Тема: «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» Урок №1 « Вечным законом да будет: учить и учиться всему через примеры, наставления и применения на деле» Ян Коменский
Тема урока
: «Простейшие логарифмические уравнения».
Тип урока:
урок изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности.
Цели урока
: ∎ содействовать формированию понятия простейшего логарифмического уравнения; ∎ создать необходимые условия для изучения приемов решения простейших логарифмических уравнений; ∎ развивать вычислительную культуру учащихся.
Ход урока
.
1.

Оргмомент.
2.
Актуализация опорных знаний учащихся
. а) Проверка домашнего задания. Ученики, по желанию, выполняют домашнее задание на доске на перерыве. Если, что-то непонятно, то школьники задают вопросы тем, кто выполнял домашнюю работу на доске. №6.6(г). №6.6(е). 4 x + 1 - 2 2x − 2 =60, 3 x − 1 − 3 x − 2 = 18 , 2 2x + 2 + 2 2x − 2 = 60 , 3 x ( 3 − 1 − 3 − 2 ) = 18 , 2 2x ( 2 2 − 2 − 2 ¿= 60 , 3 x ( 1 3 − 1 9 ) = 18 , 2 2x ( 4 − 1 4 ¿= 60 , 3 x ∙ 2 9 = 18 ,
2 2x ∙3 3 4 = 60 , 3 x =18: 2 9 , 2 2x ¿ 60 :3 3 4 , 3 x = 81, 2 2x = 16, 3 x = 3 4 , 2 2x = 2 4 , x =4. 2x =4, Ответ: 4. x = 2. Ответ: 2. № 6.8(в). 27∙ 4 x − 8 ∙ 9 x = 0, 27∙( 4 9 ¿ ¿ x − 8 = 0, 27∙( 4 9 ¿ ¿ x = 8, ( 4 9 ¿ ¿ x = 8 27 , ( 2 3 ) 2x = ( 2 3 ) ³, 2x = 3 x = 1,5. Ответ:1,5. б) Повторение. Вопросы: 1. Что называется логарифмом? 2. Какие свойства логарифмов ты знаешь? 3. Напиши формулу перехода к новому основанию.
4. Напиши формулы, которые ты знаешь для пре- образования логарифмических выражений. ( log a b = 1 log b a , log b y a y = log b a )
3.

Изучение нового материала.
Изучение нового материала начинаю с сообщения новой темы и предлагаю учащимся самим сформулировать цели нашего урока. В старших классах ученики сами правильно могут поставить перед собой цели. 1) Определение простейшего логарифмического уравнения. Уравнение вида log a x = b , где a ¿ 0,а ≠ 0 , x ¿ 0 называют простейшим логарифмическим уравнением. Примеры: log 5 x = 3, log 2 √ 7 x =− 2. 2) По определению логарифма, если число х ₀ удовлетворяет числовому равенству log a x ₀ =b, то число х ₀ есть a b , причем это число х ₀ = a b единственное. Значит, для любого действительного числа b уравнение log a x = b имеет единственный корень х ₀ = a b . 3) Примеры решения уравнений: Решение примеров основано на определении логарифма. а) log 1 3 x =− 2 , б) log 2 x = √ 2 , в) log 3 x = 3, x = ( 1 3 ¿ ¿ − 2 , x = 2 √ 2 . x = 3 3 , x = 9. Ответ: 2 √ 2 . x = 27. Ответ: 9. Ответ: 27. Рассмотрим решение примеров, которое сводится к решению простейших логарифмических уравнений, при применении свойств логарифмов. а) 5 log 16 x − 3 log 4 x + log 2 x =− 3, 5 log 2 4 x − 3 log 2 2 x + log 2 x =− 3, 5 4 log 2 x − 3 2 log 2 x + log 2 x =− 3, 1,25 log 2 x − 1,5 log 2 x + log 2 x =− 3, 0,75 log 2 x =− 3, log 2 x =− 3 :0,75, log 2 x =− 4, x = 2 − 4 , x = 1 16 .
Ответ: 1 16 . б) x log 5 ¿ ¿ ¿ ¿ +5 log ¿ x ¿ 2 ¿ ² ¿ x log 3 x + 7 ¿ log 4 ¿ log ¿ x log 5 x log 5 2 ¿ ² = 0, ¿ ¿ ( x log ¿ 2 ¿ 5 ¿ ² ¿ ¿ 1 + 5 log 5 4 log 5 3 +¿ 7 ¿ log 5 ¿ ² ¿ ) = 0, Т.к. 1 + log ¿ 2 ¿ 5 ¿ ² ¿ ¿ 5 log 5 4 log 5 3 + 7 ¿ то ( x log 5 ¿ ² = 0. ¿ log 5 x = 0. x = 5 0 , x = 1. Ответ: 1.
4.

Формирование навыков и умений решать простейшие

логарифмические уравнения.
а) № 6.10 и № 6.11 устное решение по цепочке (по очереди каждый ученик объясняет устно решение примера). б) № 6.12 письменное решение а) log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7, в)2 log ¿ log ¿ (¿ 2 x ¿)= 1, ¿ (¿ 2 x ¿)+ log 0,5 ¿ ¿ log 2 ¿
1 4 log 2 x + 1 2 log 2 x + log 2 x = 7, 2 log ¿ log ¿ (¿ 2 x ¿)= 1, ¿ (¿ 2 x ¿)− log 2 ¿ ¿ log 2 ¿ log 2 x ( 1 4 + 1 2 + 1 ¿= 7, log ¿ ( ¿ 2 x ¿)= 1, ¿ log 2 ¿ log 2 x ∙ 1 3 4 = 7, log 2 x = 2, log 2 x = 7: 7 4 , x = 2², log 2 x = 4, x = 4. x = 2 4 , x =16. Ответ: 4. Ответ: 16. в) №6.13 самостоятельное решение по вариантам. У доски работают на откидных досках два ученика. 1 вариант - № 6.13(а) log 2 x + 2 log 4 x + 3 log 8 x + 4 log 16 x = 4 , log 2 x + log 2 x + log 2 x + log 2 x = 4, 4 log 2 x = 4, log 2 x =1, x = 2. Ответ: 2. 2 вариант - № 6.13(б) log √ 2 x + 2 log 2 x + 4 log 4 x + 6 log 8 x = 12, 2 log 2 x + 2 log 2 x + 2 log 2 x +¿ 2 log 2 x = 12, 8 log 2 x = 12, log 2 x = 3 2 , x = 2 3 2 , x = √ 8 , x = 2 √ 2 . Ответ: 2 √ 2 . После моей проверки, ученики, открывают доски и остальные проверяют решение примеров, задают вопросы и исправляют свои ошибки. Тот, кто решил раньше, чем на доске, с учетом домашней работы получают оценки.
Т.к. 10 класс – это профильный класс с дополнительным часом алгебры, то обязательно решаем №6.14(а, в). а) log 2 x + log 3 x = log 3 6 , log 3 x log 3 2 + log 3 x = log 3 6 , log 3 x ( 1 log 3 2 + 1 ) = log 3 6 , x ( log 2 3 + 1 ) =¿ log 3 6 log 3 ¿ , 2 log 2 3 + log 2 ¿=¿ ¿ x ¿ log 3 ¿ log 3 x ∙ log 2 6 = log 3 6, log 3 x = log 3 6 log 2 6 , log 3 x = log 6 2 log 6 3 , log 3 x = log 3 2 , x = 2. Ответ: 2. в) 2 log 4 x − log 5 x = 3 log √ 5 5 2 , log 2 x − log 5 x = 6 log 5 5 2 , log 5 x log 5 2 − log 5 x = 6 log 5 5 2 , log 5 x ( 1 log 5 2 − 1 ) = 6 log 5 5 2 , log 5 x ∙ 1 − log 5 2 log 5 2 = 6( log 5 5 − log 5 2 ¿ ,
2 1 − log 5 ¿ ∙ log 5 2 ¿ 6 ¿ x =¿ log 5 ¿ , log 5 x = 6 log 5 2, log 5 x = log 5 2 6 , x = 2 6 , x = 64. Ответ: 64. В классе есть ученики, которые интересуются математикой, для них я обязательно предлагаю самостоятельно попробовать решить примеры повышенной сложности, т.е. №6.15. а) x log 5 ¿ ² = 0 ¿ ¿ x +¿ x log 4 ¿ ( log 2 x ) 2 + 5 log 3 ¿ ( x log 2 ¿ ² + 5 log 2 x log 2 3 ¿ log 2 x log 2 4 + ( log 2 x log 2 5 ) 2 = 0, ( x 1 + 5 log 2 3 log 2 4 log 2 ¿ ² ¿ + ( 1 log 2 5 ) ² ¿= 0, Т.к. (1+ x log 2 ¿ ² = 0 5 log 2 3 log 2 4 +( 1 log 2 5 ) ² ¿ ≠ 0,то ¿ , log 2 x = 0, x = 1. Ответ: 1.
5.

Подведение итогов.
Беседа с учащимися: - достигли ли мы цели сегодняшнего урока; - все ли им понятно в решении логарифмических уравнений; - что непонятно и какие комментарии по уроку.
Выставление оценок с комментариями.
6.

Задание на дом:
п.6.2 с.169-171№6.12(б, г),№6.13(б, г), №6.14(б, г)

Доп.№6.15(б) (для сильных учеников).