ПРИМИНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ ПРИ ИЗОБРАЖЕНИИ ЛИНИЙ 2-

ГО ПОРЯДКА В ЖИВОЙ ГЕОМЕРИИ

Афанасьева У.В. Шеремет Г.Г.

Аннотация:
Рассматривается построение линий второго порядка, в частности эллипс, гипербола и парабола в программе «Живая геометрия». Даётся подробное описание и решение конструктивной задачи на основе теоремы Паскаля.
Ключевые

слова:
кривые 2-го порядка, терема Паскаля, конструктивная задача, «Живая геометрия», геометрическое место точек, гипербола, парабола, эллипс. Одним из центральных разделов геометрии является теория кривых второго порядка. На практике, с помощью программы «Живая Геометрия» мы доказали, что построение линий 2-го порядка, в частности эллипс это легко реализуемый процесс. [2, c 368]. Однако если мы абстрагируемся от четких научных определений и перейдём в раздел проективной геометрии, мы увидим, что задачи на построение линий 2-го порядка решаются на основе 5 точек. И в этом нам способствует теорема Паскаля.
Теорема Паскаля
. Если шестиугольник вписан в кривую 2-го порядка, то три точки пересечения его противоположных сторон лежат на одной прямой рис. 1 [1, c.155]. Рисунок 1
Итак, на основе теоремы Паскаля решим конструктивную задачу с помощью программы «Живая геометрия» [1,c. 158]. И наглядно убедимся, какие линии второго порядка мы можем получить в результате.
Задача.
Даны пять точек кривой 2-го порядка. Построить ещё несколько её точек.
Решение.
Анализ. Пусть A, B, C, S, S’ – данные пять точек кривой 2-го порядка, а M – шестая точка ой же кривой рис. 2. Рисунок 2 Рассмотрим вписанный шестиугольник ACBSM S ' . В силу теоремы Паскаля точки пересечения противоположных сторон шестиугольника AC ∙ SM ,CB ∙ M S ' и BS ∙ S ' A = S 0 лежат на одной прямой m 0 – прямой Паскаля. Очевидно, точка S 0 не зависит от выбора точки M; следовательно, если заставить точку M описывать кривую, то прямая Паскаля m 0 будет вращаться вокруг точки S 0 .
Построение
в «Живой геометрии»: 1) Отметим точки: A , C , B , S , S ' . Через точки A , C , B проведём прямые: AC = s и BC = s ' c помощью команды Построения кнопка Прямая рисунок 3.
Рисунок 3 2) Построим точку So = AS ' ∙ BS (пересечение прямых A S ' и BS ). Затем проведем «произвольную прямую» m 0 . Так как прямая задает геометрическое место точек, то мы ее определим на произвольной окружности с центром в точке So . Окружность построим с помощью инструмента – окружность рис.4. Через центр и точку на окружности L проведём прямую m 0 . Рисунок 4
3) Отметим точки mos иmos ' полученные в результате пересечения прямой m 0 и s , s ' . Чере з полученные точки проведём п р я м ы е m = S ∙ mos иm ' = S ' ∙ mos ' , они пересекутся в искомой точке M = mm ' рис. 5. Рисунок 5 4) Через точки L, M и окружность с помощью инструмента Построения проведём «Геометрическое место точек», в результате получим линию 2-го порядка
рис.6. Рисунок 6 При движении точек A , C , B , S , S ' в различных направлениях возникает многообразие линий второго порядка: гипербола , парабола и эллипс рис. 7. Рисунок 7
Рисунок 8
Вывод:
На основе теоремы Паскаля нам удалось описать и продемонстрировать решение конструктивной задачи в программе «Живая геометрия». Мы наглядно убедились что, не используя канонические уравнения прямой, строгие научные определения и сведения можно построить линии второго порядка. Список литературы 1) Комиссарук. А. М. Проективная геометрия в задачах: Учеб. пособие для мат. фак. пед. ин-тов. / Комиссарук А.М.–Мн.: Вышэйш. Школа, 1971 – 320 с. : ил. 2) Фундаментальные и прикладные проблемы механики, математики, информатики [Электронный ресурс]: сб. докл. всеросс. науч.-практ. конф. с междунар. участием (г. Пермь, 26–28 мая 2015 г.) / гл. ред. А. П. Шкарапута; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Электрон. дан. – Пермь, 2015. – 9 Мб. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 12 см. – Систем. требования: процессор Intel Pentium, 1,3 ГГц; 40 Мб HDD; 256 Мб RAM; операц. система Windows 98 и выше; рек. разрешение 1024х576; СD-ROM или DVD-ROM. – Загл. с этикетки диска.