Тема курса

Элективный курс по алгебре и началам анализа

Тема урока

Решение нестандартных уравнений

Тип урока

Урок закрепления и усвоения знаний

Цели

1)

Общеобразовательные

1)Обобщить и систематизировать два нестандартных метода решения

уравнений: метод монотонности функции и метод сравнения значений

выражения.

2) Формирование умения выбрать нужный, рациональный способ

решения уравнений.

3)Создавать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля)

усвоения знаний и умений.

2)

Развивающие



доказательность;



способность оценивать, анализировать;



умение обобщать;



умение систематизировать;



формирование навыков познавательной активности.

Развитие личностных сторон ученика:



познавательной;



коммуникативной;



эмоциональной;

Развитие речи.

.

3)

Воспитательные

1)Воспитывать активность, самостоятельность и упорство в

достижении цели.

2) Воспитание добросовестного отношения к труду.

3) Содействовать воспитанию интереса к математике.

Оборудование

Карточки для индивидуальной и самостоятельной работы

Основные

знания, умения

Ученик должен знать следующие понятия: определение монотонной

функции, свойства монотонной функции, теорему о множестве

значений выражения, соотношения между средним арифметическим и

средним геометрическим.

Ученик должен уметь:

1)

Находить промежутки монотонности элементарных функций;

2)

Находить промежутки монотонности более сложных функций;

3) Применять соотношения между средним арифметическим и

средним геометрическим;

4) Использовать формулы сокращенного умножения;

Методы

1.

По источникам знаний:

Словесные, наглядные, практические.

2.

По степени взаимодействия учителя и учащегося:

Беседа, индивидуальная и самостоятельная работа.

3.

В зависимости от конкретных дидактических задач:

Подготовка к восприятию, обобщение и закрепление материала.

4.

По характеру познавательной деятельности учащихся и учителя в

учебном процессе:

1

Объяснительно – иллюстративный, частично – поисковый.

5.

По принципу расчленения или соединения знаний:

Сравнительный, обобщающий.

Методические

рекомендации

Форма

организации

Урок - практикум

План урока:

1.

Организационный этап(2 минуты)

2.

Этап всесторонней проверки знаний(устная работа – 6минут)

3.

Индивидуальная работа(4 минуты)

4.

Устная работа(2 минуты)

5.

Индивидуальная работа(10 минут)

6.

Домашнее задание(2 минуты)

7.

Самостоятельная работа(10 минут)

8.

Подведение итогов урока(2минуты)

9.

Рефлексия(2 минуты)

Ход урока

1. Организационный момент.

На прошлом уроке мы познакомились с двумя нестандартными методами решения

уравнений: метод монотонности функции и метод сравнения множеств значений. Дома вы

должны были решить предложенные уравнения этими двумя методами.

Нестандартные методы решения уравнения.

Метод монотонности функции.





х

х

х

х

2

2

45

1

2

5

5















.

3

41

1

3

3

х

х

х









Ответ: х=2. Ответ: х=2.

.

18

2

3

х

х







.

48

2

3

5





х

х

Ответ: х=-2. Ответ: х=3.

.

3

1999

99

19

х

х

х







.

3

2

3

2

3

2

































х

х

Ответ: х=1. Ответ: х=2.

.

12

4

3

9

5





х

х

.

3

2

х

х





Ответ: х=1. Ответ: х=1.

.

3

3

15

2

2





х

х





.

5

3

5

3

3

2

2

3

2

2











х

х

х

х

Ответ: х=1. Ответ:

.

2

,

1

2

1







х

х





.

1

4

5

log

5

x

x







.

3

log

2

x

x





Ответ: х=1. Ответ: х=2.

.

4

log

3

x

x









.

2

4

6

log

2

x

x







2

Ответ: х=3. Ответ: х=1.

.

6

5

4

3

х

х

х

х







.

19

2

7

5

3

1

4

1

2













х

х

Ответ: х=3. Ответ: х=0,5.





.

log

1

log

3

2

x

x









.

2

2

15

4

15

4

x

x

x

































Ответ: х=9. Ответ: х=2.

Метод сравнения множеств значений.

.

2

1

1

3

6

2

2

х

х

х

х









.

2

2

3

1

2

х

х

х

х









Ответ: х=1. Ответ: х=1.





.

11

6

7

6

log

2

2

4











x

x

x

x





.

18

8

9

8

log

2

2

5











x

x

x

x

Ответ: х=3. Ответ: х=6.





.

2

2

3

2

log

2

2

4











x

x

x

x





.

11

6

5

6

log

2

2

2











x

x

x

x

Ответ: х=1. Ответ: х=3.

.

7

2

sin

4

3

cos

2





x

x

.

8

2

sin

4

3

cos

2







x

x

Ответ: нет корней. Ответ: нет корней.

.

4

cos

4

cos

3





x

x

.

1

3

sin

sin





x

x

Ответ:

.

,

2

Z

n

n

x







Ответ:

.

,

2

Z

n

n

x











.

1

sin

cos

7

8





x

x

.

2

2

5

sin

6

cos





x

x

Ответ:

.

,

,

2

,

Z

k

n

k

x

n

x















Ответ:

.

,

4

Z

k

k

x















.

2

1

sin

2

2

2

2

2

x

x

x









.

1

sin

2

2





x

x

Ответ: х=1. Ответ: нет корней

.

4

5

sin

2







x

x

x



.

2

sin

2

2

2

1

1

2

2

y

х

х











Ответ: х=0,5. Ответ:

.

,

4

1

,

1

,

4

1

,

1

2

2

1

1

Z

n

n

y

x

n

y

х















.

sin

2

cos

sin

4

5

5

x

x

x







.

0

1

2

2

2

4

4

5

2

4















x

x

x

x

x

Ответ:





.

,

1

4

2

Z

n

n

x









Ответ: нет корней.





.

4

sin

4

cos

5

log

2

2





















x

x





.

log

1

log

2

sin

2

2

2

x

x

x









Ответ:

.

,

4

Z

n

n

x











Ответ: х=1.

3







.

4

1

3

2

2

4

2

2















х

х

х

х

х

х







.

12

1

17

4

4

2

2











х

х

х

х

Ответ: нет корней. Ответ: нет корней.

.

2

sin

4

5

3

2

1

4

x

х











.

1

2

8

1

2

х

х







Ответ: х=0,25. Ответ: нет корней.

.

cos

2

3

3

x

x

x







.

5

,

1

1

2

cos

sin

x

x





Ответ: х=0. Ответ: нет корней.









.

2

sin

1

8

4

log

2

2











x

x

x

.

cos

1

9

6

2

4

x

x

x

x











Ответ: х=2. Ответ: х=0.

.

2

cos

sin

log

2









x

x

x









0

2

2

log

1

2

2

2









x

x

x

Ответ:

.

2





x

Ответ: нет корней.

На уроке мы разберём решение уравнений, которые у вас вызвали затруднения. А

начинаем урок, как всегда с устной работы.

2. Устная работа.

1.

Какие утверждения используются при решении уравнений методом монотонности

функции?

1)Монотонная функция принимает каждое значение только дин раз.

2)Сумма двух монотонных функций есть функция монотонная.

3)Если функция





x

f

возрастает на множестве X, функция





x

g

убывает на множестве

X, то уравнение









x

g

x

f



имеет на множестве X не более одного корня.

2. Назовите промежутки элементарных функций.

x

y

x

y

x

y

x

y

2

4

3

2

3















x

y

x

y

x

y







2

2

1

log

3. Устно решить уравнение.

1.

x

x







18

2

3

2.

33

2

3







x

x

Ответ: х=-2. Ответ: х=-3.

3.

.

6

2

.

4

3

2

х

х

х

х









Ответ: х=1. Ответ: х=2.

5.









.

3

7

2

log

.

6

1

4

5

log

2

5

x

x

x

x













Ответ: х=1. Ответ: х=3.

3. Индивидуальная работа.

4

Какой пример вызвал затруднение? Решение показательного уравнения.

Решить уравнение

.

6

5

4

3

х

х

х

х







Решение. Разделим обе части уравнения на

х

6

. По

лучаем уравнение

.

6

5

1

3

2

2

1

,

1

6

5

6

4

6

3

х

х

х

х

х

х





















































































В левой части уравнения стоит функция убывающая, как сумма двух убывающих

функций, в правой части уравнения стоит функция возрастающая, следовательно

данное уравнение имеет не более одного корня, который найдём методом подбора.

Ответ: х=3.

4. Устная работа.

Сформулируйте теорему, которая используется при решении уравнений методом

сравнения значений выражения.

Если





a

x

f



на множестве X, если





a

x

g



на множестве X, то уравнение









x

g

x

f



равносильно системе уравнений



















.

,

a

x

g

a

x

f

Разберём уравнения, которые у вас вызвали затруднения.

5..Индивидуальная работа.

Решить уравнение

.

2

1

1

3

6

2

2

x

x

x

x









Решение. 1.Оценим левую часть уравнения

.

2

1

2

2





х

х

2.

Оценим правую часть уравнения





















.

2

2

1

2

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2

3

2

3

3

6

3

6

3

6











































х

х

х

х

х

х

х

х

3. Составляем систему уравнений





















.

2

2

1

,

2

1

3

6

2

2

х

х

х

х

Решим второе уравнение системы и

выполним проверку.





.

1

,

1

,

0

1

,

0

1

,

0

1

2

,

0

1

2

3

3

2

3

2

6

3

6



























х

х

х

х

х

х

х

х

5

4. Проверка

.

2

2

,

2

1

1

1

2







Ответ: х=1.

Решить уравнение





.

18

8

9

8

log

2

2

5











x

x

x

x

Решение. 1.Оценим правую часть уравнения





.

2

2

4

2

16

8

18

8

2

2

2

2





















х

х

х

х

х

2. Оценим выражение, стоящее под знаком логарифма.





















.

25

25

4

25

4

9

16

16

8

9

8

9

8

2

2

2

2

2











































х

х

х

х

ч

х

х

х

3. Оценим правую часть уравнения





.

2

9

8

log

2

5







x

x

4. Составляем систему уравнений и решаем второе уравнение системы, выполняем

проверку.









.

4

,

0

4

,

0

16

8

,

0

2

18

18

8

.

2

18

8

,

2

9

8

log

2

2

2

2

2

5













































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Проверка.





.

2

2

,

2

25

log

,

2

9

4

4

8

log

5

2

5













Ответ: х=4.

5. Самостоятельная работа по вариантам.

Вариант 1. 1. Решить уравнение

.

4

log

3

x

x





Ответ: х=3.

2. Решить уравнение

.

2

2

3

1

2

x

x

x

x









Ответ: х=1.

Вариант 2. 1. Решить уравнение

.

3

log

2

x

x





Ответ: х=2.

2. Решить уравнение

.

cos

2

3

3

x

x

x







Ответ: х=0.

6. Домашнее задание.

Продолжить решение предложенных уравнений.

7. Подведение итогов урока и выставление оценок.

6