Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.

Уравнение

Корни

Произведение

корней

1. x

2

+x-2=0

1; -2

-2

2. x

2

-6x-16=0

-2; 8

-16

3 .

2 x

2

-

9x+4=0

0,5 ; 4

2

4. 6x

2

-16x=0

0;

2

2

3

0

4

5 .

3 x

2

-24x-

60=0

10; -2

-20

Произведение

корней

0

2

0

-

16

-

2

1

6

-

20

2

2

2

3

Буква

Е

С

О

К

Т

Н

Ь

П

1

2

4

5

3

К

О

Р

Е

Н

Ь

Задания второй группы.

Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово

Уравнение

Корни

Произведение

корней

1. x

2

+2x-3=0

1; -3

-3

2

. -x

2

+7x-

10=0

2; 5

10

3

. 3x

2

+7x-

6=0

-3

;

2

3

-2

4. 8x

2

-8x=0

0; 1

0

5 .

2x

2

-28x-

30=0

15; -1

-15

Произведени

е

корней

2

1

0

1

0

1

5

-

3

-

5

-

2

-6

-

15

Буква

Я

Р

Х Е

Т

У

С

В

Ж Н

1

2

3

5

4

5

4

У

Р

А

В

Н

Е

Н

И

Е

Задания третьей группы.

Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.

Уравнение

Корни

Произведение

корней

1. x

2

-3x+2=0

1; 2

2

2. -x

2

+2x+8=0

-2; 4

-8

3

. -3x

2

+2x+16=0

-2

;2

2

3

-

5

1

3

4. 8x

2

-8=0

-1; 1

-1

5 .

2x

2

-

30x+52=0

13; 2

26

Произведение

корней

1

2

4

2

3

1

2

-

5

1

3

-

2

2

6

0

-

8

8

-1

-

5

5

Буква

У К

О

Б

С

Л

Д

Я

Н

В

М Г

5

3

1

4

2

2

Д

И

С

К

Р

И

М

И

Н

А

Н

Т

Задания четвёртой группы.

Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.

Уравнение

Корни

Произведение

корней

1 .5

x

2

+2x+3=0

1;

3

5

3

5

2

. 3x

2

+8x-

3=0

-3;

1

3

-1

3 .

x

2

+2x-

15=0

-5 ;3

-15

4. -x

2

+9=0

3; -3

-9

5

. x

2

-

20x+19=0

19; 1

19

Произведение

корней

-

15

9

1

9

3

5

2

0

1

5

-1

1

6

-

9

-

3

Буква

А

Т

Л

Ф

Ы К

М Б

Р

С

1

4

2

5

3

Ф

О

Р

М

У

Л

А

Задания пятой группы.

Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.

Уравнение

Корни

Произведение

корней

1 . 7x

2

+9x+2=0

-1

; -

2

7

2

7

2

. 2x

2

+3x-

2=0

-2;

0,5

-1

3. x

2

-7x-8=0

-1 ;8

-8

4. x

2

-16x=0

0; 16

0

5 .

2x

2

-30x-

32=0

16; -1

-16

Произведени

е

корней

-

16

0

1

1

6

2

7

8

-

1

-

8

-

2

7

6

Буква

И

Е

Я

С

Н

К

О

П

Б

3

5

4

1

1

2

4

П

Р

И

В

Е

Д

Ё

Н

Н

О

Е

Каждая группа помещает получившееся слово на доску и даёт ему определение. Наблюдатели

сдают листы наблюдения.

5. Тест.

6. Подведение итогов.

1) (Устно) Вспомнить цели урока, назвать виды и способы решений квадратных уравнений.

2) Учащимся выдаются памятки по решению квадратных уравнений

3) Записывается домашнее задание:

а) № 529(1,3), 531(1,3)

б)* № 565(1), 568.

7



В раздел образования