Автор: Морозова Наталья Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ "СОШ № 40"
Населённый пункт: г. Новоуральск Свердловской области
Наименование материала: методическая разработка урока
Тема: Решение квадратных уравнений
Раздел: среднее образование
Методическая разработка открытого урокапо алгебре в 8 классе
Учитель Морозова Наталья Николаевна, высшая квалификационная категория,
Тема: Решение квадратных уравнений.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Цели урока: 1.Обобщить знания о способах решения всех видов квадратных
уравнений.
2. Развивать умения: выбирать рациональный способ решения,
осуществлять само- и взаимопроверку, совершенствовать
вычислительные навыки учащихся.
3.Познакомить учащихся с исторической значимостью
квадратных уравнений. Формировать культуру диалога,
умение высказывать и обосновывать независимое оценочное
суждение.
Задачи урока: 1. Повторить все виды квадратных уравнений и способы их решений.
2. Обсудить целесообразность и рациональность применения указанных
способов решения при решении уравнений
конкретного вида.
3. Сформулировать алгоритм для выбора рационального способа
решения квадратного уравнения.
4. Закрепить умение решать квадратные уравнения.
Структура урока: 1. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.
2. Формулировка целей и задач урока.
3. Фронтальная устная работа.
4. Групповая работа.
5. Тест.
6. Подведение итогов урока.
Оборудование к уроку: 1.Карточки с заданиями ,
листы наблюдения длягрупповой работы.
2. Тест «Квадратные уравнения».
3. Таблицы «Теорема Виета», « Решение квадратных
уравнений».
4. Портреты древних учёных: Бхаскара, Леонардо
Фибоначчи, Штифеля, Виета, Жирара, Декарта, Ньютона.
Ход урока:
1. Проверка домашнего задания.
а)Найти суммы корней уравнений домашнего задания и расшифровать слово.
1)
x
2
−
12
=
0
(
x
1
=
2
√
3 ;
x
2
=−
2
√
3
;
x
1
+
x
2
=
0
)
2)
1
3
x
2
+
2 x
=
0
(
x
1
=
0;
x
2
=−
6 ;
x
1
+
x
2
=−
6
)
3)
7 x
2
+
9 x
+
2
=
0
(
x
1
=−
1;
x
2
=−
2
7
;
x
1
+
x
2
=−
9
7
)
4)
5 x
2
−
3 x
−
2
=
0
(
x
1
=
1;
x
2
=−
2
5
;
x
1
+
x
2
=
3
5
)
5)
5 x
2
−
8 x
+
3
=
0
(
x
1
=
1;
x
2
=
3
5
;
x
1
+
x
2
=
8
5
)
1
6)
x
2
−
5 x
+
6
=
0
(
x
1
=
2;
x
2
=
3;
x
1
+
x
2
=
5
)
7)
x
2
−
2 x
−
8
=
0
(
x
1
=
4 ;
x
2
=−
2 ;
x
1
+
x
2
=
2
)
0-Ш -2-О
8
5
-Е -6-Т -
9
7
-И
3
5
-Ф
-5-П -
3
5
-А 2-Ь
9
7
-С 5-Л 2
√
3
-К
ШТИФЕЛЬ
Что бы узнать значение этого слова предлагается прослушать сообщения учащихся об истории
развития в математике темы «Квадратные уравнения».
б) Устные сообщения учащихся.
1. История возникновения квадратных уравнений
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была
вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков
и
с
земляными
работами
военного
характера,
а
также
с
развитием
астрономии
и
самой
математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах
встречаются кроме неполных и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило
решений
этих
уравнений,
изложенное
в
вавилонских
текстах,
совпадает
с
современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все
найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными
в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря
на
высокий
уровень
развития
алгебры
в
Вавилоне,
в
клинописных
текстах
отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
б) Квадратные уравнения в Индии
Задачи
на
квадратные
уравнения
встречаются
уже
в
499
г.
В
Древней
Индии
были
распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных
индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском
своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях,
предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из
задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась.
А12-по лианам... Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных
уравнений.
в) Квадратные уравнения в Европе XIII-
XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака»,
написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
2
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в
Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти
во все европейские
учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений,
приведенных к единому каноническому виду х
2
+ bх = с было сформулировано в Европе лишь в
1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет
признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо
положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта,
Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
2. Формулировка целей и задач урока.
Сегодня
на
уроке
мы
повторим
и
обобщим
наши
знания
о
видах
и
способах
решений
квадратных уравнений, обсудим, какие способы решения наиболее рациональны и продолжим
отработку умений решать квадратные уравнения.
3. Фронтальная работа.
1. Заданиена определение вида уравнения.(Устно).
Вопрос учащимся:
-
Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете,
какое из уравнений этой группы является лишним? Почему?
а) 1) 2x
2
- х - 0; б) 1) х
2
- 5х + 1 = 0;
2) х
2
- 16 - 0; 2) 9х
2
- 6х + 10 = 0;
3) 4x
2
+ х - 3 = 0; 3) х
2
+ 2х - 2 = 0;
4) 2x
2
= 0. 4) х
2
- 3х - 1 = 0;
Ответы:
а) 3) - лишнее, так как это полное квадратное уравнение. 1), 2), 4) - неполные квадратные
уравнения.
б) 2) - лишнее, так как это уравнение общего вида. 1), 3), 4) - приведенные квадратные
уравнения.
- Какое квадратное уравнение называется: неполным, общего вида, приведённым.
Ответы:
Неполное квадратное уравнение это уравнение вида ax
2
+
bx
+
c
=
0
, где a≠0, b=0 или
c=0 или b=c=0.
Квадратное уравнение общего вида это уравнение ax
2
+
bx
+
c
=
0
, где a≠0, b≠0, c≠0.
Приведённое квадратное уравнение это уравнение
ax
2
+
bx
+
c
=
0
,
где a≠0, b≠0, c≠0,
a=1.
2. На доске записаны 3 уравнения.
x
2
−
9
=
0
5 x
2
−
7 x
+
2
=
0
x
2
−
2 x
−
15
=
0
Вопрос учащимся.
Какими способами можно решить первое уравнение, второе.третье? Какой из этих способов
рациональнее для данного уравнения?
Ответы:
Первое уравнение можно решить
по общей формуле корней квадратного уравнения,
разложением левой части на множители, приведением его к виду
x
2
=
d
. Быстрее
решить приведением его к виду
x
2
=
d
.
( Учащиеся решают уравнение устно.
x
1,2
=±
3
)
Второе уравнение можно решить по общей формуле корней квадратного уравнения,
методом выделения полного квадрата, по теореме, обратной теореме Виета, используя
3
свойство коэффициентов ( a+b+c=0
x
1
=
1,
x
2
=
c
a
). Быстрее
решить используя
свойство коэффициентов. ( Учащиеся решают уравнение устно.
x
1
=
1,
x
2
=
2
5
)
Третье уравнение можно решить по общей формуле корней квадратного уравнения,
методом выделения полного квадрата, по теореме, обратной теореме Виета, применяя
формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.
Быстрее
решить по теореме, обратной теореме Виета.
( Учащиеся решают уравнение устно.
x
1
+
x
2
=
2,
x
1
x
2
=−
15
,
x
1
=
5
,
x
2
=−
3
)
Сообщение ученика о графическом способе решения уравнений.
4. Групповая работа.
Дети объединяются в группы по 4-5 человек. Каждая группа получает 5 уравнений разного вида
, которые нужно решить любым способом. Время для решения ограничено. Получив корни
уравнений, учащиеся вычисляют их произведение и затем расшифровывают слово, которое
должны объяснить. В каждой команде назначается учителем консультант-наблюдатель. Он
помогает учащимся группы при возникновении затруднений и заполняет лист наблюдения за
работой каждого участника группы и выставляет оценки за работу. Самому консультанту
учитель выставляет оценку после проверки работы группы.
Лист наблюдения.
Фамили
я
Имя
Номер
уравнени
я
Качество
выполнени
я
Помощь участникам
группы
Оценк
а
1.
2.
3.
4.
5.
Критерии оценивания индивидуальной работы..
«3 балла»-решил уравнение сам правильно.
«2 балла»-решил уравнение с ошибкой, но сам её исправил.
«1 балл»- решил уравнение с ошибкой, но сам исправить не смог.
Помощь участникам группы учитывается количественно (+ 1балл).
Критерии оценки.
«5»-4 балла
«4»-3 балла.
Задания первой группы.
Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.
Уравнение
Корни
Произведение
корней
1. x
2
+x-2=0
1; -2
-2
2. x
2
-6x-16=0
-2; 8
-16
3 .
2 x
2
-
9x+4=0
0,5 ; 4
2
4. 6x
2
-16x=0
0;
2
2
3
0
4
5 .
3 x
2
-24x-
60=0
10; -2
-20
Произведение
корней
0
2
0
-
16
-
2
1
6
-
20
2
2
2
3
Буква
Е
С
О
К
Т
Н
Ь
П
1
2
4
5
3
К
О
Р
Е
Н
Ь
Задания второй группы.
Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово
Уравнение
Корни
Произведение
корней
1. x
2
+2x-3=0
1; -3
-3
2
. -x
2
+7x-
10=0
2; 5
10
3
. 3x
2
+7x-
6=0
-3
;
2
3
-2
4. 8x
2
-8x=0
0; 1
0
5 .
2x
2
-28x-
30=0
15; -1
-15
Произведени
е
корней
2
1
0
1
0
1
5
-
3
-
5
-
2
-6
-
15
Буква
Я
Р
Х Е
Т
У
С
В
Ж Н
1
2
3
5
4
5
4
У
Р
А
В
Н
Е
Н
И
Е
Задания третьей группы.
Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.
Уравнение
Корни
Произведение
корней
1. x
2
-3x+2=0
1; 2
2
2. -x
2
+2x+8=0
-2; 4
-8
3
. -3x
2
+2x+16=0
-2
;2
2
3
-
5
1
3
4. 8x
2
-8=0
-1; 1
-1
5 .
2x
2
-
30x+52=0
13; 2
26
Произведение
корней
1
2
4
2
3
1
2
-
5
1
3
-
2
2
6
0
-
8
8
-1
-
5
5
Буква
У К
О
Б
С
Л
Д
Я
Н
В
М Г
5
3
1
4
2
2
Д
И
С
К
Р
И
М
И
Н
А
Н
Т
Задания четвёртой группы.
Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.
Уравнение
Корни
Произведение
корней
1 .5
x
2
+2x+3=0
1;
3
5
3
5
2
. 3x
2
+8x-
3=0
-3;
1
3
-1
3 .
x
2
+2x-
15=0
-5 ;3
-15
4. -x
2
+9=0
3; -3
-9
5
. x
2
-
20x+19=0
19; 1
19
Произведение
корней
-
15
9
1
9
3
5
2
0
1
5
-1
1
6
-
9
-
3
Буква
А
Т
Л
Ф
Ы К
М Б
Р
С
1
4
2
5
3
Ф
О
Р
М
У
Л
А
Задания пятой группы.
Решить уравнения , найти произведение корней каждого уравнения и расшифровать слово.
Уравнение
Корни
Произведение
корней
1 . 7x
2
+9x+2=0
-1
; -
2
7
2
7
2
. 2x
2
+3x-
2=0
-2;
0,5
-1
3. x
2
-7x-8=0
-1 ;8
-8
4. x
2
-16x=0
0; 16
0
5 .
2x
2
-30x-
32=0
16; -1
-16
Произведени
е
корней
-
16
0
1
1
6
2
7
8
-
1
-
8
-
2
7
6
Буква
И
Е
Я
С
Н
К
О
П
Б
3
5
4
1
1
2
4
П
Р
И
В
Е
Д
Ё
Н
Н
О
Е
Каждая группа помещает получившееся слово на доску и даёт ему определение. Наблюдатели
сдают листы наблюдения.
5. Тест.
6. Подведение итогов.
1) (Устно) Вспомнить цели урока, назвать виды и способы решений квадратных уравнений.
2) Учащимся выдаются памятки по решению квадратных уравнений
3) Записывается домашнее задание:
а) № 529(1,3), 531(1,3)
б)* № 565(1), 568.
7