МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НОРИЛЬСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СЕРВИСА»

Дополнительное образование

«Финансовая математика»

Реализует преподаватель

математики

Людмила Викторовна Бронникова

2019

1

Оглавление

Введение

1

Введение. Математика + реальный мир

3

2

PISA-2006

3-5

3

Наши семейные заботы

5

4

Финансовая математика

5

4.1

Тест: «Как вы понимаете термины, сопровождающие

финансовые операции

5-6

4.2

Процентные ставки

6

4.3

Наращивание платежа по простым процентам

7

4.4

Наращивание платежа по сложным процентам

8

4.5

Номинальная и эффективная процентные ставки

9

4.6

Инвестиции в ценные бумаги

10

4.7

Номинальная и эффективная процентные ставки

10

4.8

Операция дисконтирования

11

4.9

Операция консолидации платежей

12

4.10

Операция покупки и найма квартиры

13-14

5

Заключение

15

2

Введение

Математику

в

школах,

средних,

высших

учебных

заведениях

часто

воспринимают оторванной от реальной жизни, многие студенты вообще не

понимают, как можно применить знание математики «в быту». Между тем

вопрос это актуален, имеет многовековую историю. Часто в реальной жизни

приходится решать «школьные» задачки: от покупки фруктов на развес на

рынке, до кредита в банке - дроби, проценты, умножение сотых долей, и

многое другое.

На уроках математики мы изучаем показательную функцию, логарифмы,

интеграл. У многих возникает вопрос: «Зачем это вообще надо, неужели эти

формулы где-то применяются?

Оказывается, есть финансовая математика- прямая связь изучаемого

материала из курса «Алгебра и начала анализа» с расчетами из цикла «Наши

семейные заботы»

Цель исследования:

1.Показать прямую связь некоторых разделов из программы учебной

дисциплины «МАТЕМАТИКА» с «задачками» из реальной жизни;

2. Предложить наглядные математические задачи, решение которых помогут

принять правильные

жизненные решения (могут быть даже включены в

учебники математики, задания ЕГЭ). Математика развивает наше логическое

мышление и память, помогает нам ориентироваться в жизни, и, довольно

часто, просто спасает от обмана.

Задачи:

1.Изучить необходимый теоретический материал;

2. Решить несколько важных реальных жизненных финансовых задач.

Методы:

1.Тестирование;

2. Анализ результатов теста;

3. Знакомства с теоретическим материалом;

4. Решение реальных задач;

5. Принятие решений.

Познакомились

с

материалами

Международной

программы

по

оценке

образовательных достижений PISA -2006 (Programme for International Student

Assessment), осуществляется Организацией Экономического Сотрудничества

и

Развития

ОЭСР (OECD

– Organization for Economic Cooperation and

Development).

Ключевой вопрос исследования PISA: «Обладают ли учащиеся 15-летнего

возраста,

получившие

общее

обязательное образование,

знаниями

и

умениями, необходимыми им для полноценного функционирования в

обществе?»

Нам было интересно узнать, какие практические задания решают учащиеся

15-летнего возраста по программе международного сотрудничества?

Как оцениваются эти знания?

PISA -2006.

3

Рассмотрим пример задания, которое соответствует 6-му уровню

математической грамотности:

«Садовник» (687 баллов), (max

уровень

сложности заданий может быть 1000 баллов).

САДОВНИК

У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле

границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов.

Обведите слово «Да» или «Нет» около каждой формы клумбы в зависимости

от того, хватит или не хватит садовнику 32 м провода, чтобы обозначить ее

границу.

Уровень

По 1000 бальной шкале. Трудность: 687

6

669,3

5

607

4

544,7

3

482,4

2

420,1

1

357,8

Ниже 1-го

Форма

клумбы

Хватит ли садовнику 32 м

провода, чтобы обозначить

границу клумбы

Оценка ответа

Ответ принимается полностью

Форма А

Да /Нет

Форма А - да

Форма Б

Да /Нет

Форма Б -нет

Форма С

Да /Нет

Форма С - да

Форма Д

Да /Нет

Форма Д -да

Процент верного выполнения: Россия - 22,7 %. Страны ОЭСР- 20,2 %.

Известно, что при решении заданий в форме теста существует вероятность

угадывания ответа.

При выборе ответа способом «Да /Нет», вероятность

попасть в правильный ответ равна 50%.

4

Наши семейные заботы.

В заданиях ГИА, затем ЕГЭ за курс основной

и полной средней школы

также

уделяется внимания реальной математике. Рассмотрим несколько

таких задач.

1. Какая сумма (в рублях) будет напечатана в кассовом чеке, если стоимость

рубашки 420 рублей, и вы оплачиваете её по дисконтной карте с 10%-ной

скидкой?

2. Шкаф стоил 400 рублей. Во время акции магазин предоставил на него

скидку 40%. Сколько будет стоить шкаф во время акции?

3. Плата за коммунальные услуги составила 1800 рублей в месяц.

Сколько рублей придется платить в месяц, после их подорожания на 10 %.

В ходе игры «Математические тяжеловесы» решены задачи 2 и 3.

Задание

Обучающихся

Решили правильно

%

2

26

14

54 %

3

26

16

62 %

Вывод: задачи на проценты важно и нужно уметь решать!

Финансовая математика

Поскольку

направленность

обучения

в

образовательном

учреждении

среднего профессионального образования (далее СПО) несколько иная, чем в

школе, то примеры финансовых задач выбран для тех обучающихся, которые

сделали

сознательный

выбор

в

сторону

получения

профессии

или

специальности и самостоятельного построения своей дальнейшей жизни.

Получив

специальность

или

профессию,

обучающие

СПО

войдут

в

современный

социум.

Будут

без

педагога

решать

задачи

реального

практического характера:

- как и куда выгоднее вложить деньги?

- как более выгодно провести сделку покупки, продажи квартиры?

- как разработать план погашение кредита?

- что выгоднее: купить квартиру или арендовать? и т.д.

Методы решения этих задач разрабатывались в далеком прошлом.

Для

выполнения

поставленных

целей

и

задач

изучалась

дополнительная

литература, разработан ряд вопросов, проведено тестирование

в группе

второго года обучения (26 обучающихся):

Тест

«Как вы понимаете термины, сопровождающие финансовые операции?»

1. Начальный капитал;

2. Доходность (интенсивность роста капитала);

3. Срок, время проведения операции;

4. Капитал на конец операции;

5. Процентная ставка;

6. Интервал начисления процентов;

7. Ценные бумаги;

8. Инвестиции, инвестор;

9. Какие виды процентных ставок существуют? Какие вы предпочтете:

- с доходностью 11% или 18%?;

5

- рискованные с доходностью 25%

- свободные от риска?

10.Как выгоднее заемщику взять кредит:

- с процентной ставкой по кредиту составляет 1% в месяц;

- с процентной ставкой по кредиту 8 % годовых?

11. Молодая семья

открывает в банке счет. Какое начисление процентов

более выгодно:

1) поквартально;

2) по полугодиям;

3) однократно в конце года;

4) ежемесячно? Почему?

12. Есть ли у тебя дисконтная карта? Зачем она нужна?

13. Можно ли выплату по нескольким кредитам объединить в один кредит?

14. Молодая семья принимает решение покупки или найма квартиры. Что

выгоднее? Почему?

15. Есть ли у тебя твой реальный личный, профессиональный и финансовый

план?

Анализ

ответов

на

вопросы

теста

помог

нам

сформировать

перечень

актуальных вопросов и задач для решения и обсуждения.

Процентные ставки

Молодая семья берет кредит под 11%. Однако сумма выплат по кредиту

превышает ту, на которую рассчитывали. Почему?

Узнали, что существуют разные виды процентных ставок:

На

практике

для

начисления

процентов

используют

простые

и

сложные

проценты и непрерывные ставки.

В рекламных акциях мы часто видим процентные ставки до 25 %.

Процентные ставки, свободные от риска определяют относительно малый

уровень доходности от инвестиций.

Более высокий уровень рыночной или ожидаемой доходности предполагают

более высокий риск.

6

Виды

процентных

ставок:

- простые;

- сложные;

-

фиксированн

ые

(постоянные)

и плавающие;

- рискованные

и

свободные

от риска

ПРОЦЕНТНЫ

Е СТАВКИ

Ссудные и

учетные

Простые и

сложные

Дискретные и

непрерывные

Рискованные и

свободные

от риска

Фиксированные

(постоянные)

и плавающие

Вопрос группе обучающихся: какие вклады вы предпочтете:

- с доходностью 11% или 18% - 25%

- рискованные или свободные от риска?

Ответили: предпочту свободные от риска- 68%

Наращивание по простым процентам

характеризуется формулой

S= P



(1+r



n) (1) формула роста по простым процентам, где:

S - сумма к возврату (наращенная);

P – величина выданной ссуды;

r - процентная ставка;

n - срок операции

где, к

Н

= (1+r



n) - коэффициент наращивания по простым процентам.

С точки зрения математики – формула (1) роста по простым процентам

представляет собой возрастающую

линейную функцию: S

(t)

сумма долга

заемщика увеличивается при увеличении t.

Рис 1.График роста начальной суммы по простым процентам.

С точки зрения реальной жизни - возрастающая линейная функция: чем на

больший срок берется кредит, тем больше сумма к возврату S

(t)

Задача 1.

Выпускник техникума берет в банке кредит в размере 100 000 рублей на 8

месяцев под простые проценты. Банк применяет схему начисления ссудного

процента:

ежемесячная

ставка

составляет

1%.

Требуется

определить

наращенное значение

долга на момент истечения каждого месяца при

условии, что величина долга рассчитывается накопленным итогом.

Дано:

Решение:

Р= 1000 000 руб.

Пользуясь формулой линейного оператора наращения,

определяем:

n = 8/12 года

r = 1% в месяц

)

(t

S

= 1000 000



(1+ 0,01



t )

)

(t

S

-?

Можно составить таблицу, которая может служить для определения величины

необходимого платежа в случае досрочного погашения долга заемщиком

Параметр

Сумма долга, соответствующая окончанию каждого месяца,

7

ы расчета

рублей

t, месяц.

1

2

3

4

5

6

7

8

)

(t

S

, руб.

101 000

102 000

103 000

104 000

105 000

106 000

107 000

108 000

Изменим условие кредитования: пусть процентная ставка по кредиту

составляет не 1% в месяц, а 8 % годовых.

Вопрос: на каких условиях выгоднее взять кредит?

Результат тестирования: на каких условиях более выгодно брать

кредит?

выгоднее при процентной ставке

Ответили 26 студентов

%

1% в месяц

12

46%

8% годовых.

14

54%

Решение:

S

(4)

= 1000 000



(1+ 4



0,08/ 12 ) =102 666, 67 руб.

S

(8)

= 1000 000



(1+ 8



0,08/ 12 ) =105 333, 33 руб.

При процентной

ставке

Заемщик должен выплатить банку

По окончании

4-го месяца

По окончании

8-го месяца

1% в месяц

104 000 руб.

108 000 руб.

8% годовых.

102 666,67 руб.

105 333,33 руб.

Вывод: выгоднее взять кредит под процентную ставку 8% годовых.

На вопрос теста правильно ответили 14 студентов (54 %).

Наращивание платежа по сложным процентам

)

(n

S

= P



(1+r)

n

- это сумма к возврату (2) где,

r –норма сложных ссудных процентов, измеренная в долях или процентах,

n- период наращивания (дисконтирования).

Коэффициент наращивания по схеме сложных процентов определяется:

К

Н

=

P

S

n)

(

= (1+r)

n

(3) - это показательная функция.

Рис.2. Коэффициент наращивания по схеме сложных процентов.

График показывает, что сумма к возврату наращивается быстрее, чем при

простых процентах.

8

Формула определения сложной процентной ставки при заданных начальной и

наращенной суммах и известной скорости инвестирования

- корень n- ой

степени

r

=

1

)

(



n

n

P

S

(4) - эта формула задает степень эффективности операции. По

этой формуле банк считает выгодную для него процентную ставку.

В формуле определения периода сделки, за который величина выданной

ссуды Р достигает значения

)

( n

S

(суммы к возврату при заданной ставке),

используется натуральный логарифм.

)

1

ln(

ln

)

(

r

P

S

n

n





(5)

Задача 2.

Высоконадежные

облигации

номиналом

10 000

рублей

и

сроком

до

погашения

9

месяцев

продаются по курсу 88 руб.

Определить

доход

держателя облигаций.

Решение:

по формуле

рублей

N

K

P

8800

100

10000

88

100











далее

100622

,

0

1

8800

10000

12

9







y

, это означает, что данные облигации обеспечат

держателю облигаций 10,06 % годового дохода.

Номинальная и эффективная процентные ставки

Практика установления условий срочных вкладов и характер сберегательного

поведения

населения

говорит

о

том,

что

популярными

инструментами

сбережений

являлись

депозиты

со

сроком

менее

одного

года:

одно-,

трехмесячные, полугодовые.

Задача 3.

Выпускник техникума для покупки квартиры берет у банка ссуду 1000 000

рублей по схеме: процентная ставка определяется по схеме с плавающим

значением:

- в первый год она составляет 3% за квартал;

- во второй - 5% за полугодие;

- в третий -0,6 % за месяц.

Промежуточных платежей не производится.

Найти сумму к возврату.

Дано:

Решение:

Р= 1000 000 руб.

Пользуясь формулой прироста денежной

единицы при плавающей процентной ставке, находим

n = 3 года

r

1

= 0,03 в квартал

9

)

(t

S

= 1000 000



(1,03)

4



(1,05)

2



(1,006)

12

=

= 1333224,44руб.

Вывод: сумма к возврату составит 1 333 224,44 рублей

r

2

= 0,05 в полугодие

r

3

= 0,006 в месяц

S

(t)-?

Задача 4.

Вкладчик открывает в банке счет на сумму 2 500 000 рублей на 4 года.

Определить

конечную

сумму

при

условии

использования

сложных

процентов, размер которых 13% годовых если проценты начисляются:

1) поквартально;

2) по полугодиям;

3) однократно в конце года.

Вопрос: как выгоднее для вкладчика начислять проценты?

Ответы:

Выгоднее начисление процентов:

Количество студентов

%

- поквартально;

12

46

- по полугодиям;

10

38

- однократно в конце года.

4

16

Проверка правильности ответов.

Дано:

Решение:

Р = 2 500 000

руб.

Пользуясь формулой, получаем

r

(m)

=13 %

)

1

(

S

= 2 500 000



(1+ 0,13/4)

4



4

= 4 170 431,32 руб.

n = 4 года

1) m

1

= 4

)

2

(

S

= 2 500 000



(1+ 0,13/2)

2



4

= 4 137 489, 18 руб.

2) m

2

= 2

3) m

3

= 1

)

3

(

S

= 2 500 000



(1+ 0,13)

4

= 4 076 184, 03 руб.

S

(t)-?

Вывод: при ежеквартальным начислении конечная сумма получится больше!

На вопрос: «Почему получится больше?» обучающиеся ответили:

-19 % -промолчали;

- 22 % -не знаю;

- 59% - потому, что начисление % во втором квартале будет идти уже на

наращенную сумму конца первого квартала.

Операция дисконтирования

Покупая товары в «Космосе», «Веге»… мы пользуемся дисконтной картой.

Вопросы: есть ли у тебя дисконтная карта;

зачем она нужна?

Вопрос

Ответ

Есть ли у тебя дисконтная карта?

Есть у родителей - 24

Нет - 2

Зачем она нужна?

Для получения скидок

при покупке

Затрудняюсь

ответить

10

Дисконтирование

–

это

определение

величины

будущего

денежного

поступления (актива) при покупке товара на определенную сумму.

Определяется посредством умножения будущего платежа на коэффициент

n

r

)

1

1

(



либо

n

e





(6) S =P



n

e



(7), PV=

n

r

FV

)

1

(



(8)

В математике – показательная функция.

Задача 5.

Молодой семье нужно накопить 100 000 рублей. Какую сумму нужно внести

в банк под проценты по ставке 11% годовых,

чтобы накопить нужную

сумму:

1) за полгода (непрерывные проценты);

2) за 2 года (дискретная ставка);

3) за 5 лет (дискретная ставка).

Пользуясь формулами (7), (8), получаем искомые значения целевых

начальных сумм:

Дано:

Решение:

Р= 100 000 руб.

1)

.

51

,

94648

100000

5

,

0

11

.

0

руб

е

Р







за полгода

r,



= 11 % годовых

1) n = 0,5 года

2)

.

24

,

81162

)

11

,

0

)

1

(

100000

2

руб

Р







за 2 года

2) n = 2 года

3) n = 5 лет

Р -?

3)

.

13

,

59345

)

11

,

0

)

1

(

100000

5

руб

Р







за 5 лет

Вывод: чем больше срок, тем меньше первоначальная сумма вклада.

В

финансовой

математике

для

подсчета

средней

процентной

ставки

применяется формула:

1

)

1

(

...

)

1

(

)

1

(

2

1

2

1

















N

n

k

n

n

k

r

r

r

r

(9)

В финансовой математике для определения величины интенсивности (силы

роста) наращения непрерывной ставки применяется формула:

S= P

exp



{

dt

n



0

1



}

(10)

Наша

цель

-

показать,

что

академические

знания,

с

которыми

мы

знакомимся, востребованы в реальной жизни.

Операция консолидации (объединения) нескольких платежей.

Предположим, выпускник техникума для приобретения жилья, мебели, для

обучения взял три кредита с разными сроками платежа, на разные суммы.

Узнал, что можно вместо трех кредитов платить один (консолидировнный )

кредит. Рассчитать сумму и сроки такого платежа можно по формуле:

PV







r

n

S

j

1

(11)

Рассчитать сроки такого платежа можно по формуле:

11

)

1

(

1





PV

S

r

n

c

c

(12)

Расчет несложный, нужно только знать формулу!

Задача 6.

Молодая семья оформила 3 кредита: 600, 4200 и 500 долларов (всего

5300 долларов). Сроки заменяемых платежей -100 дней, 120 дней, 140 дней

соответственно.

Требуется объединить (консолидировать) три платежа, заменив их одним-

6000 долларов.

Требуется определить срок консолидированного платежа при условии, что

r = 20 % годовых.

Решение.

Сумма платежа PV=

.

08

,

4974

38

,

464

87

,

3940

83

,

568

365

140

2

,

0

1

500

365

120

2

,

0

1

4200

365

100

2

,

0

1

600

долл

























Срок единого платежа будет:

дней

или

года

n

c

376

,

031

,

1

)

1

08

,

4974

6000

(

2

,

0

1







Операция покупки или найма квартиры.

Каждый экономический субъект (семья) принимает решение покупки или

найма квартиры.

Рассмотрим случай найма квартиры.

Пусть C F

L

- величина чистого годового денежного потока, учитывающая

доход покупателя I, уплачиваемый им подоходный налог по ставке tax

p

и

платежи за найм квартиры (арендную плату L).

Арендные платежи рассчитываются по формуле

L= S

L



P, (13)

где P- рыночная стоимость квартиры;

S

L

–

годовая арендная

плата в процентах от рыночной стоимости квартиры.

Тогда чистый денежный поток арендатора будет равен:

C F

L

=

I



(1- tax

p

)

– L+ P



tax

pr

( 14)

P



tax

p

-

это слагаемое- величина годового налога на недвижимость, который

арендатор не платит. Это называют еще налоговой защитой или налоговым

щитом, т.е. на эту сумму увеличивается величина чистого дохода молодой

семьи.

Рассмотрим случай покупки квартиры в кредит.

Тогда, с учетом того, что покупатель будет платить кредит банку и

подоходный налог по ставке tax

pr ,

чистый годовой денежный поток

собственника квартиры C F

сr

будет равен:

pr

r

n

pr

cr

tax

P

n

P

a

P

tax

I

CF

















13

,

0

)

1

(

,

(15)

Задача 7.

Известно, что годовой доход семьи составляет

45 000 долларов. Ставка

подоходного

налога

-

13%.

Налог

на

собственно сть

-1%

от

12

инвентаризационной

стоимости

квартиры.

Годовая

ставка

банковского

кредита - 18% . Годовая арендная плата - 20 %

от рыночной стоимости

квартиры.

Стоимость

квартиры:

инвентаризационная-

50 000

долларов;

рыночная-

150 000

долларов.

Семья

рассматривает

альтернативные

варианты- найма или покупки квартиры с помощью кредита, рассчитанного

на 15 лет (без первоначального взноса). Определить более выгодный для

семьи вариант.

Вопрос: что выгоднее для семьи?

Ответили 26 обучающихся

Купить квартиру в кредит

22

85 %

Арендовать квартиру

3

12 %

Не думал на эту тему

1

3%

При расчете будем считать более выгодным вариант, который будет

соответствовать большей величине чистого денежного дохода семьи.

Дано:

Решение:

I=45 000 долл.

Рассчитаем величину чистого денежного дохода семьи в

случае аренды (найма) квартиры по формуле (14)

C F

L

=45 000



(1- 0,13)-150000



0,2+50000



0,01=9650

долл.

tax

p

=11 %

tax

pr

= 1%

r

Cr

= 18%

годовых

Предварительно найдем величину выплат по кредиту

42

,

29460

150000

18

;

15





a

R

долл.

S

L

= 20% в год

Р= 150 000 долл.

Р

инв

=

50000долл.

n=15 лет

Рассчитаем величину чистого денежного дохода семьи для

случая покупки квартиры в кредит по формуле (15)

C F

сr

=45000



(1- 0,13)-29460,42+150000



50000

15

1

,

0





0,01

=10 489,58 долл.

C F

L

-?

C F

сr

-?

Сравнивая расчеты, определяем, что покупка квартиры предпочтительнее

варианта аренды.

Большая часть обучающихся не, выполняя расчетов, решили, что наиболее

выгодный вариант – приобретение квартиры.

На вопрос: почему? В основном ответили: «Квартира останется моей».

Подводя итоги.

Есть ли у тебя твой реальный личный, профессиональный, финансовый

план?

Ответы показали, что не все задумываются над этим вопросом, некоторые

посчитали его преждевременным.

В результате совместного обсуждения мы выработали примерную модель

формирования

обоснованного

реального

личного,

профессионального

и

финансового плана.

13

1.Главная цель - что я буду делать, каким буду, где буду, чего достигну.

2. Перспективы повышения мастерства. Чему и где учиться далее?

3. Пути и средства достижения целей - самообразование, подготовительные

курсы, поступление в учебное заведение, беседы с людьми, проба сил.

4.

Внешние

условия

-

возможные

трудности,

препятствия,

возможное

противодействие тех или иных людей.

5. Внутренние условия - состояние здоровья, способности к

обучению,

настойчивость,

терпение,

личные

качества,

необходимые

для

работы

по

данной специальности.

6. Запасные варианты целей и путей их достижения.

Заключение

В учебное заведение СПО обучающиеся пришли

сознательно, с целью

получения

профессии

или

специальности,

планируя

получить

высокий

разряд, достойную работу. Заработать деньги на продолжение образования,

создание семьи и т.д.

Чтобы

не совершать ошибок в непростом современном социуме, где на

каждом шагу идет реклама быстрых займов, вкладов с получением больших

% прибыли, проведены эти исследования.

Результаты

обсудили

на

заседании

клуба

«Интеграл».

Получилась

интересная дискуссия.

В результате пришли к выводу:

- умение самостоятельно выполнять простые расчеты, ориентироваться в

понятиях финансовой математики - это актуально;

- без серьезного обдумывания будущего не может быть и ответственного

отношения к настоящему.

Для этого нужны полученные в техникуме знания и умения!

Приняли

решение:

учить,

читать,

считать,

выполнять

все

практические

задания на - отлично! Это важно! Это будет правильное решение!

Литература

1. Криничанский К.В. Финансовая математика./ К.В. Криничанский,- М.:

Дело и сервис, 2011,- 321 с.

2. Тишин С.Д. Таблицы возведения в степень. /С.Д. Тишин, - М.: Статистика,

1972,- 400 с.

14