Кружок по математике

(внеурочная деятельность )

Пояснительная записка

Кружок математики рассчитан на два года обучения (1 ч в неделю),

для учащихся 8-9 классов.

Основной целью программы является: развитие и закрепление

интереса к математике, подготовка к ОГЭ.

Основные задачи, поставленные на два учебных года:



Подготовить учащихся к олимпиадам различного уровня;



Формировать логическое мышление посредством решения

задач;



Научить учащихся выполнять тождественные преобразования

выражений.



Научить учащихся основным приемам решения уравнений,

неравенств и их систем.



Научить решать задания с параметрами от простых до

наиболее сложных. Познакомить с разными способами

решения заданий с параметрами.



Научить строить графики и читать их.



Научить различным приемам решения текстовых задач.



Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений

на уровне свободного их использования.



Подготовить учащихся к ОГЭ по математике в 9 классе.



Подготовить обучающихся к изучению математики в старшей

к углубленному изучению математики в профильной школе.

Актуальность введения кружка по математике в школьную

программу:



кружок позволяет планомерно вести внеурочную деятельность по

предмету;



позволяет доработать учебный материал, вызывающий

трудности;



различные формы проведения кружка, способствуют повышению

интереса к предмету;



рассмотрение более сложных заданий олимпиадного характера,

способствует развитию логического мышления учащихся.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании

логического мышления и математической культуры учащихся. Они

имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны

как методическое значение таких задач, так и трудности выработки

навыков их решения.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это

слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно

механического применения формул, необходимо понимание

закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе

известных общих свойств объекта, системность и последовательность

в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в

единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у

учащихся при решении таких задач, и этим же объясняется

справедливое включение задач с параметрами в экзаменационные

работы в школе и на вступительных экзаменах в вузы.

Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов

решения различных задач с параметрами как на уроке, так и во

внеурочной деятельности.

Где мы на уроках встречаемся с параметрами?



функция прямая пропорциональность у = кх;



линейная функция у = кх + b;



линейное уравнение ах + b = 0;



уравнение первой степени ах + b = 0,

;



квадратное уравнение ах

2

+ bх + с = 0,

.

Что же такое параметр? Чаще всего под параметрами понимают

переменные, которые в условиях данной задачи считаются

постоянными. Другими словами параметр – это буквенный

коэффициент.

При рассмотрении одного уравнения (неравенства) с параметрами мы

имеем дело одновременно с бесконечным множеством уравнений

(неравенств). При этом бывает, что при одних значениях параметров

уравнение не имеет корней, а при других имеет. Многие учащиеся

делают ошибки, воспринимая параметр, как «обычное» число, не

задумываясь о том, что параметр, в действительности являясь

числом, может принимать различные значения.

На внеурочных занятиях более подробно разбираются задания с

параметрами. Ребята знакомятся с разными способами решения.

Задания предлагаются от самых простых до сложных, которые

встречаются на ОГЭ во второй части.

Повторить на простых примерах, что такое уравнение, что значит

решить уравнение. При решении уравнений типа

3х – 3 = 4, 12х = - 2, 4 – 2х = 4 обратить внимание учащихся на

то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти через числа.

Запишем все рассмотренные нами уравнения в общем виде. Покажите,

что в уравнение помимо неизвестного могут быть введены и другие

буквы, и буквенные выражения. Например, ах = а – 1; ( с + 2 ) х = 2

с;

.

При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать

любые числовые значения. Например, задавая произвольно

значения а для уравнения

ах = а - 1, получим

2х = 2 – 1 при а = 2;

Зх = 3 – 1 при а = 3;

Ох = - 1 при а = 0;

Уже на начальном этапе решения задач с параметрами возможна работа

с учащимися на нескольких уровнях.

Сильные учащиеся могут привести аналогичные примеры для

рассмотренных выше уравнений с параметрами с и k.

Пример 1. Решить уравнение относительно х:

х + 2 = а + 7.

Решение. х = а + 5.

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а

переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную,

назовем параметром.

Решить уравнение с параметром - - это значит для каждого значения

параметра найти значение неизвестной переменной,

удовлетворяющее этому уравнению.

В нашем примере

при а = 3 х = 8

при а = 0 х = 5

при а = - 4 х = 1.

Заметим, что значения параметра а задаем произвольно, т.е. а может

принимать любые значения.

Значение х находим по формуле х = а + 5 , подставляя в неё задаваемые

значения параметра а.

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = а + 5.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 2. При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем

уравнения

х + 2 = а + 7?

Так как х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5

в уравнение получим верное равенство 2,5 + 2= а + 7, откуда находим а =

- 2,5.

Ответ: при а = - 2,5.

Пример 3 . Решить уравнение (а - параметр)

ах + 8 = а.

Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном

разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем

подробного описания хода решения.

Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0 х = – 8,

полученное уравнение не имеет корней;

коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе

части уравнения на этот коэффициент:

а



0,

ах = а – 8,

.

Ответ: при а = О нет корней;

при а



0,

Замечание. Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда

коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда

первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной

ошибки, когда этот случай теряют.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 4. При каких значениях

уравнение

имеет

единственное решение?



Решение. Решить задачу с параметром – значит перебрать все

значения параметра и для каждого указать ответ. Для квадрат-

ных уравнений наличие корней зависит от дискриминанта.

Рассмотрим следующие случаи:

а)

. При этом уравнение принимает вид

, откуда

,

т.е. решение единственно.

б)

, тогда

– квадратное уравнение,

дискриминант

. Для того, чтобы уравнение имело

единственное решение, нужно, чтобы

, откуда

.

Ответ:

или

.

Пример 5 Решить уравнение:

Первый способ.

Считаем, что

– величина постоянная, и находим корни уравне-

ния:

. Корни существуют, если

.

Решаем это линейное неравенство:

При этих

значениях параметра, то есть когда дискриминант положителен

или равен нулю, корни есть. Причем, когда дискриминант равен

нулю, уравнение имеет единственный корень. Когда дискрими-

нант отрицателен – корней нет.

Ответ: 1. при любом

решений нет; 2. при

уравнение

имеет единственное решение:

; 3. при любом значении

уравнение имеет два различных корня:

Частные случаи:

Найти значения параметра а, при котором уравнение имеет одно

решение.

Ответ: при

корни есть, уравнение имеет единственное ре-

шение:

.

Найти значения параметра а, при котором уравнение не имеет

решения.

Ответ: при любом

решений нет.

Решим пример №2 графически (II способ):

Графический способ решения уравнения.

или

Алгоритм:

Рис. 1. График квадратной функции

1. Построим график функции, стоящей в левой

части

(Рис. 1).

2. Корнями этой функции является

3. График этой функции – парабола, ветви которой направлены

вверх. Вершина параболы находится по формуле:

;

.

Подставляем

. Вершина параболы (

).

1. Рассечь построенный график семейством прямых:

(Рис.

2).

Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых

2. Отметить точки пересечения и выписать ответ. По графику

очевиден ответ:

а) при любом

решений нет

б) при

корни есть, уравнение имеет единственное реше-

ние:

в) при любом значении

уравнение имеет два различных

корня:

.

Графический метод позволяет решать некоторые частные зада-

чи, например: при каких значениях параметра уравнение имеет

два положительных корня. Из графика очевиден ответ:

при

уравнение имеет два различных положительных

корня.

или: при каких значениях параметра уравнение имеет два раз-

личных корня разного знака. Из графика очевидно: при

уравнение имеет два корня разного знака.

Аналогичные частные задачи можно решать и аналитически, для

этого следует воспользоваться теоремой Виета.

Пример 6. Решите уравнение

=

.

Решение.

Здесь k(a) =

, b(a) =

.

1) k(a) не имеет смысла при а = 2,

2) b(a) не имеет смысла при а = – 3 ,

3)

решений нет,

Таким образом а = 2 и а = - 3 – недопустимые значения параметра а,

поэтому при а



уравнение корней не имеет.





а = – 2.

Таким образом при а = – 2

.



Один корень

Таким образом при а



R \

Ответ: 1) если а = 2 или а = – 3, то решений нет;

если а



R \

, то

если а = – 2, то

.

Пример 7.Найти число корней уравнения в зависимости от пара-

метра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в

левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график

подмодульной функции:

. Это парабола, ветви направле-

ны вверх, корни легко угадываются:

, отсюда можно найти

координаты вершины:

. После того,

как график данной функции построен, легко построить график функции

с модулем:

, для этого все отрицательные значения

функции зеркально отображаются относительно оси х.

График функций

и

Далее необходимо рассечь график семейством прямых

, найти

точки пересечения и выписать ответ.

Ответ: При а<0, корней нет; при а=о и а>4, два корня; при 0<а <4.

четыре корня.

Пример 8. Найти число корней уравнения в зависимости от параметра

а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в

левой части. Следует учесть, что

. Сначала построим график

функции

. Это парабола, ветви направлены вверх, корни

легко угадываются:

, отсюда можно найти координаты вер-

шины:

. После того, как график дан-

ной функции построен, легко построить график функции с моду-

лем

. Для этого вспомним, как раскрывается модуль.

При положительных х его можно просто отбросить – эта часть графика

уже построена. При отрицательных х:

, имеем гра-

фик:

. Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко

угадываются и находится вершина. Данное построение можно выпол-

нить проще, зная правило: построить график функции без модуля для

положительных х и отобразить его симметрично относительно оси у.

Выполним построение:

График функции

Далее необходимо рассечь график семейством прямых

, найти

точки пересечения и выписать ответ.

Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при

решений нет;

при

два корня; при

четыре корня; при

три

корня.

Пример 9. При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x

2

+2ax-3a+7 =

2x

имеет ровно два решения?

Решение.

Перепишем это уравнение в виде x

2

+ (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это

квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его

дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем,

что условием наличия ровно двух корней является выполнение

неравенства a

2

+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2.

Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не

имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число

3.

Ответ: 3

Пример 10 Решить относительно х:

а) 3а(а−3)х=а−33а(а−3)х=а−3,

б) 3а(а−3)х>а−33а(а−3)х>а−3.

Решение.

а) Дано обычное линейное уравнение, которое решается довольно

просто. Число в правой части уравнения делим на коэффициент при х

в левой части уравнения.

В правой части уравнения число равняется а−3а−3.

В левой части уравнения коэффициент при х равен 3а(а−3)3а(а−3).

Тогда решение в общем виде

будет: x=a−33a(a−3)=13ax=a−33a(a−3)=13a.

Параметр а может принимать любые значения. Мы знаем, что на ноль

делить нельзя. Тогда 3а≠03а≠0, что означает а≠0а≠0.

То есть мы получили, при а=0а=0 – решений нет, так как на ноль

делить нельзя. При всех остальных значениях параметра

а, x=a−33a(a−3)=13ax=a−33a(a−3)=13a.

б) Нам также дано обычное линейное неравенство. В этом случае

стоит учесть еще одно условие. В зависимости от знака

коэффициента при х мы меняем либо не меняем знак неравенства при

делении на этот коэффициент.

Рассмотрим случаи:

1. a=0a=0;

2. a=3a=3;

3. а<0а<0;

4. 0<a<30<a<3;

5. a>3a>3.

1. a=0a=0. В этом случае неравенство принимает вид 0

∗

х>−30

∗

х>−3,

которое выполняется при любых х.

2. a=3a=3. В этом случае неравенство принимает вид 0

∗

х>00

∗

х>0,

которое не имеет решений.

3. а<0а<0. Коэффициент 3а(а−3)3а(а−3) положителен. Значит, при

делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним,

тогда решением в этом случае будет x>13ax>13a.

4. 0<a<30<a<3. В этом случае коэффициент отрицателен, тогда

следует знак неравенства сменить на противоположный. x<13ax<13a.

5. a>3a>3. Коэффициент 3а(а−3)3а(а−3) положителен. Значит, при

делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним,

тогда решением будет: x>13ax>13a. Пункты 3 и 5 можно объединить в

один при записи в ответ.

Ответ: а) Уравнение не имеет решений при а=0а=0 и а=3а=3. При всех

других а решением уравнения будет x=13ax=13a.

б) При а=0а=0, неравенство выполняется при любых х.

Если а=3а=3, то решений нет.

Если а<0а<0 и a>3a>3, то x>13ax>13a.

Если 0<a<30<a<3, то x<13ax<13a.

Литература

1.

Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ.

М.: Научный мир, 2011.

2.Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения,

неравенства, системы

Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп.

3. ОГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Типовые экзаменационные варианты (36

вариантов)

4. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. / Под ред. Тынякина С.А. – Волгоград, 1991

5. ДорофеевГ.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры Ч.2. – М.,

Перспектива, 1990, с. 2-38