МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОПОРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ

СТЕРЕОМЕТРИИ

Конорев А.С., студент магистратуры 2 курса

Направление подготовки: Педагогическое образование

Магистерская программа: математическое образование

Курский государственный университет,

305000, г. Курск, ул. Радищева, д. 33, e-mail: 79066910105@yandex.

ru

Аннотация: в

статье

описываются

методические

рекомендации

для

изучения

трех

основных

тем

стереометрии:

"Аксиомы

стереометрии

и

их

простейшие

следствия",

"Параллельность прямых и плоскостей" и "Перпендикулярность прямых и плоскостей" по

учебнику геометрии Л.С.Атанасяна с применением двух ОГК и их модификаций, опи-

санных нами в первой главе.

Ключевые

слова:

опорные

геометрические

конструкции,

аксиомы

и

теоремы

стереометрии, методика преподавания стереометрии в школе.

На

первых

уроках

стереометрии

в 1 0 классе

нам

нужно

развить

начальные представления о двух опорных геометрических конструкциях. Эти

представления развиваются в ходе решения определенного количества задач

на

конструирование

многогранников.

Последовательность

решения

задач

представлена на рис.1. Решение задач начинается с первого столбца. На

каждой задаче первого столбца цепочку задач можно прервать и перейти к

решению задач второго столбца начиная с первой задачи. Цепочку задач из

второго столбца можно также, как и первую, прервать на каждой задаче и

перейти к третьему столбцу. Аналогично и для задач третьего столбца.

Рис. 1

Минимальное количество задач, которое мы рекомендуем для решения

с учащимися, равняется трем. Все они представлены во втором параграфе

первой главы. Мы сохраняем используемую там нумерацию.

Оставшиеся нерешенными задачи могут быть вынесены на факульта-

тивные занятия.

Первый урок стереометрии в 10 классе нужно провести в виде вводной

лекции,

на

которой

учащимся

объясняются

цели

и

задачи

изучения

геометрии, вводятся на интуитивном, наглядном уровне основные объекты и

фигуры,

которые

будут

изучаться

в

дальнейшем,

объясняется

основная

логика курса.

На уроке с учащимися нужно разобрать на наглядной основе: понятие

трехгранного угла, понятие прямого трехгранного угла, понятие тетраэдра и

его развертки, понятие прямоугольного тетраэдра.

К

концу

урока

нужно,

чтобы

учащиеся

имели

представление

о

тетраэдре, как о многограннике, поверхность которого состоит из четырех

треугольников, о его элементах (вершинах, ребрах, гранях и углах, в том

числе и трехгранных), знали о том, что поверхность тетраэдра может быть

развернута и представлена в виде развертки, состоящей из четырех тре-

угольников, являющихся гранями исходного тетраэдра таким образом, что

один

треугольник

находится

в

центре,

а

три

оставшихся

треугольника

примыкают к нему по трем его сторонам. В первой главе такой вид развертки

мы назвали классическим.

Первую задачу, о сворачивании тетраэдра, имеющего равные грани из

остроугольного

треугольника

с

помощью

трех

сгибов

(ГЛ1,

С.43),

рационально дать на дом. Ее решение, как показал эксперимент, под силу

достаточно большому числу учащихся.

В условии задачи фигурирует слово "свернуть". Но во избежание пу-

таницы (учащимся интуитивно ясен принцип этого слова) это понятие лучше

разобрать уже после решения первой задачи. Нужно только сообщить о том,

что при сворачивании не должно быть наложений и разрезаний.

Свернуть тетраэдр из прямоугольного и тупоугольных треугольников с

помощью трех сгибов так, чтобы все грани представляли из себя равные

треугольники, не представляется возможным. Чтобы доказать это, нам нужно

воспользоваться следующим фактом: "В трехгранном угле каждый плоский

угол меньше суммы двух других плоских углов" ([2] , С.20). В настоящее

время он исключен из школьной программы. Для учащихся этот факт на

данном

этапе

достаточно

показать

на

интуитивном

уровне,

используя

обычный лист бумаги. Но для данной заданной задачи мы можем доказать

строго

тот

факт,

что

из

тупоугольного

и

прямоугольного

треугольников

нельзя свернуть тетраэдра, удовлетворяющего условиям задачи.

Три плоских угла каждого трехгранного угла, сворачиваемого тетраэдра

равны соответственно трем углам исходного треугольника. Например, углы

при

вершине

А

тетраэдра

на

рис.2

непосредственно

переходят

в

углы

треугольника при разворачивании. Условие, что каждый угол треугольника

меньше суммы двух других его углов выполняется только для остроугольных

треугольников, а значит данным способом можно свернуть тетраэдр только из

остроугольного треугольника.

После решения первой задачи нужно разобрать понятие "свернуть" уже

строго, как это сделано в первой главе. Это нужно для абстрагирования

понятия.

Задача

К.4. Сверните тетраэдр из параллелограмма с помощью трех

сгибов и выясните вопрос о том, всегда ли это возможно.

Перед решением данной задачи с учащимся нужно поговорить о том,

что развертка тетраэдра может представлять из себя не только классический

случай. Если мы отрежем один из многоугольников развертки и приложим

его к оставшейся развертке по совмещающимся сторонам, то мы получим

другую развертку того же самого многогранника. Возникает вопрос, а нельзя

ли развертку из первой задачи преобразовать таким образом, чтобы она

имела

форму

параллелограмма?

Оказывается,

что

можно.

На

рис. 2

представлен указанный способ. Опишем его. Возьмем параллелограмм и

выберем две противолежащие его стороны. Соединим отрезком середины

этих

сторон

между

собой.

Каждую

из

указанных

середин

соединим

с

ближайшей

вершиной

параллелограмма,

лежащей

на

противолежащей

стороне. Произведем сгибы по полученным линиям и свернем тетраэдр.

Рис. 2

Следующая задача также может быть решена с помощью разрезания и

прикладывания. Можно предложить ее решить самостоятельно у доски кому-

нибудь из учащихся.

Задача К. 5. Сверните тетраэдр из прямоугольника с помощью четырех

сгибов и выясните всегда ли это возможно.

На рис.19 показан переход от развертки в виде параллелограмма к

развертке в виде прямоугольника.

Рис. 3

Перед решением этой задачи нужно разобрать с учащимися факт о том,

что

два

многоугольника

развертки

могут

составлять

одну

грань

многогранника.

Тем

самым

мы

углубляем

представления

учащихся

о

развертках.

На

рис.3

представлен

частный

случай

сворачивания

тетраэдра

из

прямоугольника с помощью четырех сгибов. Если мы будем смещать точки D

и А' на одно и тоже расстояние влево или вправо, то из получаемой развертки

также

сворачивается

тетраэдр.

В

предельных

случаях,

когда

точка D

совпадает

с

точкой

Е'

или

точка

А'

совпадает

с

точкой

Е",

тетра эдр

вырождается в прямоугольник.

На нашем рисунке в качестве отрезка Е'Е" взята большая сторона

прямоугольника. Если же мы возьмем меньшую, то мы получим еще один

класс тетраэдров, которые мы можем свернуть из того же самого прямо-

угольника (рис.4).

Рис.4

Нужно

заметить,

что

из

любого

прямоугольника

можно

свернуть

тетраэдр

способом,

представленным

на

рисунке

справа.

На

развертку,

представленную на рисунке слева, нам нужно наложить те же ограничения,

что

мы

накладывали

при

рассмотрении

предыдущей

задачи,

все

треугольники, за исключением крайних двух прямоугольных треугольников,

должны быть остроугольными.

Если на рис.4 приближать точку D на достаточно близкое расстояние к

точке E`, то треугольники получаются остроугольными. Для доказательства

можно

построить

окружность

на

отрезке B

1

C как на диаметре, тогда на

стороне Е'Е" всегда можно найти точку X такую, что отрезок Е'Х полностью

лежит вне окружности, а это значит, что угол B

1

XC будет меньше 90°. Значит,

из любого прямоугольника можно свернуть тетраэдр вне зависимости от того,

какую сторону мы берем в качестве Е'Е".

Задача К. 6. Сверните тетраэдр из параллелограмма с помощью четы-

рех сгибов.

На рис.5 представлены способы сворачивания параллелограмма. Задача

6 является обобщением задачи 4.

Рис. 5

Если

сместить

точку,

являющуюся

серединой

верхней

стороны

параллелограмма, то в результате мы получим задачу о сворачивании тетра-

эдра из параллелограмма с помощью пяти сгибов.

Аналогично получается задача и для прямоугольника. Решение для

прямоугольника представлено на рис.6.

Рис. 6

Перейдем теперь ко второму столбцу нашей схемы. Он начинается с

задачи 2. Перед ее решением нужно разобрать с учащимися на наглядном

уровне понятие прямого трехгранного угла как угла, состоящего из трех

плоских прямых углов.

Задача 2 говорит о сворачивании тетраэдра из квадрата с помощью трех

сгибов. Как мы уже отмечали в первой главе, перед ее решением нужно дать

предписание, указанное на стр.47, и, в случае если это возможно, дать на дом

для самостоятельного решения.

Обобщая сведения, полученные из второй задачи и из задачи 6, можно

сделать

вывод

о

том,

что

из

квадрата

можно

свернуть

тетраэдр

двумя

принципиально различными способами, которые можно условно назвать как

"сворачивание с помощью трех сгибов" и "сворачивание с помощью четырех

сгибов". Данный факт можно использовать в дальнейшем для составления

различных задач на сравнение для повышения интереса к геометрии. Пример

такого

применения

представлен

в

статье

"Тетраэдр

из

треугольника

и

квадрата" ([3]).

Задача К. 7. Сверните тетраэдр из ромбоида и выясните всегда ли это

возможно.

На рис. 7 представлены способы сворачивания ромбоидов.

Рис. 7

Нужно заметить, что они подходят не для любых ромбоидов, а только

для некоторых. Для того, чтобы из ромбоида, представленного на рис.7,

можно

было

свернуть

тетраэдр,

нужно,

чтобы

выполнялось

следующее

неравенство: 2·

∠

A

2

A

1

A

3

+

∠

A

2

BA

3

< 360°.

Задача

К.8. Сверните из равнобедренного прямоугольного треуголь-

ника прямоугольный тетраэдр произведя пять сгибов.

На рис.8 представлен способ перехода от развертки прямоугольного

тетраэдра

к

развертке

прямоугольного

тетраэдра

в

виде

прямоугольного

треугольника.

Данный

метод

решения

уже

известен

учащимся

и

перед

решением задачи можно подсказать идею о том, что в качестве исходной фи-

гуры для разрезания и складывания можно использовать квадрат.

Рис. 8

Задача

К.9. Свернуть

из

равнобедренного

треугольника

тетраэдр

с

помощью пяти сгибов так, чтобы получившийся тетраэдр имел две грани в

виде

прямоугольных

треугольников.

Выясните

вопрос

о

том,

для

каких

треугольников этот способ сворачивания справедлив.

Задача 9 является обобщением задачи 8 . Опишем его решение, пред-

ставленное на рис.9.

Рис. 9

Отметим

на

основании A

1

A

3

равнобедренного

треугольника A

1

DA

3

точки В, А

2

и С таким образом, чтобы они делили основание на четыре

равных отрезка. Соединим получившиеся точки с вершиной D. Из точек В и

С опустим перпендикуляры E

1

B и Е

2

C на стороны A

1

D и DA

3

соответственно.

Производя сгибы по проведенным линиям и совмещая точки А

1

, А

2

и Аз в

одной точке, а точки E

1

и Е

2

- в другой, получим модель тетраэдра DABC.

Представленный способ сворачивания справедлив для любых равно-

бедренных треугольников.

Задача

К. 10. Сверните из равнобедренного тупоугольного треуголь-

ника тетраэдр с помощью пяти сгибов так, чтобы все его грани были рав-

ными треугольниками.

Рис.10

Решение задачи представлено на рис.10. Опустим из середин боковых

сторон треугольника перпендикуляры на его основание, а также соединим

эти же середины с серединой основания. После этого, соединим вершину

равнобедренного треугольника с серединой основания.

Рис.11

На рис.11 представлен переход от данной развертки к классическому

случаю развертки.

Решим теперь вопрос о возможности сворачивания данным способом

тетраэдра из остроугольного равнобедренного треугольника. Если исходный

треугольник,

представленный

на

рис.11

слева,

будет

остроугольным

равнобедренным, то получаемый треугольник на рис.11 справа будет ту-

поугольным равнобедренным, а из него нельзя свернуть тетраэдр с помощью

трех

сгибов

по

средним

линиям.

Аналогичны

рассуждения

и

для

прямоугольного

равнобедренного

треугольника,

получаемый

треугольник

также будет равнобедренным прямоугольным, а из него нельзя свернуть

тетраэдр с помощью трех сгибов.

Встает вопрос, а из любого ли тупоугольного треугольника можно

свернуть тетраэдр с равными гранями с помощью пяти сгибов? Ответ под-

сказывает рис.11, на котором показан переход от развертки в виде равно-

бедренного тупоугольного треугольника к классической развертке. Из любого

тупоугольного

треугольника

можно

свернуть

тетраэдр

с

помощью

пяти

сгибов так, чтобы получившийся тетраэдр имел равные грани. Опишем этот

способ.

Разобьем

наибольшую

сторону

тупоугольного

треугольника

на

четыре равных отрезка тремя точками и соединим эти точки с серединами

двух

других

сторон

треугольника,

а

затем

середину

первой

стороны

соединим с противолежащей вершиной. Производя сгибы по проведенным

линиям, свернем тетраэдр. На рис.12 представлена развертка тетраэдра.

Рис. 12

Третий

столбик

задач

начинается

задачей 3 . В

ней

речь

идет

о

сворачивании

тетраэдра

из

правильного

пятиугольника.

Как

мы

уже

отмечали,

данная

задача

является

последней

задачей

в

цикле

задач

о

сворачивании тетраэдра из правильных многоугольников с помощью трех

сгибов.

Она

решается

с

помощью

того

же

самого

алгоритма,

что

и

предыдущие задачи 1 и 2.

Способ, предложенный на рис.9, можно использовать для решения

следующей задачи.

Задача

К.11. Дан пятиугольник, составленный из прямоугольника и

равнобедренного

треугольника,

приложенного

к

прямоугольнику

своим

основанием. Вычислите размеры треугольника, если известно, что прямо-

угольник имеет размеры а и b, а из пятиугольника можно свернуть тетраэдр с

помощью трех сгибов.

Последняя двенадцатая задача интересна тем, что позволяет осущест-

вить переход от сворачивания тетраэдра к сворачиванию четырехугольной

пирамиды. Она довольно сложная и поэтому способ сворачивания жела-

тельно показать уже на имеющейся готовой модели. Только после ее решения

рационально перейти к изготовлению модели с учащимися.

Задача К.12. Возьмем прямоугольник со сторонами р и q.

К одной из

его сторон приложим равнобедренный треугольник таким образом, чтобы

основание треугольника совпало с этой стороной. Какими должны быть

стороны

треугольника

для

того,

чтобы

из

получившегося

пятиугольника

можно

было

свернуть

четырехугольную

пирамиду

с

помощью

четырех

сгибов?

Способ сворачивания представлен на рис.13.

Рис. 13

После того, как преподаватель выбрал и прорешал с учащимися задачи

на

конструирование

многогранников,

нужно

непосредственно

перейти

к

изготовлению моделей опорных геометрических конструкций. Всего моделей

нужно будет изготовить по две для каждой конструкции. Это нужно для того,

чтобы

в

дальнейшем

можно

было

использовать

их

для

введения

модификаций.

Для создания модели первой конструкции нам понадобится один лист

картона разрезанный пополам, т.е. два листа картонной бумаги формата А5 и

канцелярская скрепка. Дальнейшую работу производит каждый учащийся

самостоятельно

под

непосредственным

руководством преподавателя.

Из

первого

листа

картона

мы

конструируем

разворачивающуюся

модель

тетраэдра. Для этого мы строим на нем развертку тетраэдра классического

вида, вырезаем ее и сворачиваем тетраэдр. На втором листе изображаем

развертку тетраэдра в меньшей пропорции и его изображение. Изображение

развертки и тетраэдра представлены на рис.10. В итоге мы получаем триаду,

состоящую из разворачивающейся модели тетраэдра и двух изображений: его

самого и его развертки. После этого, на изображениях вводятся буквенные

обозначения, как это показано на рисунке.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ. и др. Геометрия: Учеб. для

10-11 кл. сред. шк. - 2-е изд. -М.: Просвещение, 2013. - 207 с.

2.

Киселев А.П. Геометрия. Часть вторая. Учебник для 9-10 классов

средней школы. - 9-е изд. - М.: Государственное учебно-педагогическое

издательство министерства просвещения РСФСР, 1947. -88 с.

3.

Щепин О.Н. Тетраэдр из треугольника и квадрата //Математика в школе.

-2010. - №4. - С.24-27.