Урок алгебры. 8 класс

Тема урока: Квадратные уравнения. Основные понятия.

Цель урока: получить понятие о квадратном уравнении, видах квадратных

уравнений;

получить навыки решения неполных квадратных уравнений.

Ход урока:

1.

Устный опрос.



Какой формулой задается квадратичная функция?



Что является графиком квадратичной функции?



Сколько точек пересечения может иметь парабола с осью Ох?

2.

Изложение нового материала.

Мы с вами решали квадратные уравнения графически. Сегодня начнем

более

детальное

изучение

квадратных

уравнений.

Настало

время

научиться решать их аналитически.

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида

ах

2

+ bх + с = 0, где х – неизвестное; а, b, с – числа, причем а



0.

а – первый (старший) коэффициент;

b – второй коэффициент (коэффициент при х);

с – свободный член.

Назовите коэффициенты а, b, c в уравнении:

а) 4х

2

+ 5х + 7 = 0; г) х

2

– 4 = 0; ж) 4х

2

– 5 + х = 0;

б) 8х

2

– 3х + 4 = 0; д) 3х

2

– х = 0; з) 5 – 6х + х

2

= 0;

в) -3х

2

+ х – 5 = 0; е) 13х

2

= 0; и) 4 – 2х – х = 0.

Как

видите,

есть

квадратные

уравнения,

где

присутствуют

все

три

слагаемых,

такие

уравнения

называются полными

квадратными

уравнениями.

А если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с

равен нулю, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Определение: Корнем квадратного уравнения

ах

2

+ bх + с = 0 называют

число,

при

подстановке

которого

вместо

неизвестного

в

уравнение

получается верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или

установить, что корней нет.

Попробуем решить неполное квадратное уравнение:

1)

Если b = 0, то ах

2

+ с = 0

Пример1. х

2

– 64 = 0

х

2

= 64

х =



8

Ответ: - 8; 8.

Пример 2. 4х

2

+ 17 = 0

4х

2

= - 17

х

2

= -

17

4

Ответ: нет действительных корней.

2)

Если с = 0, то ах

2

+ bх = 0

х(ах + b) = 0

x = 0 или ax = - b

х = -

b

a

Пример 3. х

2

– 12 = 0

x(x – 12) = 0

x = 0 или x – 12 = 0

х = 12

Ответ: 0; 12.

3)

Если b = c = 0, то ах

2

= 0 Пример 4. 15х

2

= 0

х

2

=0 х

2

= 0

х = 0 х = 0

Ответ: 0.

Вопрос: Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение?

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень,

ни одного корня.

То же самое можно сказать и о полном квадратном уравнении.

Графиком квадратичной функции у = ах

2

+ bх + с является парабола. Корнями

квадратного уравнения ах

2

+ bх + с = 0 служат абсциссы точек пересечения

параболы у = ах

2

+ bх + с с осью Ох. Парабола может пересекать ось Ох в

двух точках, может касаться оси Ох, то есть иметь с ней одну общую точку,

может не пересекаться с осью Ох.

Это значит, что квадратное уравнение ах

2

+ bх + с = 0 может иметь

либо два корня, либо один корень, либо не иметь корней.

3.

Закрепление.

№№:

22.4(а),

22.5(а),

22.6(а),

24.16(а,

б),

24.18(а,

б),

24.20(а, б).

№24.4 а) (3х + 1)(2х – 3) + 4(х – 2) = 5(4 – 3х)

6х

2

– 9х + 2х – 3 + 4х – 8 = 20 – 15х

6х

2

– 3х – 11 – 20 + 15х = 0

6х

2

+ 12х – 31 = 0

№ 24.5 а) 2(х + 6)(х – 6) + 3(х + 6) = х

2

– 5х

2(х

2

– 36) + 3х + 18 = х

2

– 5х

2х

2

– 72 + 3х + 18 – х

2

+ 5х = 0

х

2

+ 8х – 54 = 0

24.6 а) 4(4 - 3х)

2

– 2(4 – 3х) = 12 – х

4(16 – 24х + 9х

2

) – 8 + 6х = 12 – х

64 – 96х + 36х

2

– 8 + 6х – 12 + х = 0

36х

2

– 89х + 44 = 0

24.16 а) х

2

+ 5х = 0 б) 2х

2

– 9х = 0

х(х + 5) = 0 (2х – 9) = 0

х = 0 или х = - 5 х = 0 или х = 4,5

Ответ: - 5; 0. Ответ: 0; 4,5.

24.18 а) х

2

– 9 = 0 б) х

2

– 5 = 0

х

2

= 9 х

2

= 5

х =



3 х =



√

5

Ответ: - 3; 3. Ответ: -

√

5

;

√

5

.

24.20 а) 3х

2

+ 7 = 0 б) 6х

2

= 0

3х

2

= - 7 х = 0

Ответ: нет Ответ: 0.

действительных

корней.

4.

Итог урока:



Какое уравнение называется квадратным?



Какое квадратное уравнение называется полным?



Какое квадратное уравнение называется неполным?



Составьте

квадратное

уравнение,

у

которого

старший

коэффициент

равен

8,

коэффициент

при х

равен

5,

свободный член равен 1.

5.

Домашнее задание: § 24, 24.4(б), 24.6(б), 24.17(а, б), 24.18(а, б).