Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №10» села Ачикулак
Внеурочное занятие.
Тема:
Что знаем о биссектрисе треугольника, кроме того, что

«это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам».
Разработка учителя математики МКОУ СОШ №10 Гамзатовой Сайгат Мусаидовны 1
Ученики часто задают вопрос: - А в каком отношении делятся биссектрисы и высоты треугольника? Мы знаем, что медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины, мы знаем, как найти длину медианы. А почему не изучаем формулы для биссектрисы и высоты? Чтобы ответить на их вопрос, я стала глубже изучать тему биссектрисы, и всё что с ним связано. Так много интересного и нужного нашла и для себя, и для мотивированных учащихся. Очень жаль, что учебная программа общеобразовательных школ на геометрию отводит только 2 часа в неделю, много интересного остается за рамками школьного курса. Так, данное внеклассное занятие поможет чуть глубже изучить биссектрису треугольника и этот материал как раз для продвинутых учащихся и он поможет как для подготовки к олимпиадам, так и для подготовки к ЕГЭ. Занятие я разделила на три части, под названиями: Знают все: 1.
Биссектриса
делит угол пополам. 2.
Биссектрис
ы треугольника пересекаются в одной точке Знают многие, но не все. 1. Геометрическое место точек равноудалённых от сторон угла. 2. Делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам. 3. Точка пересечения биссектрис – это центр вписанной окружности. Хотелось бы, чтобы знали! 1. В каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечения. 2. Как найти длину биссектрисы. 3. Какими ещё свойствами обладает биссектриса.
Ход занятия.
1. Начнём с того, что знают многие, но не все.
1.1

Биссектриса

–

это

геометрическое

место

точек

равноудалённых

от

сторон угла
. 2
О т р е з к и DE=DF. Доказывается легко из равенства прямоугольных треугольников АDE и АDF 1.2
Биссектриса

делит

противоположную

сторону

на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
Существует много доказательств этой теоремы, но самым лаконичным, на мой взгляд, является следующее. Опустим из вершин A и B перпендикуляры на биссектрису CD . Треугольники AED и DFB подобны по двум углам. Тогда имеем отношения AE:FB=AD:DB (1) Также подобны прямоугольные треугольники ACE и CFB по двум углам. И имеем равенство AE:FB=AC:DB(2) Из равенств (1) и (2) получим AD:DB= AC:DB.
Что требовалось доказать
.
1.3.

Точка пересечения биссектрис – это центр вписанной окружности.
Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, в частности равноудалена и точка пересечения биссектрис. Тогда OK,ON,OM радиусы вписанной окружности. 3

2. Хотелось бы, чтобы знали!

2.1

В

треугольнике

АВС

выполняются

равенства
a c p b c   a b q b c   Доказательство Так как a p q  и по свойству биссектрисы имеем q b p c  выразим b q p c  и тогда b p p a c  a c p b c   и для q получим аналогично a b q b c  
Что требовалось доказать

2.2

Многие очень хорошо знают, в каком отношении делятся медианы

точкой пересечения. А чем же биссектрисы провинились.

Оказывается, существует формула
4


mbc n a  



Доказательство. По свойству биссектрисы имеем для треугольника ACD m b n q  и выше доказали формулу : a b q b c     b b c mbbbc a b nqaba b c     что требовалось доказать.
2.3 .Наконец, главный вопрос: как же найти длину биссектрисы?
Оказывается, существует несколько формул для нахождения биссектрисы. Здесь я рассмотрю и докажу три формулы.
2.3.1 Формула 1
Длина биссектрисы вычисляется по формуле 5
2 c o s b c l b c    Доказательство. Рассмотрим рисунок. Прямая EB параллельна биссектрисе AD. Очевидно, что треугольник AEB равнобедренный. Из треугольника EAH получим c o s EHc   , тогда 2cos EBc   . ADb EBbc   2cos l b c b c    2 c o s b c l b c   
2.3.2 Формула 2
Длину биссектрисы можно вычислить и по формуле   2 2 ( ) bcbca l b c    6
Воспользуемся теоремой косинусов 2 2 2 cos2 2 b c a b c    Т а к к а к cos2α=2cos 2 - 1 и м е е м   222222 2 1 1 2 cos1cos21 2224 bcabbcca bcbc       Тогда 2 2 2 1 2 c o s 2 bbcca b c    Тогда подставляя вместо cosα полученное равенство , имеем вторую формулу для вычисления биссектрисы, зная стороны треугольника 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2212 c o s 2 bcbbcca bcbcbbcca l bcbcbcbc          22222 2 ( ) bcbbccabcbca l bcbc   
2.3.3 Формула 3
7
Наконец третья формула и самая легкая для запоминания и для доказательства. Дан треугольник ABC, отрезок AL - биссектриса угла A, то AL 2 = AB·AC - LB·LC. Доказательство: Продолжим биссектрису AL до пересечения с окружностью, описанной около треугольника ABC, Е - точка пересечения прямой AL с окружностью,. Угол ЕAB равен углу ЕAC по условию. Углы BЕA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники BAЕ и LAC подобны по двум углам. Тогда AL : AC = AB : AЕ. Следовательно AL · AЕ = AB · AC ; AL · ( AL + LЕ ) = AB · AC AL 2 = AB · AC - AL · LM. По свойству пересекающихся хорд AL · LM= BL · LC, тогда получаем формулу: AL 2 = AB · AC - BL · LC.
Что и требовалось доказать
. Конечно это малая часть, того что можно рассказать о биссектрисе. Кто хочет знать больше, тот всегда найдёт что - то новое. Ведь геометрия не просто наука – это целая философия. 1. Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений. 2. Всероссийская школа математики и физики «АВАНГАРД» Методическое пособие по математике №3-4 8
3. Единая коллекция ЦОР 4. Сефибеков С.Р. Четыре доказательства теоремы о биссектрисе.//Квант, № 8, 1983. 5. Н.Н. Поляк, А.Г. Мерзляк Решение конкурсных задач по математике Москва «Дом педагогики» 1996 9