Технологическая карта урока алгебре по теме

«Квадрат суммы и квадрат разности».

Предмет, класс: алгебра, 7 класс.

Тип урока: урок «открытия «нового» знания.

Цель урока:

- выявить уровень знаний учащихся по теме «Действия с многочленами»;

-силами учащихся вывести формулы квадрата суммы и квадрата

разности двух выражений;

-научить применять их при решении примеров и задач через использование алгоритма;

- создать условия для обучения приемам самоанализа, сопоставления, сравнения, обобщения,

систематизации знаний.

Оборудование

-Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учрежд. [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2017 256с. –

ISBN 978-5-09- 018967-5.

-интерактивная доска, маркер для записей на доске,

-компьютерная презентация,

-карточки с заданиями для индивидуальной работы и эталонами ответов,

-лист оценки работы на уроке,

-карточки с практическими заданиями по новой теме для групповой работы,

-листы ватмана, цветные карточки

- вырезанные из цветной бумаги модели квадратов и прямоугольников.

Ход урока.

1.

Этап мотивации учебной деятельности (3 мин)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Здравствуйте ребята. Французский писатель XIX

столетия Анатоль Франс однажды заметил:

«Учиться можно только с интересом. Чтобы

переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!»

Так давайте сегодня на уроке будем следовать этому

совету писателя: будем активны, внимательны,

будем поглощать знания с большим желанием, ведь

они пригодятся вам в дальнейшем.

-Перед вами высказывания великих математиков

(слайд№1), предлагаю выбрать каждому то, которое

соответствует сегодня вашему настрою, намеченным

целям:

а) Блез Паскаль. "Математическая истина,

независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и

та же".

б) Д. Пойа «Лучший способ изучить что-либо - это

открыть самому»

в) Ю.А. Шиханович «Доказательство - это

рассуждение, которое убеждает».

-Сегодня на уроке вам предстоит сыграть роль

исследователей, «открыть» две формулы и научиться

их применять. Совместная работа накладывает

некоторые обязанности на каждую из сторон

учебного процесса. Давайте поучаствуем в создании

«Декларации сотрудничества»

-Продолжите фразу, записанную на доске

(интеллектуальная рефлексия)

Каждый из участников учебного процесса

а)имеет право…..

б)обязан…

-Учащиеся приветствуют учителя.

Учащиеся выбирают понравившиеся

высказывания и мотивируют свой выбор:

побуждают мыслить и рассуждать, испытать

чувство гордости за полученный результат,

вызывают стремление открыть что-то новое и

постичь тайны математики.

Примерные ответы учащихся:

-слушать и быть услышанным;

- свободно выражать свои мысли;

- выбирать формы сотрудничества.

-уважать мнение окружающих, участвуя в

коллективной работе;

- не отклоняться от временных рамок при

выполнении задания;

-анализировать результаты деятельности.

Методический комментарий.

Этот этап процесса обучения предполагает осознанное вхождение учащегося в пространство учебной

деятельности, происходят процессы адекватного самоопределения в учебной деятельности,

предполагающие внутреннюю готовность к работе на уроке.

2. Этап актуализации знаний и пробного учебного действия 5 минут

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-А прежде чем перевоплотиться в сотрудников

исследовательского института потренируем свой

мозг устными упражнениями (слайд№2-5)

Работа по повторению пройденного материала

ведется с помощью интерактивной доске и маркера.

1) Прочитайте выражения:

а) х

2

+(3у)

2

;

б) (х+3у)

2

;

в) х

2

– (3у)

2

;

г) (х – 3у)

2

;

д) 2(х∙3у);

е)(х-3у)(х+3у).

2. Игра «Третий лишний»

3

2

9 6

4а

2

16а

2

(4а)

2

(а + b)

2

(a + b)(a + b) a

2

+ b

2

(c – d)

2

(c – d)(c + d) (c – d)(c – d)

(7 – 3)

2

16 40

(– a)

2

a

2

– a

2

(a – b)

2

(– a – b)

2

– (a – b)

2

3. Вставьте пропущенные знаки:

(m – n)(m + n) = m

2

…mn…mn…n

2

(c + d)(c + d) = c

2

…cd…cd…d

2

(a – b)(a + b) = a

2

…ab…ab…b

2

-

Внимательно слушают задания и отвечают на

вопросы учителя

а)сумма квадратов двух выражений х и3у;

б) квадрат суммы двух выражений х и3у;

в)разность квадратов двух выражений х и3у;

г) квадрат разности двух выражений х и3у;

д) удвоенное произведение двух выражений х и 3у;

е) произведение суммы двух выражений х и3у на

их разность.

6

4а

2

a

2

+ b

2

(c – d)(c + d)

40

– a

2

– (a – b)

2

(m – n)(m + n) = m

2

+mn- mn- n

2

(c + d)(c + d) = c

2

+cd+cd+d

2

(a – b)(a + b) = a

2

+ab+ab- b

2

4. Найдите ошибки:

(х – у)(х + у) = х

2

+ ху – ух + у

2

= х

2

+ у

2

(7 – к)(7 – к) = 14 – 7к – 7к – к

2

= 14 – к

2

(4 + 5)

2

= 4

2

+ 5

2

(4х

7

)

2

= 8х

14

-Какие уже известные правила вы использовали на

этом этапе урока?

Работая в паре, оцените теоретические знания друг

друга по следующей шкале (слайд № 6):

красная карточка(5 баллов) « ты в теме» (хорошие

знания теории);

зеленая карточка(4 балла) «немножко подучи»

(незначительная ошибка в формулировке правил

или формулировка теоретического материала

своими словами без искажения математического

смысла);

желтая карточка(3балла) «ожидания не

оправдались» (ученик путается в формулировке

правил, зачастую искажая математический смысл)

(х – у)(х + у) = х

2

+ ху – ух -у

2

= х

2

- у

2

(7 – к)(7 – к) = 49– 7к – 7к+ к

2

= 49-14к + к

2

(4 + 5)

2

= 9

2

=81

(4х

7

)

2

= 16х

14

Примерные ответы учащихся:

-

умножение многочлена на многочлен;

- возведение в степень;

-умножение одночлена на одночлен.

Учащиеся проводят взаимопроверку

теоретического материала, оценивая друг друга,

вручая друг другу цветные жетоны.

Методический комментарий.

На этом этапе организуется проверка уже изученного материала в форме фронтальной работы, групповой

работы по фиксированию знаний теоретического материала и подготовка учащихся к открытию нового

знания,

выполнение

ими

пробного

учебного

действия

и

определение

индивидуального

затруднения.

Завершение этапа связано с организацией выхода учащихся в рефлексию пробного учебного действия.

3.Этап постановки проблемы (6 минут)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-

Разделите следующие выражения на две группы

(2 х + 3у)

2

; (m – n)

2

; (2x – 3y)

2

; (0,5c + d)

2

; (5p –

0,5s

3

)

2

; (p + s)

2

; (

2

5

a +

1

4

b)

2

; (a – b)

2

- По какому признаку вы разделили данные

выражения на две группы?

-Как бы выполнили решение следующего задания

(0,5c + d)

2

; (5p – 0,5s

3

)

2

Рефлексия выполненного задания в форме открытых

и косвенных вопросов:

- Какие правила вам понадобились при выполнении

задания?

- Почему при умножении двучлена на двучлен

получился трехчлен, а не четырехчлен?

-Как можно назвать первое и последнее слагаемые в

полученном трехчлене?

-Что представляет собой средний член полученного

выражения?

-Есть ли какая-то закономерность в умножении

выше приведенных заданиях?

1 группа: (2 х + 3у)

2

; (0,5c + d)

2

; (p + s)

2

;

(

2

5

a +

1

4

b)

2

;

2 группа: (m – n)

2

; (2x – 3y)

2

; (5p – 0,5s

3

)

2

;

(a – b)

2

1группа - квадраты суммы, 2 группа - квадраты

разности.

Два ученика работают у доски, остальные

учащиеся решают в тетради самостоятельно.

1) (0,5c + d)

2

=(0,5c + d)( 0,5c + d)=0,25с

2

+0,5с d+

0,5с d+ d

2

=0,25с

2

+2*0,5 с d + d

2

=0,25с

2

+ с d + d

2

2)(5p – 0,5s

3

)

2

=(5p – 0,5s

3

) (5p – 0,5s

3

)=25р

2

-2,5рs

3

-

2,5рs

3

+0,25 s

6

=25р

2

-2*2,5рs

3

+0,25 s

6

=25р

2

-5рs

3

+

0,25 s

6

.

Ответы учеников, работающих у доски:

- нахождение квадрата числа;

-умножение многочлена на многочлен.

- Привели подобные слагаемые.

-Квадрат первого выражения и квадрат второго

выражения.

-Удвоенное произведение первого выражения на

второе.

1 ученик: квадрат суммы двух выражений равен

квадрату первого выражения плюс удвоенное

произведение первого и второго выражения плюс

квадрат второго выражения.

2 ученик: квадрат разности двух выражений равен

квадрату первого выражения минус удвоенное

произведение первого и второго выражения плюс

квадрат второго выражения.

-Наверное, существует определенная формула для

-Имеет ли смысл выполнять подробную запись

решения подобных заданий?

- Попробуйте определить тему урока и

сформулировать цель занятия.

-Запишите тему урока в тетрадь.

сокращенного умножения.

-Тема: квадрат суммы и квадрат разности

( слайд№7)

- Цель урока: вывести формулы квадрата суммы и

квадрата разности двух выражений, записать их в

математической форме и использовать их при

решении примеров и задач.

Ученики

записывают тему урока в тетрадь.

Методический комментарий.

Учащиеся восстанавливают выполненные операции, соотносят свои действия с используемым способом

действий (алгоритмом, понятием и т.д.), и на этой основе выявляют и

фиксируют во внешней речи

причину затруднения – те конкретные знания, умения или способности, которых недостает для решения

исходной задачи и задач такого класса или типа вообще. На этом этапе учащиеся в коммуникативной

форме обдумывают план будущих учебных действий: – ставят цель, согласовывают тему урока.

4.Этап построения и реализации проекта выхода из затруднения -7минут

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-

Ещё в глубокой древности было

подмечено, что некоторые многочлены

можно умножать короче, быстрее, чем

остальные. Первые общие сведения о

тождественных преобразованиях

встречаются у древнегреческих

математиков, начиная с шестого века до н.э.

Сегодня мы с вами выступим в роли

исследователей и откроем для себя эти

формулы

Группе «ученых» было поручено

рассмотреть данную геометрическую

задачу.

1.Выступление ученых-теоретиков.

Среди математиков Древней Греции было принято выражать

все алгебраически утверждения в геометрической форме.

Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков,

произведение двух чисел истолковывали как площадь

прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки

наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке.

В его работах появляются зачатки буквенной символики и

специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и

квадрата разности двух выражений знали ещё в Древнем

Вавилоне, а древнегреческие математики знали их

геометрическое толкование. Так появились формулы

сокращенного умножения.

2. Выступление ученых-практиков.

-Давайте зададим вопросы в ходе пресс-

конференции.

-Проверим, правильно ли мы

сформулировали правило о нахождении

квадрата суммы и разности по учебнику

(стр. 164) и запишем данные формулы в

тетрадь

На доске закреплены вырезанные из цветной бумаги фигуры

С одной стороны площадь большого квадрата: S=(a+b)

2

С другой стороны – сумма площадей фигур, из которых он

состоял (складываются как мозаика): S= a

2

+b

2

+ab+ab= a

2

+2ab+

b

2

.

Отсюда, (a+b)

2

= a

2

+2ab+ b

2

Ученики: А можно ли записать в виде формулы выражение

(a-b)

2

?

Руководитель группы « ученых»: по аналогии (a-b)

2

= a

2

-2ab+

b

2

Ученики: Что означает каждый член данного полученного

трехчлена.

Члены группы: a

2

- квадрат первого выражения - 2ab

-удвоенное произведение первого и второго выражения плюс

b

2-

квадрат второго выражения.

Ученики: почему необходимо знать полученные формулы?

Руководитель группы: они необходимы для развития навыков

быстрого счета, поэтому их и называют формулами

сокращенного умножения

Работая в парах, учащиеся формулируют друг другу

правила, корректируют ответы, выполняют записи в тетради:

(a+b)

2

= a

2

+2ab+ b

2

-квадрат суммы

(a-b)

2

= a

2

-2ab+ b

2

- квадрат разности (слайд №8)

Методический комментарий.

На этом этапе учащиеся в ходе ролевой игры и проблемного диалога выдвигают гипотезы и строят

модели исходной проблемной ситуации. Оптимальный вариант фиксируется в языке вербально и знаково,

уточняется общий характер нового знания и фиксируется преодоление возникшего ранее затруднения.

5.Этап первичного закрепления во внешней речи -6 мин

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Похвально, что в учёбу с головой

Уходишь, сил и время не жалеешь.

Но всё же помни : знанья — груз пустой,

Когда их применить ты не умеешь!

Давайте попробуем применить полученные знания на практике во время работы (с записью в

тетради)

На интерактивной доске задания (слайды №8-10)

1.

Соедините равные выражения стрелками

a

2

+ 2ab + b

2

c

2

– 2cd + d

2

(c – d)

2

(a + b)

2

(5 – c)

2

25 – 10c + d

2

2

. Заполните пропуски (поставьте знак «+» или «–»)

(р – а)

2

= р

2

…2ра…а

2

(t + f)

2

= t

2

…2tf…f

2

(d – m)(d – m) = d

2

…2dm…m

2

3 Помоги исправить ошибку!

(2х + у)

2

= 2х

2

+ 2ху + у

2

(р – с)

2

= р

2

– рс – с

2

(3а – 4с)

2

= 6а

2

– 12ас – 4с

2

Вопросы от класса к выступающим учащимся:

-Какие новые математические приемы были использованы в работе?

Провер

ка

провод

ится с

помощ

ью

интера

ктивно

й

доски

и

маркер

а с

прогов

ариван

ием

нового

теорет

ическо

го

матери

ала

вслух.

1

ученик

а

2

+2аb

+b

2

(a + b)

2

(c – d)

2

(5-c)

2

2 ученик

- Были ли затруднения при применении нового материала?

- Как бы вы оценили степень усвоения вами темы урока?

(р – а)

2

=

р

2

-

2ра+а

2

(t + f)

2

=

t

2

+2tf+f

2

(d – m)

(d – m)

= d

2

-

2dm+m

2

3 ученик

(2х +

у)

2

=

4х

2

+

2ху +

у

2

(р – с)

2

=

р

2

–2

рс + с

2

(3а –

4с)

2

=

9а

2

–

24ас+

16с

2

Приме

рные

ответы

учащи

хся:

-

форму

лы

сокращ

енного

умнож

ения:

квадра

т

суммы

и

квадра

т

разнос

ти;

- при

нахожд

ении

удвоен

ного

произв

едения

первог

о и

второг

о

выраже

ния;

-

готовы

попроб

овать

свои

силы в

самост

оятель

ной

работе

Методический комментарий.

На этом этапе учащиеся в форме коммуникативного взаимодействия в парах решают типовые задания

на

новый

способ

действий

с

проговариванием

алгоритма

решения

вслух,

проводят самооценку

деятельности (интеллектуальная рефлексия) На данном этапе конкретизируется внимание учеников на уже

доступных в прошлом успехах.

Физкульминутка (использование видеоролика)- 1минута

6.Этап самостоятельной работы с проверкой по эталону -7минут

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Ребята, пришло время для самостоятельной

работы ( слайд № 11), чтобы проверить свои силы.

Но временные рамки ограничены -5мин. За этот

промежуток времени вам нужно как можно больше

дать правильных ответов. Для проверки

-дешефратор (приложение №1). По количеству

правильно решенных примеров выставляется

отметка.

1. (

1

2

а + 2b)

2

2. (3m + 4c)

2

3. (5d – 3c)

2

4. (2r – 4x)

2

5. (1,5x + 2y)

2

- Какую цель вы ставили перед собой?

-Достигли ли вы намеченного результата?

-Какие ошибки вы допустили?

-Что вызвало затруднения?

Выполняют самостоятельную работу (5мин) и

проверяют по эталону. Результаты заносят в лист

самооценки.

Приложение №1

1. (

1

2

а + 2b)

2

=

1

4

a

2

+2ab+4b

2

2. (3m + 4c)

2

=9m

2

+24mc+16c

2

3. (5d – 3c)

2

=25d

2

-30dc+9c

2

4. (2r – 4x)

2

=4r

2

-16rх+16х

2

5. (1,5x + 2y)

2

= 2,25х

2

+6ху+4у

2

Примерные ответы учащихся

- Работать по алгоритму с применением формул

сокращенного умножения.

- Требуется некоторое время для дополнительного

тренажа.

-Ошибки в знаке перед удвоенным произведением

первого и второго выражения.

-Ограниченность во времени.

Методический комментарий.

На данном этапе учащиеся самостоятельно выполняют задания нового типа, осуществляют их

самопроверку, сравнивая с эталоном, выявляют и корректируют возможные ошибки, определяют способы

действий, которые вызывают у них затруднения и им предстоит их доработать. После выполнения задания

организуется исполнительская рефлексия хода реализации построенного проекта учебных действий и

контрольных процедур. Эмоциональная направленность этапа состоит в организации для каждого ученика

ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность.

7. Этап первичного включения нового знания в систему знаний и повторение нового материала

-6минут

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Конечно,

ребята,

недостаточно

просто

знать

формулы квадрата суммы и квадрата разности двух

выражений.

Необходимо

знать,

где

это

правило

можно ещё применить. И сейчас вам предлагается

разобрать

задания,

где

пригодятся

полученные

сегодня знания.

Предусмотрена работа в группах

по индивидуальным заданиям (карточки)

группа №1

(от 5 до 4 выполненных заданий в

самостоятельной работе)

Доказать тождество Диофанта (3век)

(а

2

+b

2

)( c

2

+d

2

)=(ас+bd)

2

+(ad-bc)

2

.

группа№2 (менее 4 выполненных заданий)

Доказать,

что

при

любом

натуральном

«а»

значение выражения (5а+1)

2

-(2а-1)

2

делится на 7.

Ч

ерез 3-4 мин обсуждений вы должны представить

результат

классу

и

обосновать

его,

опираясь

на

теоретический материал.

-Оцените свою работу в группе по 5-ой шкале,

занесите результаты в оценочный лист.

Учащиеся выдвигают гипотезы, обсуждают

решение, представляют результат.

Приложение №2

(а

2

+b

2

)( c

2

+d

2

)=(ас+bd)

2

+(ad-bc)

2

.

Преобразуем левую часть:(а

2

+b

2

)( c

2

+d

2

)=

a

2

c

2

+a

2

d

2

+b

2

c

2

+b

2

d

2

.

Преобразуем правую часть: (ас+bd)

2

+(ad-bc)

2

=

a

2

c

2

+2acbd+b

2

d

2

+a

2

d

2

-2 adbc+b

2

c

2

= a

2

c

2

+b

2

d

2

+a

2

d

2

+b

2

c

2

.

Левая и правая часть выражения равны, значит,

тождество доказано.

Приложение №3

(5а+1)

2

-(2а-1)

2

=25a

2

+10a+1-4a

2

+4a-1=21a

2

+14a=

7(3a

2

+2a).

Так как один из множителей делится на7,то и все

значение выражения делится на 7.

Учащиеся оценивают свою деятельность в группе и

заносят результат в оценочный лист.

Методический комментарий.

На этом этапе выявляются границы применимости нового знания и выполняются задания, в которых

новый способ действий предусматривается как промежуточный шаг; с одной стороны - автоматизация

умственных действий по изученным нормам, а с другой – подготовка к введению в будущем новых норм.

8.Этап фиксации нового знания и оценки собственной деятельности -3минуты

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Вернёмся

к

началу

нашего

урока

(проводится

содержательная рефлексия):

-Как бы вы назвали урок?

-Какова тема сегодняшнего урока?

- Достигли ли мы своей цели? Каков результат

нашей деятельности на уроке?

-Доволен ли ты своей работой на уроке?

-Назовите самое легкое задание, самое трудное.

- Можно ли сказать, что вы стали чуть мудрее?

-Попробуйте определить цели на будущий урок.

2.

Прошу

вас,

ребята,

выбрать

листок

любого

понравившегося

цвета

и

записать

на

нем

свои

впечатления от занятия,

пожелания

учителю по

организации и проведению следующего урока.

Примерные ответы учащихся:

-урок открытия новых знаний;

-квадрат суммы и квадрат разности двух

выражений;

- мы научились применять формулы квадрата

суммы и разности для решения задач;

-работали в группе более успешно, чем

самостоятельно;

-работа в парах и группе требует предельной

внимательности и умения слышать членов

команды, а это делает нас терпимее, а значит,

мудрее;

-цель на следующий урок- закрепление

полученных знаний в ходе самостоятельной работы

и решения индивидуальных заданий по изученной

теме.

Учащиеся заполняют (по желанию) листки и

отдают учителю.

Методический комментарий.

На этом этапе фиксируется новое содержание, изученное на уроке, организуется содержательная

рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности, работы одноклассников и класса в

целом, намечаются дальнейшие цели деятельности.

9. Этап домашнего задания -1минута

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Подсчитайте баллы, полученные в течение урока

И

о ц е н и т е

р а б о т у

п о

с л е д у ю щ е й

таблице(слайд№12)

«5» : 14-15 баллов,

«4» : 11-13 баллов,

«3» : 8-10 баллов,

«2» менее 8 баллов.

-сделайте выбор домашнего задания и запишите его

в дневник:

задания

обязательного

уровня

стр.164(правила)

№799,803;

задания

среднего

уровня:

стр.164,

подготовить

притчу

«Жили-были

квадрат

суммы

и

квадрат

разности», №

810,814

(применение изученного

правила при решении задач);

задания

повышенного

уровня:

стр.163-165,

№819,824, составить программированный тест (2-

3

варианта

ответа)

по

теме

«Квадрат

суммы

и

квадрат разности двух выражений».

Учащиеся подсчитывают баллы, полученные в

течение урока, сообщают результат учителю,

записывают дифференцированное домашнее

задание.

.