Реализация межпредметных связей в школьном курсе физики

(на примере математики)
Решение задач по физике требует знаний из ряда смежных наук, и особенно - математики. Без хороших знаний по математике, владения разнообразным математическим аппаратом, решать физические задачи нельзя. В настоящее время взаимосвязь физики и математики в школьном курсе проявляется все больше. Например, в задания ЕГЭ по математике включаются задачи физического содержания, в свою очередь, многие задачи ЕГЭ по физике решаются проще и быстрее с использованием производной. Рассмотрим применение производной к решению задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции (на примере задач ЕГЭ второй части). Решение таких задач при подготовке к экзамену обычно вызывает затруднение у обучающихся.
Задача 1. Одноатомный идеальный газ совершает процесс, график

которого

изображен

на

рисунке.

Найдите

максимальное

значение

внутренней энергии газа в ходе данного процесса.
В н у т р е н н я я э н е р г и я одноатомного газа находится по формуле: U = 3 2 νRT . С о г л а с н о у р а в н е н и ю Менделеева-Клапейрона, pv = νRT . Следовательно, внутреннюю энергию можно находить таким образом: U = 3 2 pv . ( 1 ) Для определения максимального значения внутренней энергии необходимо представить ее как функцию или объема, или давления, т.е. функцию одного аргумента.
На рисунке изображен график зависимости давления от объема, который представляет собой прямую. Следовательно, эта зависимость линейная и описывается как p = kv + b . Для определения k , b используем значения давления и объема в двух состояниях газа p 1 = 16 ∙ 10 3 Па , v 1 = 1 м 3 , p 2 = 12 ∙10 3 Па, v 1 = 3 м 3 и решаем систему из двух уравнений: { 16 ∙ 10 3 = k + b 12 ∙ 10 3 = 3 k + b , откуда находим значения k =− 2 ∙ 10 3 , b = 18 ∙ 10 3 и получаем зависимость давления от объема для рассматриваемого процесса: p =− 2∙ 10 3 v + 18 ∙ 10 3 . (2) Подставляем полученную зависимость в формулу (1): U = 3 2 ∙ ( − 2∙ 10 3 v + 18 ∙10 3 ) v = 3 ∙ 10 3 ( − v 2 + 9 v ) . Исследуем полученную функцию с помощью производной: U ' = 3 ∙ 10 3 ( − v 2 + 9 v ) ' = 3 ∙ 10 3 ( − 2 v + 9 ) , U ' = 0, ⇒ − 2 v + 9 = 0, v = 4,5 м 3 . Из формулы (2) получаем значение давления, при котором внутренняя энергия достигает максимального значения: p =− 2∙ 10 3 ∙ 4,5 + 18 ∙ 10 3 = 9∙ 10 3 Па . Имея значения объема и давления, можно найти максимальное значение внутренней энергии: U = 3 2 ∙ 9 ∙ 10 3 Па∙ 4,5 м 3 = 60,8 кДж .
Задача 2. Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание

(см. рисунок). Каков угол наклона плоскости, если время соскальзывания

тела по этой плоскости минимально? Коэффициент трения
( μ = 0,25 ) .
Опишем движение тела с помощью 2-го закона Ньютона: ⃗ F тр + ⃗ N + m ⃗ g = m ⃗ a . В результате проецирования на оси ОХ, ОY получаем уравнение a = g sin α − μ cos α . (3) Если общее о снование п л о с ко с т е й обозначить за l , то, с одной стороны, длина наклонной плоскости s = l cos α , с другой стороны, s = a t 2 2 . Из этих двух формул и формулы (3) выразим t 2 : α sin α − μ cos ¿ ¿ ¿ α ¿ g cos ¿ t 2 = 2 l a cos α = 2 l ¿ Если при некотором значении угла время t соскальзывания по плоскости минимально, то и t 2 будет минимальным, поэтому для дальнейшего исследования возьмем полученную функцию (4). С помощью производной найдем минимальное значение:
α sin α − μ cos ¿ ¿ 2α cos 2α + μ sin ¿ ¿ α cos ¿ ¿ α sin α − μ cos ¿ ¿ ¿ 2 ¿ ¿ g ¿ 2 l ¿ cos α (¿ ¿) ' =¿ 1 ¿ ¿ ( t 2 ) ' = 2 l g ¿ ( t 2 ) ' = 0 ; ⇒ cos 2α + μ sin 2α = 0 ; ⇒ tg 2 α =− 4. Следовательно, угол, при котором время соскальзывания по наклонной плоскости минимально, равен α = − 1 2 argtg 4.