Авторы: Жагалова Светлана Валерьевна, Зиганшина Елена Викторовна
Должность: преподаватель
Учебное заведение: ГКПОУ Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П.Романова
Населённый пункт: город Прокопьевск
Наименование материала: методические рекомендации
Тема: "Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине "Математика"
Раздел: среднее профессиональное
Государственное казенное профессиональное образовательное учреждение
Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению практических работ
по дисциплине «Математика»
специальности:
13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и
электромеханического оборудования (по отраслям)
СОГЛАСОВАНО
Председатель цикловой комиссии
Жигалова С.В..________
«___»____________20 г.
Должность
Фамилия/Подпись
Дата
Разработал
Преподаватель
З и г а н ш и н а
Е . В .
ЖигаловаС.В.
Версия: 1.0
стр. 1 из 56
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по учебной работе
____________ Т.В.Ломан
«___» _____________20 г.
Рассмотрено
на заседании методического совета
ГКПОУ ПГТТ им. В.П. Романова
Старший методист
_________________ Е.Л. Тимофеева
«_____» __________________20 г.
Версия: 1.0
стр. 2 из 56
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
4
Практическая работа №1
6
Практическая работа №2
9
Практическая работа №3
12
Практическая работа №4
15
Практическая работа №5
19
Практическая работа №6
23
Практическая работа №7
27
Практическая работа №8
33
Практическая работа №9
37
Практическая работа №10
39
Практическая работа №11
41
Практическая работа №12
43
Практическая работа №13
45
Практическая работа №14
46
Приложение 1
48
Список используемой литературы
49
Версия: 1.0
стр. 3 из 56
Введение
Основное назначение методических указаний по выполнению практических работ дать
возможность каждому студенту выполнить работу в необходимой последовательности, которая
помогает
достичь
наилучшего
результата.
Методические
указания
содержат
четкую
последовательность действий по выполнению работы, обращают внимание студентов к ранее
полученным теоретическим знаниям, концентрируют его внимание на наиболее важных и
сложных моментах.
Изучение
данной
дисциплины
предусматривает
работу
студента
с
учебником,
конспектом. На выполнение практических работ отводится 28 часов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
-
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной
профессиональной образовательной программы;
-
основные
математические
методы
решения
прикладных
задач
в
области
профессиональной деятельности;
-
основные
понятия
и
методы
математического
анализа,
линейной
алгебры,
теории
комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
- основы интегрального и дифференциального исчисления.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен освоить общие компетенции:
ОК 1. Понимать
сущность
и
социальную
значимость
своей
будущей
профессии,
проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 4. Осуществлять
поиск
и
использование
информации,
необходимой
для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и
личностного
развития.
ОК 5. И с п ол ь з о ват ь
и н ф о рма ц и о н н о - ком м у н и ка ц и о н н ы е
т ех н ол о г и и
в
профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством,
потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат
выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться
в
условиях
частой
смены
технологий
в профессиональной
деятельности.
Версия: 1.0
стр. 4 из 56
В результате освоения дисциплины обучающийся должен освоить профессиональные
компетенции:
ПК 1.1. В ы п о л н я т ь
н а л а д к у,
р е г ул и р о в к у
и
п р о в е р к у электрического
и
электромеханического оборудования.
ПК 1.2. Организовывать
и
выполнять
техническое
обслуживание
и
ремонт
электрического и электромеханического оборудования.
ПК 1.3. Осуществлять
диагностику
и
технический
контроль
при
эксплуатации
электрического и электромеханического оборудования.
ПК 1.4. Составлять отчётную документацию по техническому обслуживанию и ремонту
электрического и электромеханического оборудования.
ПК 2.1. Организовывать и выполнять работы по эксплуатации, обслуживанию и ремонту
бытовой техники.
ПК 2.2. Осуществлять диагностику и контроль технического состояния бытовой техники.
ПК 2.3. Прогнозировать отказы, определять ресурсы, обнаруживать дефекты
ПК 3.1. Участвовать
в
планировании
работы
персонала
производственного
подразделения.
Содержание практических работ позволяет освоить студенту:
-
действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах,
а
также
переход
от
алгебраической
формы
комплексного
числа
к
тригонометрической,
показательной и обратно;
-
практические
приемы
вычисления
с
помощью
методов
дифференциального
и
интегрального исчисления;
-
решение комбинаторных задач и нахождение вероятностей случайных событий;
-
виды и методы решения простейших дифференциальных уравнений;
-
выполнение операций над матрицами;
Методические указания разработаны на основе рабочей программы по дисциплине
«Математика»
для
специальности
13.02.11
Техническая
эксплуатация
и
обслуживание
электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)
Ход выполнения практической работы
Практические
работы
необходимо
выполнять
в
специальных
тетрадях
с
указанием
номера, темы, целей работы.
Ход работы:
1.
Познакомиться с теоретическим материалом
2.
В тетрадях для практических работ решить примеры или задачи, которые указаны в
работе.
3.
Ответить на контрольные вопросы.
4.
Сдать преподавателю тетради для практических работ.
Версия: 1.0
стр. 5 из 56
Раздел 1: Комплексные числа
Практическая работа №1
Тема: Основы комплексных чисел
Ц е л ь : закрепить
умения
и
навыки
действий
над
комплексными
числами
в
алгебраической форме.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Знать: основные понятия теории комплексных чисел.
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 1.
Опр. Комплексными числами называются выражения вида, а+bi, где
а и b - действительные числа, i – мнимая единица, где
i
2
=−
1
Комплексное число принято обозначать буквой z.
- Алгебраическая форма записи комплексного числа
a- действительная часть комплексного числа
b-мнимая часть комплексногочисла.
Правила действий над комплексными числами.
Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел в алгебраической форме
производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
1. Сложение
(2+3i)+ (5-7i) =2+3i+5-7i=7-4i
2.Вычитание
(2+3i)- (5-7i) =2+3i-5+7i=-3+10i
3.Произведение
(2+3i)
¿
(5-7i)=10-14i+15i-21
i
2
=10+i-21(-1)=10+i+21=31+i
z
×
z
=(
a
+
bi
)×(
a
−
bi
)=
a
2
−(
bi
)
2
=
a
2
−
b
2
i
2
=
a
2
−
b
2
(−
1
)=
a
2
+
b
2
z
×
z
=
a
2
+
b
2
4.Деление
1)
2
+
3i
2
=
2
2
+
3i
2
=
1
+
3
2
i
2)
2
+
3i
2 i
=
(
2
+
3i
)×
i
2 i
×
i
=
2i
+
3 i
2
2 i
2
=
2 i
−
3
2
(−
1
)
=
2i
−
2
−
3
−
2
=−
i
+
1,5
=
1,5
−
i
Версия: 1.0
стр. 6 из 56
z = а+bi
3)
2
+
3i
1
+
2i
=
(
2
+
3i
)(
1
−
2i
)
(
1
+
2i
)(
1
−
2i
)
=
2
−
4 i
+
3 i
−
6 i
2
1
2
+
2
2
=
8
−
i
5
=
8
5
−
1
5
i
Задание
к
практической
работе
№1:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1.
(4-i)+(3-2i)
2.
(6-4i)+(-2+4i)
3.
(-6-7i)-(3+3i)
4.
(2-2i)(5-3i)
5.
4
−
i
i
6.
2
+
4 i
1
−
3i
7.
(
2
+
3 i
)
2
1 вариант
Вычислить.
1
) (
2
−
3i
)+(
4
−
5 i
)−(−
6
−
7 i
)
2
) (
4
+
5i
)
2
3
)
2
+
5 i
4
−
8 i
4
)
3 i
2
+
4 i
17
2 вариант
Вычислить.
1
) (
6
+
2 i
)−(
3
+
4 i
)+(−
2
−
i
)
2
) (
7
−
6 i
)
2
3
)
6
−
4 i
2
+
5 i
4
)
2
6
−
4 i
3
3 вариант
Вычислить.
1
) (
7
−
2 i
)−(
8
+
3 i
)+(
2
+
5i
)
2
) (
3
−
4 i
)
2
3
)
5
−
3i
2
+
7 i
4
)
4
3
−
i
15
Версия: 1.0
стр. 7 из 56
4 вариант
Вычислить.
1
) (
8
+
3 i
)+(−
5
−
7 i
)−(
2
−
2 i
)
2
) (
5
+
6 i
)
2
3
)
4
−
5 i
1
+
7 i
23
4
)
2
8
−
2 i
Контрольные вопросы
1.Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в
алгебраической форме?
2.Какие числа называются сопряженными комплексными числами?
3.Как геометрически изображаются комплексные числа?
Литература:[1] глава 10 §10.1, 10.2
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 8 из 56
Практическая работа №2
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Ц е л ь : закрепить
умения
и
навыки
действий
над
комплексными
числами
в
тригонометрической форме.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Знать: основные понятия теории комплексных чисел.
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 2.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Определение:Модулем
ком п л е кс н о го
ч и с л а
н а з ы в а е т с я
д л и н а
в е к т о р а ,
соответствующего данному комплексному числу.
По теореме Пифагора
r
=
√
a
2
+
b
2
-модуль комплексного числа
Пример: z=3+4i
r
=
√
3
2
+
4
2
=
√
25
=
5
Определение:Аргументом
комплексного
числа z
¿
0
называется
угол
между
положительным направлением оси Ox и вектором, соответствующим данному комплексному
числу.
ϕ
- аргумент комплексного числа.
z=a+bi- алгебраическая форма комплексного числа (1)
sin ϕ
=
b
r
⇒
b
=
sin ϕ
cosϕ
=
a
r
⇒
a
=
r cosϕ
(2)
Подставим (2) в (1)
z
=
r cos ϕ
+
ir sin ϕ
=
r
(
cos ϕ
+
i sin ϕ
)
z
=
r
(
cosϕ
+
i sin ϕ
)
- тригонометрическая форма комплексного числа
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1. Умножение:
Версия: 1.0
стр. 9 из 56
r
1
(
cosϕ
1
+
i sin ϕ
1
)×
r
2
(
cos ϕ
2
+
i sin ϕ
2
)=
r
1
×
r
2
(
cos
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)+
i sin
(
ϕ
1
+
ϕ
2
))
Пример:
2
(
cos50
∘
+
i sin 50
∘
)×
3
(
cos10
∘
+
i sin 10
∘
)=
6
(
cos 60
∘
+
i sin 60
∘
)=
6
(
1
2
+
i
√
3
2
)=
3
+
3
√
3 i
2.Деление:
r
1
(
cos ϕ
1
+
isin ϕ
1
)÷
r
2
(
cos ϕ
2
+
i sin ϕ
2
)=
r
1
÷
r
2
(
cos
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)+
i sin
(
ϕ
1
−
ϕ
2
) )
Пример:
4
(
cos40
∘
+
i sin 40
∘
)÷
2
(
cos 10
∘
+
isin 10
∘
)=
2
(
cos 30
∘
+
isin 30
∘
)=
2
(
√
3
2
+
1
2
i
)=
√
3
+
i
3. Возведение в степень:
(
r
(
cos ϕ
+
i sin ϕ
))
n
=
r
n
(
cos nϕ
+
i sin nϕ
)
Пример:
(
3
(
cos30
∘
+
i sin 30
∘
))
3
=
27
(
cos 90
∘
+
i sin 90
∘
)=
27
(
0
+
i
)=
27 i
Задание
к
практической
работе
№2:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1.
1
2
(
cos 70
∘
+
isin 70
∘
)×
4
(
cos 20
∘
+
isin 20
∘
)
2.
3
8
(
cos100
∘
+
i sin 100
∘
)×
4
9
(
cos20
∘
+
i sin 20
∘
)
3.
(
√
2
(
cos 60
∘
+
i sin 60
∘
) )
4
4.
1
4
(
cos 250
∘
+
isin 250
∘
)÷
1
8
(
cos 40
∘
+
i sin 40
∘
)
1 вариант
1.Найти произведение
(
cos45
∘
+
i sin 45
∘
)×
3
(
cos 180
∘
+
i sin 180
∘
)
2.Найти частное
0,6
(
cos120
∘
+
i sin 120
∘
)÷
3
(
cos180
∘
+
i sin 180
∘
)
3. Возвести в степень
(
√
3
(
cos 30
∘
+
isin 30
∘
) )
6
2 вариант
1.Найти произведение
3
(
cos390
∘
+
i sin 390
∘
)×
2
(
cos 15
∘
+
i sin 15
∘
)
2.Найти частное
4
(
cos60
∘
+
i sin 60
∘
)÷
8
(
cos 30
∘
+
i sin 30
∘
)
Версия: 1.0
стр. 10 из 56
3. Возвести в степень
(
1
2
(
cos 45
∘
+
i sin 45
∘
)
)
4
Дополнительное задание
0,6
(
cos
5 π
4
+
i sin
5 π
4
)÷
0,2
(
cos2 π
+
i sin 2 π
)
2,4
(
cos π
+
isin π
)×
0,5
(
cos
5 π
4
+
i sin
5 π
4
)
Контрольные вопросы
1.
Что называется модулем комплексного числа?
2.
Что называется аргументом комплексного числа?
3.
Как записываются комплексные числа в алгебраической и тригонометрической
формах?
4.
Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень для комплексных
чисел, записанных в тригонометрической форме.
Литература:[1] глава 10 10.3
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 11 из 56
Практическая работа №3
Тема:
Решение
примеров
на
переход
от
алгебраической
формы
к
тригонометрической, показательной и обратно.
Ц е л ь : закрепить
умения
и
навыки
перехода
от
алгебраической
формы
к
тригонометрической и показательной формам комплексного числа.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь:
выполнять
переход
от
алгебраической
формы
к
тригонометрической
и
показательной формам и наоборот.
Знать: основные понятия теории комплексных чисел.
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 3.
Алгоритм
перехода
из
алгебраической
формы
записи
комплексного
числа
к
тригонометрической.
1) По знакам a и b определить четверть, в которой лежит комплексное число.
2) Найти модуль комплексного числа r:
r
=
√
a
2
+
b
2
3) Найти острый угол
α
между осью Ox и вектором, соответствующим данному
комплексному числу, для этого вычислить tg
α
=|
b
a
|
и найти угол
α
.
4) Найти аргумент
ϕ
.
Если комплексное число находится в
1 четверти, то
ϕ
=
α
2 четверти, то
ϕ
=
π
−
α
3 четверти, то
ϕ
=
π
+
α
4 четверти, то
ϕ
=
2 π
−
α
5) Записать комплексное число в тригонометрической форме
z
=
r
(
cosϕ
+
i sin ϕ
)
Показательная форма комплексного числа.
z
=
rℓ
iϕ
- Показательная форма комплексного числа
r
−
модуль комплексного числа
ϕ
−
аргумент
ℓ
−
основание натурального логарифма
ℓ
=
2, 71828
…
Версия: 1.0
стр. 12 из 56
Пример: Записать комплексное число
z
=−
1
−
√
3 i
в тригонометрической форме
1)
a
=−
1
b
=−
√
3
z
∈
3 четверти
2)
r
=
√
(−
1
)
2
+(−
√
3
)
2
=
√
1
+
3
=
√
4
=
2
3)
tg α
=|
−
√
3
−
1
|=
√
3
⇒
α
=
π
3
4)
ϕ
=
π
+
π
3
=
4 π
3
5)
z
=
2
(
cos
4 π
3
+
i sin
4 π
3
)
Задание
к
практической
работе
№3:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
Вариант 1
1. Решить уравнение:
x
2
+
3 x
+
4
=
0
2. Вычислить:
2
+
5 i
5
4
−
8 i
3. Записать в тригонометрической форме
z
=
2
√
2
−
2
√
6 i
4. Найти частное
2
(
cos150
∘
+
i sin 150
∘
)÷
4
(
cos210
∘
+
i sin 210
∘
)
5. Выполните действия
(
−
1
+
i
√
2
)
6
Вариант 2
1. Решить уравнение:
2,5 x
2
+
x
+
1
=
0
2. Вычислить:
6
+
4 i
11
2
+
5 i
3. Записать в тригонометрической форме
z
=
√
3
8
+
1
8
i
4. Возвести в степень
Версия: 1.0
стр. 13 из 56
(
√
2
(
cos 60
∘
+
isin 60
∘
) )
4
Версия: 1.0
стр. 14 из 56
5. Выполните действия
(
√
3
−
i
2
)
4
Вариант 3
1. Решить уравнение:
4 x
2
−
20 x
+
26
=
0
2. Вычислить:
5
−
3 i
2
+
7 i
13
3. Записать в алгебраической форме
z
=
4 ℓ
−
π
4
i
4. Найти произведение
3
(
cos225
∘
+
i sin 225
∘
)⋅
5
(
cos 90
∘
+
i sin 90
∘
)
5. Выполните действия
(
√
3 i
−
1
i
9
)
2
Вариант 4
1. Решить уравнение:
5 x
2
−
4 x
+
8
=
0
2. Вычислить:
4
−
5 i
25
1
−
7 i
3. Представить в тригонометрической форме
z
=−
3
+
√
3 i
4. Найти произведение
2
(
cos60
∘
+
i sin 60
∘
)⋅
3
(
cos330
∘
+
i sin 330
∘
)
5. Выполните действия:
(
4
√
3
+
i
)
2
Контрольные вопросы
1.Что называется модулем комплексного числа?
2.Что называется аргументом комплексного числа?
3.Как записываются комплексные числа в алгебраической и тригонометрической
формах?
4.Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень для комплексных
чисел, записанных в тригонометрической форме.
Литература:[1] глава 10 10.3
Критерии оценки выполнения задания:
- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями;
Версия: 1.0
стр. 15 из 56
0
⊿
x
x
⊿
f
y
Раздел 2: Математический анализ
Практическая работа №4
Тема: Дифференцирование функций. Производные второго и высших порядков.
Цель: закрепить умения и навыки нахождения производной функции, выбирать типовые
способы и методы выполнения поставленных задач, развивать такие профессиональные
способности, как организованность, собранность, внимание, аккуратность.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: находить производные функций.
Знать: основные понятия и методы математического анализа
Количество часов: 2
Оборудование: тетрадь для практических работ, конспект, учебники, пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 4
Производная функции.
Пусть y=f(x) - непрерывная
функция.
∆ x
=
x
−
x
0
- приращение
аргумента
∆ f
=
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
- приращение
аргумента
Определение: Производной
функции y=f(x) в точке
x
0
называется предел отношения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю.
f
'
(
x
0
)
=
lim
x → x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim ∆ f
∆ x
∆→ 0
Обозначение:
y
'
или f
'
(
x
)
Обозначение: Процесс нахождения производной от данной функции называется
дифференцированием
Физический смысл производной.
S
=
S
'
(t) - закон движения тела
- скорость движения тела в данный момент времени равна производной
от пути по времени.
Версия: 1.0
стр. 16 из 56
V
=
S
'
(t)
Формулы дифференцирования.
Во всех приведенных ниже формулах буквами U и V обозначены дифференцируемые
функции независимой переменной х:
U
=
f
(
x
)
, V
=
g
(
x
)
, а буквами
a , n, c
- постоянные.
Версия: 1.0
стр. 17 из 56
1.
c
'
=
0
2.
x
'
=
1
3.
(
U
±
V
)
'
=
U
'
±
V
'
4.
(
U
⋅
V
)
'
=
U
'
⋅
V
+
V
'
⋅
U
5.
(
C
⋅
U
)
'
=
C
⋅
U
'
6.
(
U
V
)
′
=
U
'
⋅
V
−
V
'
⋅
U
V
2
Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной х, так и для
сложной, где
a
>
0, a
≠
1
.
7.
(
x
n
)
'
=
n
⋅
x
n
−
1
;
7а.
(
U
n
)
'
=
n
⋅
U
n
−
1
⋅
U
'
;
8.
(
c
x
)
′
=−
c
x
2
;
8а.
(
C
U
)
′
=−
C
U
2
⋅
U
'
;
9.
(
√
x
)
'
=
1
2
√
x
;
9а.
(
√
U
)
′
=
1
2
√
U
⋅
U
'
;
10.
(
sin x
)
'
=
cos x
;
10а.
(
sin U
)
'
=
cosU
⋅
U
'
;
11.
(
cos x
)
'
=−
sin x
11а.
(
cosU
)
'
=−
sin U
⋅
U
'
;
12.
(
tgx {
)
'
=
1
cos
2
x
¿
;
12а.
(
tgU {
)
'
=
1
cos
2
U
⋅
U
'
¿
;
13.
(
ctgx {
)
'
=−
1
sin
2
x
¿
;
13а.
(
ctgU {
)
'
=−
1
sin
2
U
⋅
U
'
¿
;
14.
(
a
x
)
'
=
a
x
⋅
ln a
;
14а.
(
a
U
)
'
=
a
U
⋅
ln a
⋅
U
'
;
15.
(
e
x
)
'
=
e
x
;
15а.
(
e
U
)
'
=
e
U
⋅
U
'
;
16.
(
ln x
)
'
=
1
x
;
16а.
(
ln U
)
'
=
1
U
⋅
U
'
;
17.
(
log
a
x
)
'
=
1
x
⋅
ln a
;
17а.
(
log
a
U
)
'
=
1
U
⋅
ln a
⋅
U
'
.
Сложная функция и ее производная.
Определение: Функция от функции называется сложной функцией.
y=f(u), где u=g(x), y=f(g(x)) - сложная функция
х - независимая переменная
u - промежуточная переменная
у - функция
- Производная сложной функции по независимой переменной равна
произведению производной функции по промежуточной переменной на
производную от промежуточной переменной по независимой.
Версия: 1.0
стр. 18 из 56
y
x
'
=
y
u
'
∙ u
x
'
При решении ниже приведенных примеров сделаны подробные записи.
Пример1:
y
=
2 x
7
−
x
8
+
x
3
x
+(¿¿
3
)
'
=
2 ∙ 7 x
6
−
1
8
+
3 x
2
=
14 x
6
−
1
8
+
3 x
2
y
'
=
(
2 x
7
−
x
8
+
x
3
)
'
=
(
2 x
7
)
'
−
(
x
8
)
'
+
(
x
3
)
'
=
2 ∙
(
x
7
)
'
−
1
8
∙
(
x
)
'
+¿
Пример2:
f
(
x
)=
x ∙
√
x
f
'
(
x
)=(
x ∙
√
x
)
'
=(
x ∙ x
1
2
)
'
=(
x
1
1
2
)
'
=
3
2
∙ x
1
2
=
3
2
∙
√
x
Пример3:
f
(
x
)=
lnx
x
f
'
(
x
)=
(
lnx
)
'
∙ x
−(
x
)
'
∙ lnx
x
2
=
1
x
∙ x
−
lnx
x
2
=
1
−
lnx
x
2
Пример4:
y
=
x ∙ lnx
y
'
=
(
x ∙ lnx
)
'
=
x
'
∙ lnx
+
x ∙
(
lnx
)
'
=
lnx
+
x ∙
1
x
=
lnx
+
1
Пример5:
f
(
x
)
=
ln sin x
sin x
ln
¿
¿
¿
f
'
(
x
)
=¿
Пример6:
f
(
x
)=
e
x
2
−
2 x
f
'
(
x
)
=
(
e
x
2
−
2x
)
'
=
e
x
2
−
2 x
∙
(
x
2
−
2 x
)
'
=
e
x
2
−
2 x
∙
(
(
x
2
)
'
−
(
2 x
)
'
)
¿
e
x
2
−
2 x
∙
(
2 x
−
2
)
Пример7:
S
(
t
)
=
√
2 t
8
−
6 t
S
'
(
t
)
=
1
2
√
2t
8
−
6t
∙
(
2 t
8
−
6 t
)
'
=
1
2
√
2 t
8
−
6 t
∙
(
(
2 t
8
)
'
−
(
6 t
)
'
)
=
1
2
√
2t
8
−
6 t
∙ ∙
(
16 t
7
−
6
)
=
16 t
7
−
6
2
√
2t
8
−
6 t
=
2
(
8 t
7
−
3
)
2
√
2 t
8
−
6 t
=
8 t
7
−
3
√
2 t
8
−
6 t
Пример8:
y
=
tg 2 x
y
'
=
tg2 x
'
=
1
cos
2
2 x
∙
(
2 x
)
'
=
2
cos
2
2 x
Задание
к
практической
работе
№4:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1.
y= (3x+
2 x
3
)
3
2.
y=ln
2
x
3.
y=
(
6 x
−
3
)
4
4.
y=sin
3
x
5.
у=
1
2
e
2 x
−
3
6.
y=cos3x+sin5x
7.
y=
√
5 x
−
2
−
ln 3 x
Версия: 1.0
стр. 19 из 56
8.
s=arcsin
x
5
9.
y=
6
2 x
−
3
Найти
у
' '
для функций:
1.
у=sin3x
2.
y=
2 x
−
1
x
3.
y=ln5x
Версия: 1.0
стр. 20 из 56
Контрольные вопросы:
1.
Что называется производной функции в точке?
2.
Какую функцию называют сложной?
3.
Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции
4.
Сформулируйте теорему о производной суммы двух функций.
5.
Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.
6.
Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.
Литература:[1] глава 11 §11.1-11.4
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Практическая работа №5
Тема: Исследование функций с помощью первой и второй производной.
Цель: закрепить умения применять производную к исследованию функций.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности
Знать: значение математики в профессиональной деятельности и при освоении
основной профессиональной образовательной программы;
основные
математические
методы
решения
прикладных
задач
в
области
профессиональной деятельности; основные понятия и методы математического анализа
Количество часов: 2
Оборудование: тетрадь для практических работ, конспект, учебники, пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 5
Исследование функций с помощью первой производной на экстремум
По
знаку
производной
функции у=f(x)
можно
судить
о
поведении
функции:
если
f
'
(
x
0
)>
0
, то функция возрастает в точке х
0
, если
f
'
(
x
0
)<
0
, то функция убывает в этой
точке.
Построим график функции у=f(x)
Рис. 2
В точке х
1
функция имеет максимум, т.к. значение функции в этой точке больше, чем ее
значения во всех точках, достаточно близких к х
1
. В точке х
2
функция имеет минимум, т.к.
Версия: 1.0
стр. 21 из 56
значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к
х
2
.
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.
Правило исследования функции на экстремум с помощью первой производной
(первое правило)
1.Найти область определения функции.
2.Найти первую производную функции.
3.Найти
критические
точки,
для
этого
производную
приравнять
к
нулю
y
'
=
0
и
решить полученное уравнение.
4.Отметить
на
числовой
прямой
область
определения
функции
и
разбить
ее
критическими точками на интервалы монотонности.
5.Исследовать знак производной в каждом интервале.
6.Сделать вывод: если производная при переходе через критическую точку х
0
слева
направо меняет знак с плюса на минус, то при х=х
0
функция имеет максимум, если с минуса на
плюс, то – минимум, если производная не будет менять знака, то нет ни максимума, ни
минимума.
7.Вычислить максимальные и минимальные значения функции, для этого критические
значения аргумента нужно подставить в данную функцию y=f(x).
Пример. Исследовать на экстремум функцию
y
=(
1
−
x
2
)
3
.
Решение.
1.Областью определения является множество всех действительных чисел, т.е.
x
∈
R
.
2.Найдем производную функции
y
'
=((
1
−
x
2
)
3
)
'
=
3
⋅(
1
−
x
2
)
2
⋅(
1
−
x
2
)
'
=
3
(
1
−
x
2
)
2
⋅(−
2 x
)=−
6 x
(
1
−
x
2
)
2
.
3.Так как эта функция имеет производную всюду, то критические точки определим,
решая уравнение:
y
'
=
0
.
−
6 x
(
1
−
x
2
)
2
=
0 ; x
1
=
0, x
2
=−
1, x
3
=
1
.
4.Отметим критические точки на числовой прямой (рис. 3)
5.Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов:
Версия: 1.0
стр. 22 из 56
x
=−
2; { y
'
(−
2
)=−
6
⋅(−
2
)⋅(
1
−(−
2
)
2
)
2
=
12
⋅(−
3
)
3
=
12
⋅
9
>
0
¿
x
=−
0,5 ; { y
¿
'
(−
0,5
)>
0
¿
x
=
0,5 ; { y
¿
'
(
0,5
)<
0
¿
x
=
2 ; { y
¿
'
(
2
)<
0
¿ ¿
6.Делаем вывод: при переходе через точку х=0 производная меняет знает с плюса на
минус, следовательно, при х=0 функция имеет максимум. При
x
=±
1
нет ни максимума, ни
минимума, т.к. при переходе через эти точки производная сохраняет свой знак.
7.
y
max
=
y
(
0
)=
1
Версия: 1.0
стр. 23 из 56
Исследование функции на экстремум с помощью второй производной
(второе правило)
1.Найти область определения функции.
2.Найти первую производную функции.
3.Найти стационарные точки, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль.
4.Найти вторую производную функции.
5.Исследовать знак второй производной в каждой критической точке.
6.Сделать вывод: если вторая производная в точке х
0
положительна
(
y
' '
(
x
0
)>
0
)
, то
х=х
0
– точка минимума, если вторая производная в этой точке отрицательна
(
y
' '
(
x
0
)<
0
)
, то
х=х
0
– точка максимума.
7.Найти максимальные и минимальные значения функции.
Пример. Найти экстремумы функции
f
(
x
)=
1
3
x
3
+
x
2
−
3
.
Решение.
1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.
x
∈
R
.
2.Находим первую производную функции
f
'
(
x
)=
(
1
3
x
3
+
x
2
−
3
)
′
=
1
3
⋅
3 x
2
+
2 x
−
0
=
x
2
+
2 x
.
3.Функция
имеет
производную
всюду,
поэтому
критические
точки
находим,
решая
уравнение
f
'
(
x
)=
0
x
2
+
2 x
=
0 ; x
(
x
+
2
)=
0; x
1
=
0; x
2
=−
2
.
4.Находим вторую производную функции
f
' '
(
x
)=(
x
2
+
2 x
)
'
=
2 x
+
2
.
5.Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:
f
' '
(
0
)=
2
⋅
0
+
2
=
2
>
0
f
' '
(−
2
)=
2
⋅(−
2
)+
2
=−
2
<
0
6.Делаем вывод: т.к.
f
' '
(
0
)=
2
>
0
, то х=0 – точка минимума; т.к.
f
' '
(−
2
)=−
2
<
0
, то
х=-2 – точка максимума.
f
min
=
f
(
0
)=
1
3
⋅
0
3
+
0
2
−
3
=−
3
f
max
=
f
(−
2
)=
1
3
⋅(−
2
)
3
+(−
2
)
2
−
3
=−
8
3
+
4
−
3
=−
2
2
3
+
1
=−
1
2
3
Версия: 1.0
стр. 24 из 56
Версия: 1.0
стр. 25 из 56
Задание к практической работе №5:
Решить примеры, используя методические
рекомендации к выполнению практической работы.
Исследовать функцию и построить ее график.
1.
∫
dy
2
+
y
=
∫
dx .
.
2.
ln
|
2
+
y
|=
x
+
ln c
Вариант 1
f
(
x
)=
x
2
−
2 x
+
8
.
Вариант 2
f
(
x
)=−
2 x
2
3
+
x
+
2
3
.
Вариант 3
f
(
x
)=−
x
2
+
5 x
+
4
.
Вариант 4
f
(
x
)=
x
2
4
+
x
16
+
1
4
.
Вариант 5
f
(
x
)=−
x
3
+
3 x
−
2
.
Вариант 6
f
(
x
)=
x
4
−
2 x
2
−
3
.
Вариант 7
f
(
x
)=
x
3
+
3 x
+
2
.
Вариант 8
f
(
x
)=
3 x
2
−
x
3
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте физический смысл производной.
2
Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.
3
Какие точки называются точками экстремума функции?
4
Сформулируйте
достаточное
условие
существования
экстремума
с
помощью
производной первого порядка.
5
Сформулируйте
достаточное
условие
существования
экстремума
с
помощью
производной второго порядка.
6.Сформулируйте
правило отыскания экстремума функции с помощью производной
первого порядка.
7.Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной
второго порядка.
Литература:[1] глава 12 §12.3, 12.4
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 26 из 56
Практическая работа №6
Тема:
Дифференциал
функции.
Неопределенный
интеграл
и
его
свойства.
Непосредственное интегрирование.
Цель: закрепить умения и навыки вычисления интегралов.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: выполнять непосредственное интегрирование.
Знать: основные понятия и методы математического анализа.
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 6
Неопределенный интеграл и его свойства.
В предыдущей теме вы познакомились с тем, как, имея функцию, найти ее производную.
Часто
приходится
решать
обратную
задачу:
по
производной
нужно
восстановить
первоначальную функцию. Эта функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если
выполняется равенство
F
'
(
x
)=
f
(
x
)
.
Например,
для
функции
f
(
x
)=
3 x
2
первообразной
будет
функция
F
(
x
)=
x
3
, т.к.
(
x
3
)
'
=
3 x
2
.
Для каждой функции существует множество первообразных, отличающихся друг от
друга постоянным слагаемым С, где С – произвольная постоянная.
Совокупность
всех
первообразных F(x)+C
д л я
ф у н к ц и и f(x)
называется
неопределенным интегралом и обозначается:
∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C
.
Процесс нахождения интеграла называется интегрированием функции.
Формулы интегрирования
1.
∫
dx
=
x
+
c ;
2.
∫
x
n
dx
=
x
n
+
1
n
+
1
+
c , n
≠−
1
;
3.
∫
dx
x
=
ln
|
x
|+
c
;
4.
∫
a
x
dx
=
a
x
ln a
+
c
;
Версия: 1.0
стр. 27 из 56
5.
∫
e
x
dx
=
e
x
+
c
;
6.
∫
cos xdx
=
sin x
+
c
;
7.
∫
sin xdx
=−
cos x
+
c
;
8.
∫
dx
cos
2
x
=
tgx
+
c
;
9.
∫
dx
sin
2
x
=−
ctgx
+
c
.
10.
∫
dx
1
+
x
2
=
arctgx
+
C
11.
∫
dx
√
1
−
x
2
=
arcsin x
+
C
При нахождении интегралов применяют следующие свойства:
I.
∫
k
⋅
f
(
x
)
dx
=
k
⋅
∫
f
(
x
)
dx
, где k – постоянная.
II.
∫
(
f
(
x
)±
g
(
x
))
dx
=
∫
f
(
x
)
dx
±
∫
g
(
x
)
dx
.
Непосредственное интегрирование
Этот метод заключается в том, что данный интеграл путем простейших тождественных
преобразований
и
применения
свойств
неопределенного
интеграла
приводят
к
табличным
интегралам.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
а)
∫
(
2
+
3 cos x
+
1
x
)
dx
;
б)
∫
dx
x
2
⋅
√
x
.
Решение.
а) Применяя свойства I и II, представим интеграл в виде суммы табличных интегралов:
∫
(
2
+
3 cos x
+
1
x
)
dx
=
2
∫
dx
+
3
∫
cos xdx
+
∫
dx
x
=
теперь применим формулы 1, 6 и 3, получим
=
2
⋅
x
+
3
⋅
sin x
+
ln
|
x
|+
c
.
б) Преобразуем подынтегральное выражение, применив определение степени с дробным
показателем и отрицательным и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:
Версия: 1.0
стр. 28 из 56
a
m
n
=
n
√
a
m
, a
>
0;
a
−
n
=
1
a
n
, a
≠
0 ;
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
Версия: 1.0
стр. 29 из 56
Затем найдем интеграл, применяя формулу 2:
∫
dx
x
2
⋅
√
x
=
∫
dx
x
2
⋅
x
1
2
=
∫
dx
x
2
1
2
=
∫
x
−
2
1
2
⋅
dx
=
x
−
2
1
2
+
1
−
2
1
2
+
1
+
c
=
¿
x
−
1
1
2
−
1
1
2
+
c
=−
2
3
⋅
1
x
1
1
2
+
c
=−
2
3
⋅
1
x
⋅
x
1
2
+
c
=−
2
3
⋅
1
x
⋅
√
x
+
c
Задание
к
практической
работе
№6:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
I вариант
II вариант
1)
∫
3 x
2
dx
1)
∫
5 x
2
dx
2)
∫
(
4 x
2
+
3
+
sin x
)
dx
2)
∫
(
3 x
3
−
8 x
2
+
cos x
)
dx
3)
∫
x
2
−
3 x
x
2
dx
3)
∫
x
3
+
5 x
x
2
dx
4)
∫
(
3 x
−
3
)
2
dx
4)
∫
(
2
−
2 x
)
2
dx
5)
∫
x
2
√
x
dx
5)
∫
x
3
∙
√
x dx
Версия: 1.0
стр. 30 из 56
6)
∫
5 x
+
8
x
2
dx
6)
∫
6 x
−
3 x
2
x
3
dx
III вариант
IV вариант
1)
∫
4 x
2
dx
1)
∫
5 x
7
dx
2)
∫
(
3 x
3
+
5 x
−
cos x
)
dx
2)
∫
(
4 x
3
+
2 x
9
)
dx
3)
∫
3 x
3
+
2 x
x
2
dx
3)
∫
6 x
2
−
x
x
2
dx
4)
∫
(
4 x
+
1
)
2
dx
4)
∫
(
5
+
3 x
)
2
dx
5)
∫
x
3
5
√
x
4
dx
5)
∫
(
x
2
+
3
√
x
)
dx
6)
∫
5
+
x
2
−
3 x
x
3
dx
6)
∫
6
+
2 x
+
4 x
4
x
2
dx
Контрольные вопросы:
1. Какая функция называется первообразной?
2
Что называется неопределенным интегралом?
3
В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
4
Перечислите свойства неопределенного интеграла.
Литература:[1] глава 13 §13.1, 13.2
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 31 из 56
Практическая работа №7
Тема: Геометрический смысл определенного интеграла.
Цель: закрепить умения решать задачи с применением определенного интеграла.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности
Знать: значение математики в профессиональной деятельности и при освоении
основной профессиональной образовательной программы;
основные
математические
методы
решения
прикладных
задач
в
области
профессиональной деятельности; основные понятия и методы математического анализа
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 7
Понятие
определенного
интеграла
широко
используется
для
вычисления
различных
геометрических и физических величин.
Площади плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции аАВв (рис.3), ограниченной графиком непрерывной
функции
y
=
f
(
x
)
(
где a
≤
x
≤
в
)
, отрезком ав оси ох и прямымих=а и х=в, вычисляется по
формуле:
S
=
∫
а
в
f
(
x
)
dx , если f
(
x
>
0
.
Если f(x)<0, то
.
Рис.3.
Версия: 1.0
стр. 32 из 56
в
а
dx
x
f
S
)
(
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y
=
x
2
, прямыми х=-
1 и х=2 и осью абсцисс (рис.4).
Рис.4
Решение. Сделаем чертеж, для этого построим каждую из заданных линий. Применим
формулу:
S
=
∫
а
в
f
(
x
)
dx
.
Получим:
S
=
∫
−
1
2
x
2
⋅
dx
=
x
3
3
|
−
1
2
=
1
3
(
2
3
−(−
1
)
3
)=
1
3
(
8
−(−
1
))=
1
3
⋅
9
=
3
S
=
3 ед
2
П р и м е р
2.
В ы ч и с л и т ь
п л о щ а д ь
ф и г у р ы ,
о г р а н и ч е н н о й
л и н и я м и :
y
=
sin x , x
=−
π , x
=
0, y
=
0.
Решение. Построим каждую из заданных линий (рис.5).
Рис.5
Так как f(x)<0, то применим формулу
, получим:
S
=−
∫
−
π
0
sin xdx
=
∫
0
−
π
sin xdx
=−
cos х
|
0
−
π
=−(
cos
(−
π
)−
cos0
)=−(
cos π
−
cos 0
)=−(−
1
−
1
)=
2
S
=
2 ед
2
Версия: 1.0
стр. 33 из 56
в
а
dx
x
f
S
)
(
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у
2
=4х и у=х.
Решение. Сделаем чертеж (рис.6), для этого построим каждую из заданных линий:
y
2
=
4 x , y
=
2
√
x
Рис. 6
Так как y>0, то используем формулу
S
=
∫
а
в
ydx
.
Найдем
пределы
интегрирования,
для
этого
найдем
абсциссы
точек
пересечения
заданных линий, решив систему уравнений:
y
2
=
4 x
y
=
x
х
2
= 4х, х
2
- 4х = 0; х (х - 4) = 0 или х = 0 или х – 4 = 0, х = 4.
а = 0, в = 4.
Площадь искомой фигуры найдем как разность площадей двух плоских фигур:
S
=
S
OmAB
−
S
OAB
=
∫
0
4
2
√
x dx
−
∫
0
4
xdx
=
2
∫
0
4
x
1
2
⋅
dx
−
x
2
2
|
0
4
=
¿
2
⋅
x
3
2
3
2
|
0
4
−
1
2
(
4
2
−
0
2
)=
4
3
√
x
3
|
0
4
−
1
2
⋅
16
=
4
3
(
√
4
3
−
√
0
)−
8
=
4
3
⋅
2
3
−
8
=
32
3
−
8
=
10
2
3
−
8
=
2
2
3
S
=
2
2
3
ед
2
Вычисление объемов тел вращения
Рис.7
Объем
тела,
образованного
вращением
вокруг
осиОх
криволинейной
трапеции,
ограниченной непрерывной линией у=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=в вычисляется по
формуле:
V
=
π
∫
а
в
y
2
⋅
dx
.
Версия: 1.0
стр. 34 из 56
Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.
Решение. Шар образован вращением вокруг оси Ох полукруга, ограниченного дугой
окружности
x
2
+
y
2
=
R
2
с центром в начале координат и радиусом R.
Выразим у
2
;
y
2
=
R
2
−
x
2
.
Рис.8
Применяя формулу
V
=
π
∫
а
в
y
2
⋅
dx
, получим:
V
=
π
∫
−
R
R
(
R
2
−
x
2
)
dx
=
2 π
∫
0
R
(
R
2
−
x
2
)
dx
=
2 π
(
∫
0
R
R
2
dx
−
∫
0
R
x
2
dx
)
=
¿
2 π
(
R
2
⋅
x
|
0
R
−
x
3
3
|
0
R
)
=
2 π
(
R
3
−
R
3
3
)
=
2 π
⋅
2
3
R
3
=
4
3
πR
3
V
ш
=
4
3
πR
3
ед
3
Если плоская фигура вращается вокруг оси Оу, то объем полученного тела вычисляют по
формуле:
V
=
π
∫
а
в
х
2
⋅
dy
, где а и в – пределы изменения переменной у.
Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной параболой
y
=
x
2
+
1
и прямой у=2.
Решение. Сделаем чертеж.
Версия: 1.0
стр. 35 из 56
Рис.9
Полученное тело называется параболоидом и объем его вычислим по формуле:
V
=
π
∫
а
в
х
2
⋅
dy
, где х
2
= у – 1.
V
=
π
∫
1
2
(
у
−
1
)
dy
=
π
∫
1
2
ydy
−
π
∫
1
2
dy
=
π
⋅
y
2
2
|
1
2
−
π
⋅
y
|
1
2
=
π
2
(
2
2
−
1
2
)−
π
⋅(
2
−
1
)=
π
2
⋅
3
−
π
=
π
2
V
=
π
2
ед
3
Задание к практической работе №7: Решить примеры, используя методические
рекомендации к выполнению практической работы.
Вариант 1
Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 0, x = 2.
6)Определитель в пределах от 0 до 3 объём тела, полученного от вращения кривой
вокруг оси OX.
Вариант 2
Найти интегралы:
1)
2)
Версия: 1.0
стр. 36 из 56
3)
4)
5)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 0, x = 1, x = 2.
6)Вычислить
объём
тела,
образованного
вращением
вокруг
оси OX
фигуры,
ограниченной линиями
y = 0, x = 0,
Вариант 3
Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, y = 0, x=1, x = 2.
6)Найти объём тела, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной
линиями
y
=
x
2
,
x
=
0,
x
=
2,
y
=
0
.
Вариант 4
Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
Версия: 1.0
стр. 37 из 56
5)Вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями
,
x=0,y=0, x=2.
6)Найти объём тела, полученного от вращения прямой x-y=0 в пределах от x=0 до x=6
вокруг оси OX.
Контрольные вопросы:
1.Какая плоская фигура называется криволинейной трапецией?
2.По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?
3.По какой формуле вычисляется объем тела вращения?
Литература:[1] глава 14 §14.5,§14.6
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 38 из 56
Практическая работа №8
Тема: Решение дифференциальных уравнений.
Цель: закрепить умения решать простейшие дифференциальные уравнения.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь:
решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными.
Знать: основные понятия и методы математического анализа .
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы № 8
Дифференциальным
уравнением называется уравнение, связывающее независимую
переменную, искомую функцию, ее производную или дифференциал функции.
Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше
первого
порядка,
то
оно
называется дифференциальным
уравнением
первого
порядка.
Общий
вид
такого
уравнения
F
(
x , y , y
'
)=
0
,
где y=f(x) – искомая неизвестная функция,
y
'
=
f
'
(
x
)
- ее производная по х, а F – заданная функция переменных
x , y , y
'
.
Общим
решением
дифференциального
уравнения
первого
порядка
называется
функция
y
=
ϕ
(
x , c
)
, обращающая это уравнение в тождество.
Частным решением
уравнения
F
(
x , y , y
'
)=
0
называется решение, полученное из
общего решения при фиксированном значении С:
y
=
ϕ
(
x ,C
0
)
, где С
0
– фиксированное число.
График
любого
частного
решения
дифференциального
F
(
x , y , y
'
)=
0
называется
интегральной
кривой.
Общему
решению
этого
уравнения
соответствует
семейство
интегральных кривых.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям, называется задачей Коши.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы
найти решение, удовлетворяющее начальному условию
y
(
x
0
)=
y
0
. Другими словами, из всех
интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая
проходит через данную точку (х
0
, у
0
).
Пример
1.
Составить
уравнение
кривой,
если
угловой
коэффициент
касательной,
проведенной в любой точке кривой, равен 3х+1.
Версия: 1.0
стр. 39 из 56
Решение. Так как на основании геометрического смысла производной
y
'
=
k
кас .
, то
получим дифференциальное уравнение первого порядка:
у
'
=
3 х
+
1 или
dy
dx
=
3 x
+
1, dy
=(
3 x
+
1
)
dx
.
Чтобы найти искомую функцию y=f(x), надо проинтегрировать обе части уравнения
∫
dy
=
∫
(
3 x
+
1
)
dx или
∫
dy
=
∫
3 xdx
+
∫
dx ;
y
=
3
⋅
x
2
2
+
x
+
c .
Итак,
y
=
3
2
х
2
+
x
+
c
- общее решение дифференциального уравнения.
Геометрически это решение представляет собой семейство парабол. Чтобы из общего
решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть парабола проходит
через т. А(-1; 2). Подставим начальные условия в общее решение и выразим С, получим:
2
=
3
2
⋅(−
1
)
2
−
1
+
с
, откуда С=1,5.
Найденное значение С подставим в общее решение, получим:
у = 1,5х
2
+ х + 1,5 – частное решение.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение
вида
у
'
=
f
(
x
)⋅
ϕ
(
y
)
,
г д е
f
(
x
)
и ϕ
(
y
)
-
непрерывные
функции,
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Чтобы решить такое уравнение, нужно:
1)
переменные разделить:
у
'
=
f
(
x
)⋅
ϕ
(
y
)
или
dy
dx
=
f
(
x
)⋅
ϕ
(
y
)
dу
=
f
(
x
)⋅
ϕ
(
y
)⋅
dx
,
dy
ϕ
(
y
)
=
f
(
x
)
dx
2)
обе части проинтегрировать:
∫
dy
ϕ
(
y
)
=
∫
f
(
x
)
dx
.
Переменные разделены, если каждая часть уравнения представляет собой произведение
функции, зависящей только от одной переменной, на дифференциал этой переменной.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
dy
y
=
dx
x
.
Решение.
Переменные
уже
разделены,
поэтому
можно
проинтегрировать
обе
части
уравнения
∫
dy
y
=
∫
dx
x
, применяя формулы интегрирования, получим:
Версия: 1.0
стр. 40 из 56
ln
|
y
|=
ln
|
x
|+
ln
|
c
|
(произвольную постоянную мы обозначаем не через С, а через
ln
|
c
|
, т.к. она может принимать
любые значения. Это мы сделаем для удобства потенцирования).
Потенцируем:
ln
|
y
|=
ln
|
с
⋅
x
|
, откуда
y
=
c
⋅
x
- общее решение.
С геометрической точки зрения – это множество прямых, проходящих через начало
координат.
Пример
3.
Решить
уравнение ydy=xdx.
Найти
частное
решение,
удовлетворяющее
условию: у=4 при х=-2.
Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее
решение
∫
ydy
=
∫
xdx ;
y
2
2
=
x
2
2
+
c
2
.
Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой
части представлено в виде
c
2
. Тогда
y
2
=
x
2
+
c
. Подставив в общее решение значения у =
4 и х = -2, получим 16 = 4 + с, откуда с = 12.
Итак, частное решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид:
y
2
=
x
2
+
12
.
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения
y
'
=
2
+
y
, если у=3
при х=0.
Решение. Заменим
y
'
на
dy
dx
, а затем умножим все члены на dx получим:
dy
dx
=
2
+
y ; dy
=(
2
+
y
)
dx
.
Обе части равенства разделим на (2+у):
dy
2
+
y
=
dx .
Переменные разделены, можно интегрировать
∫
dy
2
+
y
=
∫
dx .
ln
|
2
+
y
|=
x
+
ln c
.
Выразим х через логарифм:
x
=
ln e
x
.
Тогда получим:
ln
|
2
+
y
|=
ln e
x
+
ln c
.
Потенцируя, находим:
2
+
y
=
c
⋅
e
x
;
Версия: 1.0
стр. 41 из 56
y
=
c
⋅
e
x
−
2
- это общее решение.
Чтобы найти частное решении, подставим в общее решение х=0, у=3 и определим с:
3
=
c
⋅
e
0
−
2;
т.к. е
0
= 1, то 3 = с - 2, с = 5.
Найденное значение С подставим в общее решение, получим:
y
=
5
⋅
e
x
−
2
- частное
решение.
Задание к практической работе №8: Решить примеры, используя методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1 .
Найти частное
решение уравнения 2 y
'
−
4 x
=
0 при x
=
1
y
=
2
2 .
Найти общее решение
уравнения y y
'
+
x
=
0
3 .
Найти общее решение
уравнения 2 y y
'
=
3 x
2
4 .
Найти частное решение
уравнения y
2
+
x
2
y
'
=
0 при
x
=−
1
y
=
1
5 .
Найти частное решение уравнения
dy
2 x
+
ydx
=
0 при
x
=
3
y
=
1
6 .
Найти частное решение уравнения
x
2
dy
=(
x
3
−
1
)
dx
при
x
=
2
y
=
1
Вариант 1
1
Найти общее решение
уравнения y
'
=
cos x
2
Найти общее решение
уравнения y
3
dy
=
xdx
3
Найти общее решение
уравнения x
2
y
'
=
x
3
−
2 x
2
4 .
Найти частное решение
уравнения y
2
y
'
=
x
+
3 при
x
=
0
y
=
1
5 .
Найти частное решение уравнения
y
'
=
y
3
x
при
x
=
1
y
=
2
Вариант 2
1
Найти общее решение
уравнения y
'
=
sin x
2
Найти общее решение
уравнения y
4
dy
=
x
2
dx
3
Найти общее решение
уравнения x y
'
=
2
−
3 x
4
4 .
Найти частное решение
уравнения y y
'
=
x
3
−
2 x
при x
=
1
y
=
0
5 .
Найти частное решение уравнения
x
2
y
'
=
y
4
при
x
=
1
y
=
1
Контрольные вопросы
1.
Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами?
2.
Что называется порядком дифференциального уравнения?
3.
Что называется задачей Коши?
4.
Как из общего решения получить частное решение?
5.
Что значит разделить переменные?
Литература:[2] глава 23 §23.1, 23.2, 23.3, 23.5
Версия: 1.0
стр. 42 из 56
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Практическая работа №9
Тема:
Дифференциальные
уравнения
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами.
Цель: закрепить
умения
решать
простейшие
дифференциальные
уравнения
второго
порядка с постоянными коэффициентами, организовывать собственную деятельность, выбирать
способы и методы выполнения поставленных задач, воспитывать сознательное отношение к
процессу обучения, самостоятельность.
воспитывать сознательное отношение к процессу обучения, самостоятельность.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь:
решать
дифференциальные
уравнения
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами.
Знать: основные понятия и методы математического анализа.
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практической работы №9
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y” + py’ + qy = f(x),
где p и q – постоянные величины, а f(x) – непрерывная функция x.
Если правая часть уравнения равна нулю, т.е.
y” + py’ + qy = 0,
то оно называется однородным уравнением.
Для
практического
использования алгоритм
решения
таких
уравнений
удобно
оформить в виде таблицы:
Дифференциальное
уравнение
y” + py’ + qy = 0
Характеристическое
уравнение
k
2
+ pk + q = 0
Дискриминант
D = p
2
– 4q
D > 0
D = 0
D < 0
Корни
характеристического
k
1
≠ k
2
k
1
= k
2
k
1
= a + bi
k
2
= a - bi
Версия: 1.0
стр. 43 из 56
уравнения
Множества решений
y
=
C
1
e
kx
1
+
C
2
e
k
2
x
y
=
C
1
e
kx
+
C
2
xe
kx
y
=
e
ax
(
C
1
cos bx
+
C
2
sin bx
)
Версия: 1.0
стр. 44 из 56
Пример. Решить уравнение y” + 2y’ – 8y = 0.
Решение.
Составим характеристическое уравнение k
2
+ 2k - 8 = 0.
D = p
2
– 4q = 2
2
-4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных
корня. Определим их: k
1
= - 4, k
2
= 2.
Находим частные решения данного дифференциального уравнения:
y
1
=
e
−
4 x
, y
2
=
e
2 x
.
Общее решение данного уравнения имеет вид
y
=
C
1
e
−
4 ч
+
C
2
e
2 x
.
Задание
к
практической
работе
№9:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1 .
y
' '
+
4 y
'
−
5 y
=
0
2.
y
' '
−
12 { y
'
+
36 y
=
0
¿
3 .
y
' '
−
3 y
'
−
4 y
=
0
¿
4 .
y
' '
+
4 y
'
+
4 y
=
0
¿
5 .
y
' '
+
2 y
'
−
8 y
=
0
¿
6 .
y
' '
−
5 y
'
=
0
¿
7 .
2 y
' '
−
8 y
=
0
¿
8 .
y
' '
+
14 { y
'
+
49 y
=
0
¿ ¿
9 .
y
' '
+
4 y
'
+
3 y
=
0
¿ ¿
Контрольные вопросы
1.
Какое уравнение называется дифференциальным?
2.
Как составить характеристическое уравнение?
Литература:[2] глава 23 §23.1, 23.2, 23.3, 23.5
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 45 из 56
Практическая работа №10
Тема: Решение уравнений всех типов.
Цель: закрепить умения решать простейшие дифференциальные уравнения первого и
второго порядка , организовывать собственную деятельность, выбирать способы и методы
выполнения поставленных задач, воспитывать сознательное отношение к процессу обучения,
самостоятельность.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: решать дифференциальные уравнения.
Знать: основные понятия и методы математического анализа.
Количество часов: 2
Оборудование: тетрадь для практических работ, конспект, учебники, пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Задание
к
практической
работе
№10:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1 .
Найти частное
решение уравнения
dy
dx
=
y
+
1 при
x
=
3
y
=
0
2 .
Найти частное
решение уравнения
dy
x
=
y
3
dx
при
x
=
1
y
=
1
3 .
Найти частное решение уравнения 2 ydy
=
x
2
dx
при x
=
1
y
=
0
4 .
Найти частное решение
уравнения y
' '
=
4 x
3
при
x
=
1
y
=
2
y
'
=
4
5 .
Найти частное решение уравнения y
' '
=
e
2 x
при
x
=
0
y
=
1
y
'
=
1
6 .
Найти частное решение уравнения
dy
dx
−
x
y
=
0 при
x
=
1
y
=
1
Вариант 1
Найти общее решение диф. уравнений:
1 .
ydy
=(
x
2
−
8
)
dx
2 .
y
' '
+
4 y
'
−
5 y
=
0
3 .
y
' '
+
2 y
'
+
y
=
0
Найти частное решение диф. уравнений:
4 .
y
' '
=
2 x
3
при x
=
0
y
'
=
1,
y
=
2
5 .
2 x y
'
=
y
при x
=
1
y
=
2
Вариант 2
Найти общее решение диф. уравнений:
Версия: 1.0
стр. 46 из 56
1 .
ydy
=(
x
2
+
1
)
dx
2 .
y
' '
−
8 y
'
+
15 y
=
0
3 .
y
' '
+
10 { y
'
+
25 y
=
0
¿
Найти частное решение диф. уравнений:
4 .
y
' '
=
1
−
2 sin x
при x
=
0
y
'
=
1,
y
=
1
5 .
dy
=
2 ydx
при x
=
2
y
=
1
Вариант 3
Найти общее решение диф. уравнений:
1 .
ydy
=(
e
x
+
2
)
dx
2 .
y
' '
−
2 y
'
−
3 y
=
0
3 .
y
' '
−
8 y
'
+
16 y
=
0
Найти частное решение диф. уравнений:
4 .
y
' '
=
6 x
−
2 при x
=
1
y
'
=
2,
y
=
1
5 .
y
'
=
x
y
при x
=
1
y
=
2
Вариант 4
Найти общее решение диф. уравнений:
1 .
2 y
4
dy
=
xdx
2 .
y
' '
+
5 y
'
+
6 y
=
0
3 .
y
' '
−
6 y
'
+
9 y
=
0
Найти частное решение диф. уравнений:
4 .
y
' '
=
e
x
+
2 при x
=
0
y
'
=
2,
y
=
1
5 .
3 dy
x
=
dx
y
2
при x
=
1
y
=
2
Вариант 5
Найти общее решение диф. уравнений:
1 .
y
2
dy
=(
x
2
+
2
)
dx
2 .
y
' '
+
3 y
'
+
2 y
=
0
3 .
y
' '
−
6 y
'
+
9 y
=
0
Найти частное решение диф. уравнений:
4 .
y
2
dx
=
dy
e
x
при x
=
0
y
=
1
5 .
y
' '
=
18 x
+
2 при x
=
0
y
=
4
y
'
=
5
Литература:[2] глава 23 §23.1, 23.2, 23.3, 23.5
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 47 из 56
Раздел 3 Основы теории вероятностей и математической статистики.
Элементы комбинаторики.
Практическая работа №11
Тема: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний .
Цель: закрепить умения решать задачи на подсчет числа размещений, перестановок,
сочетаний.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: решать комбинаторные задачи.
Знать:
основные
понятия
теории
вероятностей
и
математической
статистики
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практических работ № 11
Размещениями
из
n
элементов
по
m
элементов называются такие комбинации,
которые отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.
Число возможных размещений из
n
различимых элементов по
m
находят по
формуле:
A
n
m
=
n !
(
n
−
m
)
!
Перестановками из
n
элементов называются такие комбинации, которые отличаются
друг от друга только порядком входящих в них элементов.
Число
возможных
перестановок
из
n
различимых
элементов
находят
по
формулам:
P
n
=
n !
Сочетания из
n
элементов по
m
– такие комбинации, которые отличаются друг от
друга входящими в них элементами. Порядок в комбинации не важен.
Число
возможных
сочетаний
из
n
различимых
элементов
по
m
находят по
формулам:
C
n
m
=
A
n
m
P
m
=
n !
(
n
−
m
)
!
⋅
m !
Версия: 1.0
стр. 48 из 56
Задание к практической работе №11: Решить примеры, используя методические
рекомендации к выполнению практической работы.
Вариант 1
1. Упростить 7!-5!
2. Вычислить
А
6
3
3. Вычислить ;
С
8
3
4. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?
5. Cколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы в каждом
числе не было одинаковых цифр?
6. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно
составить для 5 претендентов?
Вариант 2
1. Упростить:
6 !
−
4 !
3 !
2. Вычислить:
А
7
4
3. Вычислить:
С
10
8
4. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?
5. Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков разного цвета?
6. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при
условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
Контрольные вопросы
1.
Что такое размещения, перестановки, сочетания?
2.
Дайте определение символа
n
!?
3.
Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок,
числа сочетаний?
Литература:[1] глава 9 §9.1
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 49 из 56
Элементы теории вероятностей.
Практическая работа №12
Тема: Нахождение вероятностей случайных событий.
Цель:
закрепить
умения
решать
простейшие
задачи
на
нахождение
вероятностей
случайных событий.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: находить вероятности случайных событий.
Знать: основные понятия теории вероятностей и математической статистики
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практических работ № 12
Классическое определение вероятности
Пусть
в
результате
испытания
может
наступить
конечное
число
n
элементарных
событий.
Среди
этих
n
событий
имеется
m
таких,
осуществление
которых
ведет
к
появлению события
A
. Эти
m
событий называют благоприятнымидля
A
.
Вероятностью
события
A
называется
отношение
числа
m
равновозможных
элементарных событий, благоприятных для
A
, к числу
n
всех возможных элементарных
событий.
Вероятность события
A
обозначают
P
(
A
)
. Таким образом,
P
(
A
)
=
m
n
.
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между
нулем и единицей.
Задание
к
практической
работе
№12:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
1.
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 включительно
является делителем числа 30?
2.
В словаре А.С. Пушкина имеется 22000 различных слов. Из которых 16000 А.С.
Пушкин в своих произведениях употреблял только по одному разу. Какова вероятность того, что
наугад взятое из этого словаря слово использовалось поэтом в своих произведениях более
одного раза?
Версия: 1.0
стр. 50 из 56
3.
В 1-ом сосуде 4 белых и 6 черных шаров. Во 2-ом сосуде 5 белых и 7 черных шаров.
Из какого сосуда вероятнее извлечь белый шар? Из какого черный?
4.
На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый автомат дает 0,2% брак, второй
– 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-ого автомата
поступает 3000 деталей, а со второго 2000 деталей.
5.
Все
буквы
русского
алфавита
написаны
на
33
одинаковых
карточках.
Какова
вероятность
того,
что
написанная
на
карточке
буква
окажется
гласной,
если
карточка
извлекается наудачу?
6.
Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наугад. Какова
вероятность того, что набрана нужная цифра.
7.
На склад поступили лампы трех партий. Известно, что в первой партии, состоящей из
400
ламп,
содержится
1%
нестандартных,
во
второй,
состоящей
из
500
ламп
–
2%
нестандартных,
и
в
третьей,
состоящей
из
100
ламп
–
4%нестандартных.
Определить
вероятность того, что покупатель, берущий одну лампу, купит нестандартную.
Контрольные вопросы
1.
Какое событие называют достоверным, невозможным?
2.
Какие события называются несовместными?
3.
Сформулируйте классическое определение вероятности.
4.
Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события?
Литература:[2] глава 24 §24.1
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 51 из 56
Элементы математической статистики.
Практическая работа №13
Тема: Числовые характеристики выборки и их расчет.
Цель:
закрепить
умения
решать
простейшие
задачи
с
применением
вероятностных
методов, организовывать собственную деятельность, выбирать способы и методы выполнения
поставленных задач.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: находить основные числовые характеристики.
Знать:
основные
понятия
теории
вероятностей
и
математической
статистики
Количество часов: 2
Оборудование:
тетрадь
для
практических
работ,
конспект,
учебники,
пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Расчетное задание выполняется в тетрадях для самостоятельных работ, в том порядке, в
котором они даны. Обязательно пишется условие задачи, что дано, решение и ответ в полной
форме.
Задание к практической работе №13
Теоретический материал.
[2] глава 25 §25.1
Расчетное задание.
[2] глава 25 §25.1
Стр. 420 №25.1, 25.2(1), 25.3, 25.5
Контрольные вопросы
1.
Что
называют
генеральной
совокупностью,
выборочной
совокупностью,
объемом
выборки?
2.
Дайте определение вариационного ряда. Что называют размахом выборки?
3.
Какие графические изображения выборок вы знаете?
4.
Дайте определение выборочных характеристик: выборочного среднего, выборочной
дисперсии.
Литература: [2] глава 25 §25.1
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Версия: 1.0
стр. 52 из 56
Раздел 4 Элементы линейной алгебры
Практическая работа №14
Тема: Операции над матрицами.
Цель: закрепить умения и навыки сложения, вычитания и умножения матриц.
Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9, ПК 1.1-1.4, ПК 2.1-2.3, ПК 3.1
Уметь: выполнять операции над матрицами.
Знать: основные понятия и методы математического анализа
Оборудование: тетрадь для практических работ, конспект, учебники, пишущие
принадлежности.
Форма контроля: оценка результатов практической работы.
Методические рекомендации к выполнению практических работ № 14
Действия над матрицами
Версия: 1.0
стр. 53 из 56
Задание
к
практической
работе
№14:
Решить
примеры,
используя
методические
рекомендации к выполнению практической работы.
Контрольные вопросы
1.
Можно ли складывать матрицы разного размера?
2.
Как осуществляется операция умножения матрицы на число?
3.
По какому правилу производится умножение матриц?
4.
Какая матрица называется единичной?
5.
Какая матрица называется диагональной?
6.
Какая матрица называется матрица- столбец, матрица-строка ?
Литература: [3] глава4 §2
Критерии оценки выполнения задания:
оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение№1)
Приложение 1
Версия: 1.0
стр. 54 из 56
Требования к выполнению расчетного задания
Выполнению расчетных заданий должно предшествовать изучение всех вопросов темы
по
дисциплине
в
соответствии
с
рекомендациями
методических
указаний.
Защита
работ
производится в форме письменного отчета.
Расчетные задачи выполняются в тетрадях для практических работ, в произвольном
порядке. Обязательно пишется тема, цель практической работы,
условие задачи, что дано,
решение и ответ в полной форме.
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы
Максимальное
количество
баллов
за
каждое
расчетное
задание
100
баллов.
Связь
рейтинга студента с итоговой оценкой по дисциплине представлена в таблице.
Таблица – Шкала оценок
Рейтинг студента, в баллах
Оценка
75−100
50−74
25−49
0−24
отлично
хорошо
удовлетворительно
неудовлетворительно
Любая
контрольная
точка,
выполненная
после
срока
без
уважительной
причины,
оценивается на 10 % ниже.
– Оценки видов работ
Виды
работ
Баллы
75−100
50−74
25−49
0−24
1
2
3
4
5
Расчетн
ое
задание
- в решении нет
ошибок, все задачи
решены
рациональным
способом;
- расчетное задание
аккуратно
оформлено в
соответствии с
методическими
рекомендациями
- в решении нет
существенных
ошибок, но
задачи решены
нерациональным
способом или
допущены не
более двух
несущественных
ошибок;
- расчетное
задание не
аккуратно
оформлено в
соответствии с
методическими
рекомендациями
- в решении
имеются одна-
две
существенные
ошибки;
- расчетное
задание
неаккуратно
оформлено
- допущено более
двух
существенных
ошибок;
- расчетное
задание не-
аккуратно
оформлено;
Версия: 1.0
стр. 55 из 56
Список используемой литературы
1. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.1. / Ю.М.Колягин,
Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2012.-656 с.: ил.
2. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.2. / Ю.М.Колягин,
Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2012.-592 с.: ил.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.1 Учебное
пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов,
Т.Я.Кожевникова. -
М.: Издательский дом «
ОНИКС 21 век»: Мир и образование,2012.-304 с.: ил.
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.2 Учебное
пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: ООО «Издательский дом
ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование»,2012.-416 с.: ил.
Версия: 1.0
стр. 56 из 56