Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе ____________ В.А. Карсакова «___» _____________2013 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ специальность: 230115 Программирование в компьютерных системах междисциплинарный курс: Математическое моделирование СОГЛАСОВАНО Председатель цикловой комиссии ______________С.Г. Устимова «___»____________2013 г. Должность Фамилия/Подпись Дата Разработал Преподаватель Устимова С.Г. Проверил Преподаватель Лушова Н.И.
Версия: 1.0
стр. 1 из 81
Задания составлены на основе рабочей программы профессионального модуля ПМ01 «Разраьотка программных модулей программного обеспечения компьютерных систем» по специальности среднего профессионального об- разования 230115 Программирование в компьютерных системах. Для полного овладения знаниями и умениями, обучающемуся необходи- мо выполнить весь предложенный в методической разработке перечень прак- тических работ в течение учебного года. Вопросы и задания на практическую работу определяются преподава- телем и охватывают учебный материал, который охватывается на аудиторных занятиях. Задание на практическую работу представляет собой рекомендации по использования математических методов в моделировании. В качестве видов контроля предусмотрено: анализ выполненной работы студента, качественная и количественная оценка работы. Составил: преподаватель спец. дисциплин ГОУ СПО Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова С.Г. Устимова.
Версия: 1.0
стр. 2 из 81
СОДЕРЖАНИЕ Введение 4 Тема 5.1 Основы моделирования 5 Практические работы №1 5 Тема 5.2 Линейное моделирование 9 Практические работы №2 9 Практические работы №3 14 Практические работы №4 18 Практические работы №5 21 Практические работы №6 27 Практические работы №7 30 Практические работы №8 34 Практические работы №9 38 Практические работы №10 38 Тема 5.3 Нелинейное моделирование 39 Практические работы №11 39 Практические работы №12 47 Практические работы №13 51 Практические работы №14 56 Практические работы №15 59 Практические работы №16 66 Практические работы №17 68 Список литературы 71 Приложение А 72 Приложение Б 73
Версия: 1.0
стр. 3 из 81
Введение Назначение данного пособия – оказание методической помощи обучаю- щимися в выполнении практических работ. В структуру пособия входят следующие темы: Тема 5.1 Основы моделирования Тема 5.2 Линейное моделирование Тема 5.3 Нелинейное моделирование Задания для выполнения практической работы имеют следующую струк- туру: 1. Номер практической работы. 2. Наименование темы. 3. Цель занятия. 4. Пояснение. 5. Теоретическая часть. 6. Задание. 7. Содержание отчёта. 8. Контрольные вопросы. 9. Список литературы. На выполнение обучающимися аудиторных практических работ по МДК 1.5 «Математическое моделирование» отводится 20 часов. Отчёт по выполнению практических рабоот сдаётся на твёрдом носителе и помещается в индивидуальную папку, оформленную титульном листом (см. Приложение А). Параметры текста работы находятся в приложении (см. При- ложение Б). В ходе выполнения практических работ, обучающиеся должны получить следующие компетенции: ПК 1.5 Осуществлять оптимизацию программного кода модуля ПК 1.6 Разрабатывать компоненты проектной и технической документа- ции с использованием графических языков спецификаций
Версия: 1.0
стр. 4 из 81
Тема 5.1 Основы моделирования
Практические работы №1

Тема: «Составление математических моделей».

Цель работы
– изучить принцип поэтапного построения математиче- ских моделей; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Модель – это некий новый объект, который отражает существенные осо- бенности изучаемого объекта, явления или процесса. Математическая модель – это объект, возникающий в результате сбора и анализа фактического материала, выделения главных чёрт формализован- ных характеристик. Моделирование – построение моделей реально существующих объектов, замена реального объекта его подходящей копией (имитация), исследование объектов познания на их моделях. Этапы моделирования:
1.
Постановка проблемы и её качественный анализ. Главное чётко сфор- мулировать сущность проблемы, принимаемые допущёния и те вопросы, на которые требуется получить ответ.
2.
Построение математической модели. На этом этапе формализуется экономическая проблема, выражение в виде конкретных математических за- висимостей и отношений.
3.
Математический анализ модели. Целью этого этапа является выясне- ние общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приё- мы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решений в сформулированной модели.
4.
Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жёсткие требования к системе информации. В то же время реальные возмож- ности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначен- ных для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации, но затраты на подготовку не должны превышать эффект от использования дополнитель- ной информации.
5.
Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредствен- ное проведение расчётов.
6.
Анализ численных результатов.
Пример 1.
Показать зависимость значения площади равнобедренной трапеции от значения её оснований. Сторона трапеции равна 10. Построить математическую модель. При построении показать каждый шаг моделирова- ния. Обязательно реализовать модель с помощью MS Excel (при реализации необходимо построить экранную форму).
Версия: 1.0
стр. 5 из 81
Решение: Постановка проблемы и её качественный анализ. Необходимо показать как изменится значение площади равнобедренной трапеции при изменении значения величин её оснований. Построение математической модели. Для построения модели понадо- бится формула площади равнобедренной трапеции (площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту), а также необходимо опреде- лить значение высоты трапеции. Математический анализ модели. Формула для вычисления площади: .
Версия: 1.0
стр. 6 из 81
Рисунок 1 – Равнобедренная трапеция Поскольку для нахождения площади равнобедренной трапеции нам не известна только высота, то необходимо её определить. Опреде- лить высоту поможет значение ве- личины c. Из рисунка видно, что .
Версия: 1.0
стр. 7 из 81
Итак, площадь равнобедренной трапеции при заданных условиях равна: . Подготовка исходной информации. Покажем зависимость значения величины пло- щади равнобедренной трапеции от значения величины с помощью MS Excel, поскольку это требуется условием. Численное решение. Приготовим следующую экранную форму: Рисунок 2 – Экранная форма, созданная в MS Excel Для расчёта площади будим использовать следующую формулу: Рисунок 3 – Формула для расчёта площади равнобедренной трапеции В результате получится:
Версия: 1.0
стр. 8 из 81
Рисунок 4 – Итог построения математической модели Анализ численных результатов и их применение. По результатам видно, что при увеличении значений величин обоих оснований площадь увеличивается. При умень- шении значения величины одного из оснований площадь уменьшается, тоже происхо- дит и при уменьшении значений величин обоих оснований. Сведения из геометрии Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Площадь треугольника рав- на половине произведения величины основания и высоты, опущенной к этому основа- нию. Равнобедренный треугольник – это треугольник, две стороны которого имеют оди- наковую величину. У этого треугольника углы, прилежащие к основанию имеют рав- ные значения. Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого величины всех сторон одинаковы. У этого треугольника все углы равны 60 0 . Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого значение величины од- ного из углов равно 90 0 . Значение гипотенузы прямоугольного треугольника равно квадратному корню из суммы квадратов катетов. Синус угла равен отношению величины противолежащего катета к величине гипо- тенузы. Косинус угла равен отношению величины прилежащего катета к величине ги- потенузы. Тангенс угла равен отношению величины противолежащего катета к велича- ние прилежащего к этому углу катета. Объём куба равен величине его ребра в третьей степени.
Версия: 1.0
стр. 9 из 81

Задание.
Для указанной задачи построить математическую модель. При построе- нии показать каждый шаг моделирования. Обязательно реализовать модель с помощью MS Excel (при решении не забыть о построении экранной формы). 1. Построить зависимость значения тангенса любого острого угла прямоугольно- го треугольника от значения величины его катетов. 2. Показать зависимость значения синуса одного из острых углов прямоугольно- го треугольника от значения другого острого угла и противолежащего катета. 3. Показать зависимость значения косинуса одного из острых углов прямоуголь- ного треугольника от значения другого острого угла и прилежащего к этому углу кате- та. 4. Показать зависимость значения гипотенузы от значений катетов. 5. Показать зависимость значения площади прямоугольного треугольника от зна- чения величин его катетов. 6. Показать зависимость значения площади прямоугольного треугольника от зна- чения величин одного из катетов и гипотенузы. 7. Показать зависимость значения величины площади равнобедренного треуголь- ника от значений величин высоты этого треугольника и угла противолежащего основа- нию. 8. Показать зависимость значения величины периметра равнобедренного тре- угольника от значений величин основания этого треугольника и угла противолежащего к основанию 9. Показать зависимость значения величины периметра равностороннего тре- угольника от значения величины его стороны. 10. Показать зависимость значения величины площади равностороннего треуголь- ника от значения величины его стороны. 11. Показать зависимость значения величины площади квадрата от значения ве- личины его стороны. 12. Показать зависимость значения величины периметра квадрата от значения ве- личины его стороны. 13. Показать зависимость значения величины площади прямоугольника от значе- ния величин его сторон. 14. Показать зависимость значения величины периметра прямоугольника от значе- ния величин его сторон. 15. Показать зависимость значения объёма куба от значения величины его ребра.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Модель – это … 2. Моделирование – это … 3. Основными этапами моделирования являются…
Версия: 1.0
стр. 10 из 81
Тема 5.2 Линейное моделирование
Практические работы №2

Тема: «Построение математических моделей».

Цель работы
– изучить принцип построения математических моделей; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Задачам линейного программирования характерно: 1) показатель эффективности высокий и является элементов решения; 2) ограничения накладываются на возможные решения; 3) они имеют вид линейных уравнений или систем. Целевая функция – величина, с помощью которой производится выбор оптималь- ного решения и которая определяется проектными параметрами.
Пример.
Построить математическую модель по условиям задачи. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй для вну- тренних работ. Для производства красок используется два ингридиента6 А и В. Макси - мально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответ- ственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красот (Таблица 2.1). Изуче- ние рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску второго вида никогда не пре- вышает спроса на краску первого вида более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску второго вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски первого вида, 2 тыс. руб. для краски второ- го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации про- дукции был максимальным. Таблица. Параметры задачи о производстве красок Ингредиенты Расход ингредиентов, т ингр./т краски Запас, т ингр./сут. Краска 1-го вида Краска 2-го вида А 1 2 6 В 2 1 8
Решение
Переменные задачи В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок: х 1 – суточный объём производства краски первого вида, [т краски/сутки] х 2 – суточный объём производства краски второго вида, [т краски/сутки] Целевая функция В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реа- лизации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохо- да от продажи красок обоих видов, необходимо знать объёмы производства красок, т.е. х 1 и х 2 тонн краски в сутки, а также оптовые цены на краски первого и второго видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Таким образом, доход
Версия: 1.0
стр. 11 из 81
от продажи суточного объёма производства краски первого вида равен 3х 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски второго вида – 2х 2 тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем це- левую функцию в виде суммы дохода от продажи красок первого и второго видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок) Ограничения Возможные объёмы производства красок х1 и х2 ограничиваются следующими условиями:  количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на произ- водство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;  согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объём производства краски второго вида может превышать объём производства краски первого вида, но не более чем на 1 т краски;  объём производства краски второго вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;  объёмы производства красок не могут быть отрицательными. Таким образом, все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные: 1) расходом ингредиентов; 2) рыночным спросом на каску; 3) неотрицательностью объёмов производства. Запишем ограничения в математической форме. Левая часть ограничения – это формула расчета суточного расхода конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл.). Тогда на производство 1 x т краски 1-го вида и 2 x т краски 2-го вида потре- буется 2 1 2 1 x x  т ингр. А. Правая часть ограничения – это величина суточного запаса ингредиента на скла- де, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл.). Таким образом, ограничение по расходу А имеет вид 6 2 1 2 1   x x . Аналогична математическая запись ограничения по расходу В 8 1 2 2 1   x x . Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет содержательную форму                  сутки краски 1 вида го - 1 краски ва производст объемом над вида го - 2 ва производст объема т краски Превышение и математическую форму 1 1 2   x x .
Версия: 1.0
стр. 12 из 81
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержа- тельную форму:            сутки краски т 2 вида го - 1 краску на Спрос и математическую форму 2 1  x . Неотрицательность объемов производства задается как 0 , 0 2 1   x x . Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид     сутки x x X L руб. max 2 3 2 1                                 . сутки краски т 0 , 0 , сутки краски т 2 , сутки краски т 1 , B/с/сут ингр. т 8 2 , A/с/сут ингр. т 6 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x
Задание.
Построить математическую модель по условиям задачи. 1. Из трех продуктов I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества A, 8 ед. – вещества B и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в таблице. Составьте наиболее дешевую смесь. Продукт Содержание химического вещества в 1 ед. продукции Стоимость 1 ед. продук- ции А В С I 2 1 3 2 II 1 2 4 3 III 3 1,5 2 2,5 2. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П 1 , П 2 , П 3 , П 4 . Органи- зация производства характеризуется таблицей. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль. Продукция Затраты на 1 ед. продукции Доход от единицы продукции площадь труд тяга П 1 2 2 2 3 П 2 3 1 3 1 П 3 4 2 1 32 П 4 5 4 1 26 3. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформато- ров обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 т, прово- локи – 18 т. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 3 кг про- волоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволо- ки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д. е., второго – 4 д. е. Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий за-
Версия: 1.0
стр. 13 из 81
воду максимальную прибыль. 4. Предприятие должно выпускать два вида продукции – А и B, используя при этом последовательно четыре станка. Данные о технологическом процессе указаны в таблице. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наи- большую прибыль. Станок Трудоемкость на 1 ед. про- дукции Фонд вре- мени, час. А В 1 2 3 15 2 2 6 18 3 4 0 16 4 1 2 8 Прибыль на 1 ед. про- дукции (д.е.) 2 3 5. Предприятие изготавливает три вида повидла, содержащего смеь слив, яблок и груш. Содержание в килограмме повидла каждого вида различных ингридиентов при- ведено в таблице. Для полноценного суточного производства необходимо 100 кг яблок, 120 кг груш и 90 кг слив. Составить оптимальный план суточнго производства для по- лучения максимальной прибыли, если известно, что подло первого вида реализуется по 3 у.е., второго – по 5 у.е, третье по 1.5 у.е. Повидло Ингридиенты Сливы Яблони Груши 1 10 5 12 2 23 28 33 3 43 40 39 6. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки по- треблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и вита- минов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов 1 П и 2 П равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта 1 П – 2 руб., 2 П –3 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ. 7. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей использу- ются три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация произ- водства на предприятии характеризуется таблицей. Составьте план производства запас- ных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль. Ресурсы Расход материалов на произ- водство одной запасной части, кг. Запас ре- сурсов, кг 1 2 3 I 5 5 2 1200 II 4 – 3 300 III – 2 4 800 Прибыль 5 8 6
Версия: 1.0
стр. 14 из 81
8. Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указа- на в таблице. За 1 ц ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц пшеницы – 2,8 д. е., за 1 ц куку- рузы – 1,4 д. е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каж- дую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 т ржи, 158 000 т пшеницы и 30 000 т кукурузы? Посевы Массивы 1 2 3 Рожь 12 14 15 Пшеница 14 14 22 Кукуруза 30 35 25 9. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 250 тыс. л. крекинг-бензина, 350 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных про- порциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин A – 2:3:5:2, бензин B – 3:1:2:1, бензин C – 2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина характеризу- ется числами 120 д. е., 100 д. е., 150 д. е. Составьте план выпуска разных сортов авиа- ционного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции. 10. При откормке животных каждое животное ежедневно должно получить не ме- нее 60 единиц питательного вещества А, 50 единиц питательного вещества В и 12 еди- ниц питательного вещества С. Эти вещества содержат три вида корма. Составить днев- ной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных ве- ществ при минимальных денежных затратах. Цена одного килограмма корма первого вида – 9 р., второго – 12 р., третьего – 10 р. Питательные ве- щества Количество единиц питательного вещества I II III А 1 3 4 В 2 4 2 С 1 4 3 11. Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бен - зина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси A – 10 д. е., а смеси B – 12 д. е. Составьте план образования смесей, при ко- тором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта. 12. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице. Необходимо опреде- лить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Затраты ресурсов на единицу продукции Запасы ре- сурсов, ед. I II III IV Сырье 6 5 3 2 80 Рабочее время 15 12 8 10 100 Оборудование 5 3 2 4 70 Прибыль за единицу 30 10 20 15 13. Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный.
Версия: 1.0
стр. 15 из 81
В обычный набор входят 300 г азотных, 400 г фосфорных и 100 г калийных удобрений, а в улучшенный – 200 г азотных, 600 г фосфорных и 200 г калийных удобрений. Из- вестно, что для некоторого газона требуется не менее 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 30 руб., а улучшенный – 40 руб. Сколько и каких наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффективное пита- ние почвы и минимизировать стоимость? 14. Телевизионный завод выпускает 2 вида телевизоров, причем суточное плано- вое задание составляет не менее 100 телевизоров серии ТВ-1 и 80 телевизоров серии ТВ-2. Суточные ресурсы фабрики следующие: 800 ед. производственного оборудова- ния, 600 ед. сырья и 480 ед. электроэнергии, расход которых на производство одного телевизора каждого типа представлены в таблице. Себестоимость каждой серии теле- визора соответственно равна: ТВ-1 – 6400 руб., ТВ-2 – 8200 руб. Необходимо опреде - лить, сколько телевизоров каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Телевизоры ТВ-1 ТВ-2 Оборудование 2 4 Сырьё 3 2 Электроэнергия 4 1 15. Для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 32 м 2 , фирма выделяет 24 тыс. руб. Имеются единицы оборудования двух типов: обору- дование типа A стоимостью 3 тыс. руб., требующее производственную площадь 8 м 2 и имеющее производительность 4 тыс. единиц продукции за смену, и типа B стоимостью 6 тыс. руб., занимающее производственную площадь 5 м 2 и имеющее производитель- ность 5 тыс. единиц продукции за смену. Требуется рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Математическая модель – это … 2. Целевая функция – это ...
Практические работы №3

Тема: «Графический способ оптимизации».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции графическим ме- тодом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Рассмотрим алгоритм оптимизации целевой функции графическим способом. Для этого рассмотрим задачу:
Версия: 1.0
стр. 16 из 81
(1) max 2 2 1 1    x c x c f        ) 3 ( 0 , 0 ) 2 ( 2 1 2 2 1 1 x x b x a x a i i i 1. Неравенства (2) превращаем в равенства. 2. Строим плоскость с осями координат х 1 и х 2 . 3. Строим прямые из равенств (2). 4. Определяем полуплоскость для каждого неравенства (2). 5. Учитываем неравенства (3). получаем область допустимых решений (ОДР). 6. Строим вектор с . Начало этого вектора совпадает с началом координат. Коор- динаты конца вектора (с 1 ;с 2 ) – коэффициенты при х 1 и х 2 в целевой функции (1). 7. Перпендикулярно вектору с строим прямую. Ведём эту прямую по направле- нию вектора с до тех пор пока она полностью не пересечёт ОДР. 8. Определяем координаты этой точки (х 1 ;х 2 ). 9. Определяем f max .
Пример.
Решить задачу из примера 1 графическим способом. max 2 3 ) ( 2 1    x x X L                    . 0 , 0 ) 4 ( , 2 ) 3 ( , 1 ) 2 ( , 8 2 ) 1 ( , 6 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x
Решение
Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересече- ния этих прямых с осями координат (Рисунок 5).                (4) . 2 (3) , 1 (2) , 8 2 (1) , 6 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x (1) –           , 0 , 6 , 3 , 0 2 1 2 1 x x x x (2) –           , 0 , 4 , 8 , 0 2 1 2 1 x x x x (3) –            . 0 , 1 , 1 , 0 2 1 2 1 x x x x Прямая (4) проходит через точку 2 2  x параллельно оси 1 x .
Версия: 1.0
стр. 17 из 81
x 1 x 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 (2) (3) (1) (4) А B C D E - точка максимума F С ) X ( L 0 Рисунок 5 – Графическое решение задачи Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), по- лучим 1 0  , что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихова- нием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. Ри- сунок 2.1). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF. Строим вектор C  из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая пря- мая, двигаясь по направлению вектора C  . Поэтому Е – это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)        (2) , 8 2 (1) , 6 2 2 1 2 1 x x x x 3 1 1 3 4 , 3 1 3 3 10 2 1     x x ,       3 1 1 ; 3 1 3 E [т/сутки]. Максимальное значение ЦФ равно   3 2 12 3 4 2 3 10 3      E L [тыс. руб./сутки]. Таким образом, наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме 3 1 3 т и краски 2-го вида в объеме 3 1 1 т. Доход от продажи красок составит 3 2 12 тыс. руб. в сутки.
Задание.
Оптимизировать целевую функцию графическим способом. Задача опре- деляется по номеру варианта: первая цифра варианта определяет вид целевой функции, вторая – вид ограничений.
Версия: 1.0
стр. 18 из 81
Таблица. Вид целевой функции Первая цифра варианта Целевая функция 0 max 3 2 1    x x f 1 max 7 2 2 1    x x f 2 max 4 3 2 1    x x f 3 max 10 4 2 1    x x f Таблица. Вид ограничений Вторая цифра ва- рианта Ограничения Вторая цифра ва- рианта Ограничения 0                0 , 2 2 2 20 5 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 х х x x x x x x 1                0 , 10 2 5 , 2 1 2 20 5 4 2 1 2 1 2 2 1 х х x x x x x 2                  0 , 21 7 3 0 2 5 , 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 х х x x x x x x 3                0 , 10 2 5 12 3 3 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 х х x x x x x 4                  0 , 21 7 3 3 3 3 1 2 2 1 2 1 2 1 1 х х x x x x x 5                  0 , 12 3 3 4 1 2 21 7 3 2 1 2 1 2 2 1 х х x x x x x 6                0 , 20 5 4 1 10 2 5 , 2 2 1 2 1 2 1 2 1 х х x x x x x x 7                  0 , 21 7 3 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 х х x x x x x x
Версия: 1.0
стр. 19 из 81
8               0 , 1 2 10 2 12 3 3 4 2 1 2 1 2 1 х х x x x x 9                0 , 10 2 5 , 2 21 7 3 10 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 х х x x x x x x
Версия: 1.0
стр. 20 из 81

Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Графический способ оптимизации заключается в ... 2. Оптимизация – это… 3. Одномерная оптимизация – это…
Практические работы №4

Тема: «Оптимизация целевой функции графическим способом».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции графическим способом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Задание.
По данным задачи составить математическую модель. Найти решение задачи, используя метод оптимизации целевой функции графическим способом.
Вариант 1.
Предприятие производит для автомобилей ВАЗ запасные части типа A и В. Норма расхода ресурсов для производства каждого вида запасных частей, а также отведенные лимиты ресурсов приведены в таблице. Производственная мощность поз- воляет выпускать максимум 3500 деталей типа А. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить макси мальный доход от продажи за неделю. Ресурсы Нормы расхода ресурсов на производство одной детали Лимит ресурсов (в неделю) Тип A Тип B Трудозатраты, чел./час 4 3 8000 Листовой материал, кг 2 6 7500 Полимерный материал, кг 5 2 6000 Доход от продажи 1 детали 11 13
Вариант 2.
Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходи - мо выдавать каждой лисе корма – 4 ед., а каждому песцу – 5 ед. Ферма ежедневно мо- жет иметь не более 200000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д. е., а от реализации одной шкурки песца – 5 д. е. Какое количе- ство лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?
Версия: 1.0
стр. 21 из 81

Вариант 3.
На предприятии для производства запасных частей для автомобилей используются четыре вида ресурсов. Выпускаются два вида запасных частей. Органи- зация производства на предприятии характеризуется таблицей. Составьте план произ- водства запасных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль. Ресурсы Расход материалов на произ- водство одной запасной части, кг Запас ресурсов, кг 1 2 I 5 5 1100 II 4 – 300 III – 2 800 IV 1 3 750 Прибыль от реализации одной запасной части 5 8
Вариант 4.
Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления транс- форматоров обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 4,2 т, проволоки – 18 т. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 2 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2,3 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д. е., второго – 5,2 д. е. Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечи- вающий заводу максимальную прибыль.
Вариант 5.
Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют следую- щие ресурсы: S1, S2, S3. Запасы ресурсов и затраты каждого на единицу продукции приведены в таблице. Прибыль, получаемая от единицы продукции P1 и P2, – со ответ- ственно 2 и 5 руб. Составьте такой план производства продукции, при котором прибыль от её реали- зации будет максимальной. Ресурс Запас ресурса Число ед. ресурсов, затрачиваемых на изготовление ед. продукции P1 Р2 S1 21 1 3 S2 18 2 1 S3 6 – 1
Вариант 6.
Издательский дом «Садовод» издает два журнала: «Пчеловод» и «Сад и ого род», которые печатаются в трех типографиях: «Типография МК», «Полиграф» и «Труд», где общее количество часов, отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи экзем- пляров ограничены и представлены в таблице. Спрос на журнал «Пчеловод» составляет 11 тыс. экз. а на журнал «Сад и огород» – не более 13 тыс. экз. в месяц. Определите, какое оптимальное количество журналов надо издавать, чтобы обеспечить максимальную выручку от продажи. Типография Время печати 1000 экз. Ресурс времени, отведенный типографией, час «Пчеловод» «Сад и огород» «Типография МК» 6 8 80 «Полиграф» 4 5 115 «Труд» 3 5 75 Оптовая цена, руб./шт. 22 25
Вариант 7.
Хлебозавод производит два типа торта «БИС» и «КВИТ». Для произ-
Версия: 1.0
стр. 22 из 81
водства 1 т «БИС» требуется 0,3 ч работы оборудования, а для «КВИТ» – 0,5 ч. Расход специального ингредиента на них составляет 0,3 и 0,2 т на 1 т соответственно. Еже- дневно в распоряжении завода 12 т специального ингредиента и 14 ч работы оборудо- вания. Доход от продажи 1 т торта «БИС» составляет 20 тыс. руб., а «КВИТ» – 30 тыс. руб. Определите ежедневный план производства тортов каждого вида, обеспечиваю- щий максимальный доход от их продажи.
Вариант 8.
Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улуч- шенный. В обычный набор входят 250 г азотных, 440 г фосфорных и 100 г калийных удобрений, а в улучшенный 200 г азотных, 550 г фосфорных и 220 г калийных удобре- ний. Известно, что для некоторого газона требуется не менее 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 30 руб., а улучшенный – 35 руб. Сколько и каких наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффек- тивное питание почвы и минимизировать стоимость?
Вариант 9.
Для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 32 м 2 , фирма выделяет 25 тыс. руб. Имеются единицы оборудования двух ти- пов: оборудование типа A стоимостью 2,5 тыс. руб., требующее производственную площадь 8 м 2 и имеющее производительность 4 тыс. единиц продукции за смену, и типа B стоимостью 6 тыс. руб., занимающее производственную площадь 5 м 2 и имею- щее производительность 5 тыс. единиц продукции за смену. Рассчитайте оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка.
Вариант 10.
Сформируйте вариант приготовления бензина АИ-93 и АИ-95, кото- рый обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 9 т смеси 1-го сорта и 30 т смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-93 идет 55 % смеси 1-го сорта и 45 % смеси 2-го сорта, на изготовление бензина АИ-95 идет 75 % смеси 1-го сорта и 25 % смеси 2-го сорта. Реализуется 1 т бензина АИ-93 за 82 000 руб., а 1 т АИ-95 – за 11 000 руб.
Вариант 11.
Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А со- держит бензина 60 % 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 75 % 1-го сорта и 25 % 2- го сорта. Цена 1 кг смеси A – 7,5 д. е., а смеси B – 10 д. е. Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бен- зина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.
Вариант 12.
Для выпуска двух видов продукции требуются затраты сырья, рабо- чего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице. Определите, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпус- каемой продукции была максимальной. Ресурсы Затраты ресурсов на еди- ницу продукции Запасы ре- сурсов, ед. I III Сырье 6 2 80 Рабочее время 15 11 150 Оборудование 5 3 84 Прибыль на единицу продукции, руб. 28 12
Варианта 13.
На предприятии для производства запасных частей для автомобилей
Версия: 1.0
стр. 23 из 81
используются два вида ресурсов. Выпускаются два вида запасных частей. Организация производства на предприятии характеризуется таблицей. Составьте план производства запасных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль. Ресурсы Расход материалов на производство одной запасной части, кг Запас ресурсов, кг 1 2 I 4 2 1150 II 4 3 320 Прибыль от реали- зации одной запас- ной части (д.е.) 5 6
Вариант 14.
Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 250 тыс. л. крекинг-бензина, 350 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуется два сорта авиационного бензина: бензин A – 2:3:5:2, бензин B – 3:1:2:1. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина характеризуется числами 110 д. е., 150 д. е. Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.
Вариант 15.
При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. бел- ков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в таблице. Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д. е., второго – 6 д. е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость. Питательные вещества Количество единиц питательных веществ на 1 кг Корма 1 Корма 2 Белки 4 1 Углеводы 2 3 Протеин 1 6
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Перечислить методы одномерной оптимизации… 2. Многомерная оптимизация – это ...
Практические работы №5

Тема: «Оптимизация целевой функции симплексным методом».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции симплексным методом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Рассмотрим основные особенности построения симплексных таблиц (оптимиза- ции целевой функции симплексным методом).
Версия: 1.0
стр. 24 из 81
Таблица. Общий вид симплексной таблицы. Б – столбец базисных переменных; b – столбец свободных членов системы органический; x j – столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений; С Б – коэффициенты из целевой функции при базисных переменных; f 0 – значение целевой функции:     m i i i b c f 1 0 ; j  для базисных переменных равно нулю, для свободных – k m i ik i j c a c       1 . Стрелками обозначены разрешающие строка и столбец. a rk – разрешающий эле- мент. Основной оптимизации симплексных таблиц – метод Жордана – Гаусса, который представляет собой переход от одного опорного плана к другому. Нахождение опти- мального плана симплексным методом включает следующие этапы: 1. Нахождение опорного плана; 2. Составление симплекс – таблиц; 3. Выяснение того, что имеется хотя бы одно отрицательное число j  , если нет, то опорный план оптимальный, если да, то либо устанавливается неразрешимость за- дачи, либо переход к новому опорному плану. Переход от одного опорного плана к другому происходит по алгоритму: 1. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающие элемент. 2. Элементы разрешающего столбца обнуляются. 3. Остальные элементы новой таблицы вычисляются по правилу прямоугольника: rk ik rj rk ij ij a a a a a a     Диагональ, где находится разрешающий элемент называется главной диагональю, другая называется побочной. Из произведения элементов главной диагонали вычитает- ся произведение элементов побочной диагонали и эту разность делят на разрешающий элемент. 4. Нахождение разрешающих столбца и строки и разрешающего элемента. 5. По правилу прямоугольника находятся остальные элементы новой таблицы. 6. Проверка найденного опорного плана на оптимальность, если план не оптима- лен, то возврат к пункту 4. В случае получения оптимального решения заканчивают.
Версия: 1.0
стр. 25 из 81

Пример.
Решить задачу из примера 2 симплексным способом. max 2 3 ) ( 2 1    x x X L                    . 0 , 0 , 2 ) , 1 , 8 2 , 6 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x
Решение
Превращаем все неравенства в равенства:                    . 2 , 1 , 8 2 , 6 2 6 2 5 2 1 4 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x Свободные переменные – х 1 , х 2 ; базисные – х 3 , х 4 , х 5 , х 6 . Составляем симплексную таблицу. Таблица. Первый этап создания симплексной таблицы. Полученный опорный план не оптимален. В новом опорном плане переменная х 1 становится базисной, а переменная х 4 – свободной. Разрешающий элемент делим сам на себя, остальные элементы разрешающего столбца обнуляем. Элемент разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Для базисных переменных все значения оста- ются прежними. Таблица. Второй шаг заполнения симплексной таблицы
Версия: 1.0
стр. 26 из 81
Остальные элементы находим, используя метод Жордана-Гаусса. Таблица. Результат построения симплексной таблицы Полученный опорный план оптимален. Получили ответ        3 2 , 3 , 0 , 0 , 3 1 1 , 3 1 3 X , 3 2 12 max  f . Полученный ответ такой же как и при оптимизации целевой функции гра- фическим способом.
Задание.
Оптимизировать данные математические модели симплекс методом. Для решения использовать MS Excel. Номер варианта Первая математическая модель Вторая математическая модель 1                          3 , 2 , 1 0 1 3 8 2 2 2 8 max 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2
Версия: 1.0
стр. 27 из 81
2                              5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 3 2 8 2 5 1 max 4 3 5 3 2 1 3 2 1 4 3 2 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 3                              6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 24 4 3 18 3 2 3 16 2 2 max 3 2 6 4 2 1 4 3 2 1 5 4 2 1 4 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 Номер варианта Первая математическая модель Вторая математическая модель 4                             5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 30 4 2 24 2 6 2 2 max 2 3 4 5 9 5 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 5 4 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 5                           4 , 3 , 2 , 1 0 1 2 10 2 2 8 2 3 max 3 2 2 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функцию математической модели, построен- ной на практической работа №2
Версия: 1.0
стр. 28 из 81
6                           4 , 3 , 2 , 1 0 4 2 2 2 14 2 2 16 2 max 2 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 i x х x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 7                           4 , 3 , 2 , 1 0 6 2 2 6 2 16 max 3 2 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x x х x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 8                           4 , 3 , 2 , 1 0 15 3 3 8 2 12 3 2 max 3 2 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x x х x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 9                           4 , 3 , 2 , 1 0 5 2 4 2 3 2 max 2 3 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 i x х x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2
Версия: 1.0
стр. 29 из 81
Номер варианта Первая математическая модель Вторая математическая модель 10                         4 , 3 , 2 , 1 0 7 7 2 2 6 2 max 2 3 3 2 1 4 3 2 2 1 4 3 2 1 i x x x x х x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 11                          4 , 3 , 2 , 1 0 15 2 2 9 2 2 8 3 2 max 2 3 2 4 3 1 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 12                         4 , 3 , 2 , 1 0 10 2 2 6 6 2 max 2 2 3 2 1 3 2 4 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x х x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 13                           4 , 3 , 2 , 1 0 12 4 3 2 9 2 6 max 4 3 2 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x x х x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функцию математической модели, построен- ной на практической работа №2
Версия: 1.0
стр. 30 из 81
14                          4 , 3 , 2 , 1 0 1 4 2 6 3 max 2 3 4 3 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x x x х x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2 15                           4 , 3 , 2 , 1 0 2 2 4 3 6 5 1 3 3 2 max 6 4 5 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 i x x x x х x x x x x x x x x x f i Оптимизировать целевую функ- цию математической модели, по- строенной на практической работа №2
Версия: 1.0
стр. 31 из 81

Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Суть симплексного метода заключается в... 2. Достоинства симплексного метода…
Практические работы №6

Тема: «Построение симплексных таблиц».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции симплексным методом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Задание.
Построить математическую модель по условиям задачи. Оптимизиро- вать разработанную целевую функцию симплексным методом. 1. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки по- треблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 80 и вита- минов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов 1 П и 2 П равно соответственно (0,25; 0,075; 0) и (0,1; 0,2; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта 1 П – 5 руб., 2 П – 6 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ. 2. Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входят 350 г азотных, 400 г фосфорных и 110 г калийных удобрений, а в улучшенный – 200 г азотных, 620 г фосфорных и 200 г калийных удобрений. Из- вестно, что для некоторого газона требуется не менее 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 30 руб., а улучшенный – 40 руб. Сколько и каких наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффективное пита- ние почвы и минимизировать стоимость? 3. Телевизионный завод выпускает 2 вида телевизоров, причем суточное плано- вое задание составляет не менее 100 телевизоров серии ТВ-1 и 80 телевизоров серии ТВ-2. Суточные ресурсы фабрики следующие: 800 ед. производственного оборудова- ния, 600 ед. сырья и 480 ед. электроэнергии, расход которых на производство одного телевизора каждого типа представлены в таблице. Себестоимость каждой серии теле- визора соответственно равна: ТВ-1 – 6400 руб., ТВ-2 – 8300 руб. Необходимо опреде - лить, сколько телевизоров каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Телевизоры ТВ-1 ТВ-2 Оборудование 2 4 Сырьё 5 4 Электроэнергия 2 3 4. Для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 30 м 2 , фирма выделяет 24 тыс. руб. Имеются единицы оборудования двух типов: обору- дование типа A стоимостью 3 тыс. руб., требующее производственную площадь 8 м 2 и имеющее производительность 2 тыс. единиц продукции за смену, и типа B стоимостью
Версия: 1.0
стр. 32 из 81
6 тыс. руб., занимающее производственную площадь 5 м 2 и имеющее производитель- ность 4 тыс. единиц продукции за смену. Требуется рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка. 5. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей использу- ются три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация произ- водства на предприятии характеризуется таблицей. Составьте план производства запас- ных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль. Ресурсы Расход материалов на произ- водство одной запасной части, кг. Запас ре- сурсов, кг 1 3 3 I 6 2 2 1200 II 4 – 3 520 III – 2 4 310 Прибыль от реали- зации одной запас- ной части (д.е.) 5 8 6 6. Из трех продуктов I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества A, 8 ед. – вещества B и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в таблице. Составьте наиболее дешевую смесь. Продукт Содержание химического вещества в 1 ед. продукции Стоимость 1 ед. продукции А В С I 2 3 3 4,2 II 1 0,5 4 1 III 3 1,5 2 2,5 7. При откормке животных каждое животное ежедневно должно получить не ме- нее 60 единиц питательного вещества А, 50 единиц питательного вещества В и 11 еди- ниц питательного вещества С. Эти вещества содержат три вида корма. Составить днев- ной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных ве- ществ при минимальных денежных затратах. Цена одного килограмма корма первого вида – 10 р., второго – 11 р., третьего – 10 р. Питательные ве- щества Количество единиц питательного вещества I II III А 1 3 4 В 2 4 2 С 1 4 3 8. Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бен - зина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 55% 1-го сорта и 45% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси A – 11 д. е., а смеси B – 12 д. е. Составьте план образования смесей, при кото- ром будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.
Версия: 1.0
стр. 33 из 81
9. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 115 ед., тяга – 90 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П 1 , П 2 , П 3 , П 4 . Организа- ция производства характеризуется таблицей. Составьте план выпуска продукции, обес- печивающий хозяйству максимальную прибыль. Продукция Затраты на 1 ед. продукции Доход от единицы продукции площадь труд тяга П 1 2 2 2 3 П 2 3 2 4 1 П 3 4 3 1 42 П 4 5 4 1 10 10. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформа- торов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 т, прово- локи – 16 т. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 5 кг про- волоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволо- ки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 7 д. е., второго – 5 д. е. Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий за- воду максимальную прибыль. 11. Предприятие должно выпускать два вида продукции – А и B, используя при этом последовательно четыре станка. Данные о технологическом процессе указа- ны в таблице. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наи- большую прибыль. Станок Трудоемкость на 1 ед. продукции Фонд вре- мени, час. А В 1 2 3 15 2 2 6 12 3 1 0 11 4 1 3 8 Прибыль на 1 ед. продукции 2 4 12. Предприятие изготавливает три вида повидла, содержащего смеь слив, яблок и груш. Содержание в килограмме повидла каждого вида различных ингридиентов при- ведено в таблице. Для полноценного суточного производства необходимо 100 кг яблок, 120 кг груш и 90 кг слив. Составить оптимальный план суточнго производства для по- лучения максимальной прибыли, если известно, что подло первого вида реализуется по 3 у.е., второго – по 5 у.е, третье по 1.5 у.е. Повидло Ингридиенты Сливы Яблони Груши 1 10 5 12 2 23 28 33 3 43 40 39 13. Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8050, 9200 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указа- на в таблице. За 1 ц ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц пшеницы – 2,8 д. е., за 1 ц куку- рузы – 1,4 д. е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каж- дую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 18 000 т ржи, 153 500 т пшеницы и 30 000 т кукурузы?
Версия: 1.0
стр. 34 из 81
Посевы Массивы 1 2 3 Рожь 11 10 15 Пшеница 14 14 22 Кукуруза 30 35 25 14. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 230 тыс. л. крекинг-бензина, 320 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных про- порциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин A – 2:3:5:2, бензин B – 3:1:2:1, бензин C – 2:3:1:3. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина характеризу- ется числами 115 д. е., 100 д. е., 130 д. е. Составьте план выпуска разных сортов авиа- ционного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции. 15. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице. Необходимо опреде- лить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Затраты ресурсов на единицу про- дукции Запасы ресурсов, ед. I II III IV Сырье 6 5 3 2 79 Рабочее время 14 10 2 10 115 Оборудование 5 3 2 4 70 Прибыль на еди- ницу продукции, руб. 30 10 20 15
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Практические работы №7

Тема: «Оптимизация целевой функции».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции симплексным методом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Задание.
Построить математическую модель по условиям задачи. Оптимизиро- вать разработанную целевую функцию графическим и симплексным методами. 1. При откормке животных каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 единиц питательного вещества А, 50 единиц питательного вещества В и 11 единиц питательного вещества С. Эти вещества содержат три вида корма. Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах. Цена одного килограмма корма первого вида – 15 р., второго – 12 р., третьего – 10 р.
Версия: 1.0
стр. 35 из 81
Питательные ве- щества Количество единиц питательного вещества I II III А - 3 4 В 2 5 6 С 1 4 3 2. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки по- треблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 80 и вита- минов – не менее 20 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов 1 П и 2 П равно соответственно (0,25; 0,8; 0) и (0,3; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта 1 П – 3 руб., 2 П – 6 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ. 3. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 230 тыс. л. алкилата, 120 тыс. л. крекинг-бензина, 251 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных про- порциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин A – 2:3:5:2, бензин B – 3:1:1:1, бензин C – 2:2:1:2. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина характеризу- ется числами 115 д. е., 110 д. е., 120 д. е. Составьте план выпуска разных сортов авиа- ционного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции. 4. Из трех продуктов I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества A, 8 ед. – вещества B и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в таблице. Составьте наиболее дешевую смесь. Продукт Содержание химического вещества в 1 ед. продукции Стоимость 1 ед. продук- ции А В С I 2 3 3 4,2 II - 4 3 1 III 1 2 - 2,5 5. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице. Необходимо опреде- лить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Затраты ресурсов на единицу про- дукции Запасы ресурсов, ед. I II III IV Сырье 7 11 3 2 79 Рабочее время 10 3 2 10 120 Оборудование 5 3 2 4 87 Прибыль на еди- ницу продукции, руб. 30 10 25 15 6. Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный.
Версия: 1.0
стр. 36 из 81
В обычный набор входят 323 г азотных, 420 г фосфорных и 110 г калийных удобрений, а в улучшенный – 200 г азотных, 590 г фосфорных и 200 г калийных удобрений. Из- вестно, что для некоторого газона требуется не менее 10 кг азотных, 17 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 30 руб., а улучшенный – 32 руб. Сколько и каких наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффективное пита- ние почвы и минимизировать стоимость? 7. Телевизионный завод выпускает 2 вида телевизоров, причем суточное плано- вое задание составляет не менее 100 телевизоров серии ТВ-1 и 80 телевизоров серии ТВ-2. Суточные ресурсы фабрики следующие: 790 ед. производственного оборудова- ния, 450 ед. сырья и 420 ед. электроэнергии, расход которых на производство одного телевизора каждого типа представлены в таблице. Себестоимость каждой серии теле- визора соответственно равна: ТВ-1 – 6400 руб., ТВ-2 – 8300 руб. Необходимо опреде - лить, сколько телевизоров каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной. Ресурсы Телевизоры ТВ-1 ТВ-2 Оборудование 2 4 Сырьё 3 5 Электроэнергия 2 3 8. Для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 30 м 2 , фирма выделяет 21 тыс. руб. Имеются единицы оборудования двух типов: обору- дование типа A стоимостью 3 тыс. руб., требующее производственную площадь 6 м 2 и имеющее производительность 2 тыс. единиц продукции за смену, и типа B стоимостью 5,2 тыс. руб., занимающее производственную площадь 4 м 2 и имеющее производитель- ность 3,5 тыс. единиц продукции за смену. Требуется рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка. 9. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей использу- ются три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация произ- водства на предприятии характеризуется таблицей. Составьте план производства запас- ных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль. Ресурсы Расход материалов на произ- водство одной запасной части, кг. Запас ре- сурсов, кг 1 3 3 I 5 3 2 1200 II 4 – 3 468 III – 2 4 310 Прибыль от реали- зации одной запас- ной части (д.е.) 5 8 8 10. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформа- торов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 т, прово- локи – 14 т. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 4 кг про- волоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 3,5 кг прово- локи. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 7 д. е., второго – 7 д. е. Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий за-
Версия: 1.0
стр. 37 из 81
воду максимальную прибыль. 11. Предприятие должно выпускать два вида продукции – А и B, используя при этом последовательно четыре станка. Данные о технологическом процессе указа- ны в таблице. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наи- большую прибыль. Станок Трудоемкость на 1 ед. про- дукции Фонд вре- мени, час. А В 1 2 3 17 2 0 4 10,5 3 5 1 11 4 1 3 8 Прибыль на 1 ед. про- дукции (д.е.) 2 4 12. Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бен - зина 55% 1-го сорта и 45% 2-го сорта; смесь В – 63% 1-го сорта и 37% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси A – 13 д. е., а смеси B – 11 д. е. Составьте план образования смесей, при ко- тором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта. 13. Предприятие изготавливает три вида повидла, содержащего смеь слив, яблок и груш. Содержание в килограмме повидла каждого вида различных ингридиентов при- ведено в таблице. Для полноценного суточного производства необходимо 100 кг яблок, 120 кг груш и 90 кг слив. Составить оптимальный план суточнго производства для по- лучения максимальной прибыли, если известно, что подло первого вида реализуется по 3 у.е., второго – по 5 у.е, третье по 1.5 у.е. Повидло Ингридиенты Сливы Яблони Груши 1 10 5 12 2 23 28 33 3 43 40 39 14. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 113 ед., тяга – 90 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П 1 , П 2 , П 3 , П 4 . Орга- низация производства характеризуется таблицей. Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль. Продукция Затраты на 1 ед. продукции Доход от единицы продукции площадь труд тяга П 1 2 2 6 3 П 2 3 2 5 1 П 3 5 5 1 43 П 4 5 4 1 10 15. Совхоз отвел три земельных массива размером 5240, 8630, 9200 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указа- на в таблице. За 1 ц ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц пшеницы – 2,8 д. е., за 1 ц куку- рузы – 1,3 д. е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каж- дую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать
Версия: 1.0
стр. 38 из 81
не менее 18 650 т ржи, 173 520 т пшеницы и 30 000 т кукурузы? Посевы Массивы 1 2 3 Рожь 11 10 15 Пшеница 13 17 22 Кукуруза 35 36 25
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Описать достоинства и недостатки графического способы оптимизации целевой функции. 2. Перечислить достоинства и недостатки симплекс-метода.
Практические работы №8

Тема: «Решение двойственных задач графическим способом».

Цель работы
– изучить принцип оптимизации целевой функции симплексным методом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопо- ставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двой- ственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим опре- деление двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программиро- вания, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции n n x c x c x c F     ... 2 2 1 1 при условиях                                          n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m k n n k k k k n kn k k n n n n , 1 0 . ... ... , ... , ... ... , ... , ... 2 2 1 1 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Определение.Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции m m y b y b y b F     ... 2 2 1 1 * при условиях
Версия: 1.0
стр. 39 из 81
                               m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a i n m mn n n k m ml l l m m m m , 1 0 . ... ... , ... ... , ... , ... 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 12 1 1 2 21 1 11
Задание.
Для данной задачи линейного программирования составить двойствен - ную задачу. Решить составленную задачу графическим способом. Номер вариан- та Задача линейного програм- мирования Номер вариан- та Задача линейного программиро- вания 1 2 3 4
Версия: 1.0
стр. 40 из 81
Номер вариан- та Задача линейного программиро- вания Номер варианта Задача линейного програм- мирования 5 6 7 8 9 10
Версия: 1.0
стр. 41 из 81
Номер вариан- та Задача линейного программиро- вания Номер варианта Задача линейного програм- мирования 11 12 13 14 15
Версия: 1.0
стр. 42 из 81

Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Двойственная задача линейного программирования – это ... 2. Какие способы оптимизации целевой функции двойственной задачи Вам из- вестны?
Практические работы №9

Тема: «Решение двойственных задач симплексным методом».

Цель работы
– изучить принципы решения двойственных задач симплексным способом; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Задание.
Для математической модели, составленной в практической работе №4 составить двойственную задачу. Решить исходную и двойственную задачи симплекс- ным методом. Решение выполнить с помощью табличного редактора.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Математическая модель – это… 2. Двойственная задача линейного программирования – это …
Практические работы №10

Тема: «Оптимизация двойственной модели целевой функции».

Цель работы
– изучить принципы решения двойственных задач линейного про- граммирования; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Задание.
Для математических моделей, составленных в практических работах №6 и №7 составить двойственную задачу. Решить двойственные задачи симплексным ме- тодом. Решение выполнить с помощью табличного редактора. Для задачи из практической работы №7 изменить условие так, чтобы двойствен- ную задачу можно было решить графическим способом.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Перечислите недостатки графического способа оптимизации целевой функции линейной модели. 2. Укажите основные достоинства симплексного метода.
Версия: 1.0
стр. 43 из 81
Тема 5.3 Нелинейное моделирование
Практические работы №11

Тема: «Задача о распределении сырья между предприятиями».

Цель работы
– изучить принципы оптимизации распределительной и транспорт- ной задач; закрепить полученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Транспортная задача – это задача, в которой работы и ресурсы измеряются в од- них и тех же единицах. Исходные параметры модели транспортной задачи: 1. n – количество исполнителей; 2. m – количество видов выполняемых работ; 3. a i – запас рабочего ресурса исполнителя A i ; 4. b j – план по выполнению работ B j ; 5. c ij – стоимость выполнения работы B j исполнителем A i . Искомые параметры модели транспортной задачи: 1. x ij – планируемая загрузка исполнителя A i при выполнении работ B j ; 2. L(X) – общие расходы на выполнение всего запланированного объёма работ. Модель транспортной задачи:   min 1 1        m j ij ij n i x c X L                        m j n i x m j a x n i a x ij i n i ij i m j ij , 1 , , 1 0 , 1 , , 1 , 1 1 Таблица. Общий вид транспортной матрицы Пункты от- правления A i Пункты потребления, B j Запасы, ед. продукции В 1 В 2 … B m А 1 c 11 c 12 … c 1m a 1 А 2 c 21 c 22 … c 2m a 2 … … … … … … A n c n1 c n2 … c nm a n Потреб- ность, еди- ницы про- дукции b 1 b 2 … b m Распределительная задача – это задача, в которой работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерения.
Версия: 1.0
стр. 44 из 81
Исходные параметры модели распределительной задачи: 1. n – количество исполнителей; 2. m – количество видов выполняемых работ; 3. a i – запас рабочего ресурса исполнителя A i ; 4. b j – план по выполнению работ B j ; 5. c ij – стоимость выполнения работы B j исполнителем A i ; 6. l ij – интенсивность выполнения работы B j исполнителем A i . Искомые параметры модели транспортной задачи: 1. x ij – планируемая загрузка исполнителя A i при выполнении работ B j ; 2. k ij x – количество работ B j , которые должен будет произвести исполнитель A i ; 3. L(X) – общие расходы на выполнение всего запланированного объёма работ. Модель распределительной задачи:          n i m j ij ij ij x c x L 1 1                          m j n i x m j b x n i a x ij n i j ij ij i m j ij , 1 , , 1 0 , 1 , , 1 , 1 1  Таблица 3.2. Общий вид распределительной матрицы Исполнители A i Работы, B j Запас ре- сурса, ед. ресурса В 1 В 2 … B m А 1  11 c 11  12 c 12 …  1m c 1m a 1 А 2  21 c 21  22 c 22 …  2m c 2m a 2 … … … … … … A n  n1 c n1  n2 c n2 …  nm c nm a n План, ед. ра- боты b 1 b 2 … b m Этапы решения распределительной задачи: 1. Преобразование распределительной задачи в транспортную. 1.1. Выбор базового ресурса и расчёт нормативных производительностей  i : базj ij i     . 1.2. Перерасчёт запаса рабочего ресурса исполнителей ' i a : i i i a a    ' . 1.3. Перерасчёт планового задания ' j b : базj j j b b   ' . 1.4. Перерасчёт себестоимостей работ: базj ij ij c c    '
Версия: 1.0
стр. 45 из 81
2. Проверка баланса      m j j n i i b a 1 ' 1 ' и построение транспортной задачи. 3. Поиск оптимального решение транспортной задачи:   * ' '* ij X X  . 4. Преобразование оптимального решения транспортной задачи в оптималь- ное решение распределительной задачи: i ij ij X X  '  . 5. Определение количества работ, соответствующих оптимальному решению распределительной задачи: ij ij k ij X X    . 6. Определение целевой функции распределительной задачи.
Пример.
На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном про- цессе:  производительности станков по каждому виду ткани, м/ч            14 6 10 8 21 9 15 12 42 18 30 24 ij  ;  себестоимость тканей, руб./м              6 3 2 9 8 9 5 4 2 1 8 7 ij c ;  фонды рабочего времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.
Решение
Пусть переменные ij x – это время, в течение которого i-й станок будет выпускать j-ю ткань. Сведем исходные данные задачи в распределительную таблицу (таблицу 3.3).
Таблица 3.3. Распределительная матрица задачи
Станки Ткани Фонд вре- мени i a , ч В 1 В 2 В 3 В 4 А 1 2 ( ij с ) ( ij  ) 24 1 30 3 18 1 42 90 А 2 3 12 2 15 4 9 1 21 220 А 3 6 8 3 10 5 6 2 14 180 Объем выпус- ка j b , м 1200 900 1800 840 Целевая функция имеет смысл себестоимости выпуска запланированного коли- чества ткани всех видов
Версия: 1.0
стр. 46 из 81
  . min 28 30 30 48 21 36 30 36 42 54 30 48 14 2 6 5 10 3 8 6 21 1 9 4 15 2 12 3 42 1 18 3 30 1 24 2 34 31 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11                                                       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X L Ограничения имеют вид:                                                . 4 , 1 ; 3 , 1 0 , 840 14 21 42 , 1800 6 9 18 , 900 10 15 30 , 1200 8 12 24 м выпуска, объемам по , 180 , 220 , 90 ч времени, фондам по 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 34 31 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij Преобразуем распределительную задачу в транспортную задачу, т.е. представим исходную задачу в виде, когда ткани производит только один станок – базовый и все параметры задачи согласуем с его характеристиками. В качестве базового можно выби- рать любой из станков. Мы выберем станок с максимальной производительностью, т.е. 1 А . Определим производительности станков i  , нормированные относительно произ- водительности базового станка: 1 42 42 18 18 30 30 24 24 1       ; 2 1 42 21 18 9 30 15 24 12 2       ; 3 1 42 14 18 6 30 10 24 18 3       . Таким образом, базовый станок работает в два раза быстрей второго станка и в три раза быстрей третьего. Пересчитаем фонды времени станков: 90 1 90 ' 1    a [ч]; 110 2 1 220 ' 2    a [ч]; 60 3 1 180 ' 3    a [ч]. Из этих величин следует, что тот объем работ, который второй станок выполняет за свой фонд времени 220 ч базовый станок сможет выполнить за 110 ч. Аналогично объем работ, который третий станок выполняет за 180 ч базовый выполнит за 60 ч. Пересчитаем плановое задание: 50 24 1200 b ' 1   [ч]; 30 120 8700 b ' 2   [ч]; 100 18 1800 b ' 3   [ч]; 20 42 840 b ' 4   [ч]. Отсюда следует, что план выпуска первого вида ткани базовый станок выполнит за 50 ч, второго вида – за 30 ч и т.д. Производим пересчёт себестоимостей: 54 18 3 ' 13    c [руб./ч]; 72 24 3 21    c [руб./ч]; 84 42 2 ' 34    c [руб./ч]. В полученной транспортной задаче условие баланса не выполняется, т.к. суммар- ный фонд времени станков больше, чем это необходимо для выполнения плана по выпуску всех тканей (260 ч > 200 ч). Введем фиктивный столбец ф В и запишем все
Версия: 1.0
стр. 47 из 81
пересчитанные параметры распределительной задачи в транспортную матрицу. Фик- тивные тарифы для упрощения приравняем к нулю. Таблица. Транспортная матрица задачи Станки Ткани Фонд вре- мени a  , ч В 1 В 2 В 3 В 4 В Ф А 1 48 30 54 42 0 90 А 2 72 60 72 42 0 110 А 3 144 90 90 84 0 60 Объем выпуска j b  , ч 50 30 100 20 60 Для упрощения вместо оптимального решения рассмотрим опорный план СЗУ X  , найденный методом северо-западного угла.             ф СЗУ X 60 0 0 0 0 0 0 20 90 0 0 0 10 30 50 [ч]. Преобразуем опорный план транспортной задачи СЗУ X  в опорный план распредели- тельной задачи СЗУ X :            ф СЗУ X 180 0 0 0 0 0 0 40 180 0 0 0 10 30 50 [ч]. Таким образом, первый станок должен 50 ч производить ткань первого вида, 30 ч – ткань второго вида и 10 ч – ткань третьего вида. Второй станок должен 180 ч производить ткань третьего вида и 40 ч – ткань четвертого вида. А третий станок будет простаивать, не выпуская ткань вообще, т.к. согласно решению, его загрузка находится в фиктивном столбце ( ф x 180 35  ). Определим, сколько метров ткани каждого вида должны произвести станки:             0 0 0 0 0 0 840 1620 0 0 0 180 900 1200 к СЗУ X [м]. Определим общую себестоимость производства, используя вычисленные значе- ния элементов матрицы к СЗУ X   16020 840 1 1620 4 180 3 900 1 1200 2            X L (руб.).
Задание.
На фабрике эксплуатируются n ткацких станков, которые могут выпус- кать m видов тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:  производительности станков по каждому виду ткани ij  ;  себестоимость тканей ij c ;  фонды рабочего времени станков i a ;  планируемый объем выпуска тканей j b . Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани. Номер Данные задачи Номер Данные задания
Версия: 1.0
стр. 48 из 81
задачи задачи 1 n = 3, m = 4,            24 60 36 12 12 30 18 6 4 10 6 2 ij             2 3 5 4 4 1 2 5 4 6 3 1 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. 9 n = 4, m = 3,                6 3 2 18 9 6 36 18 12 12 6 4 ij                 3 5 1 4 2 6 6 1 4 3 5 2 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180, 100 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800 м. 2 n = 3, m = 4,            8 6 2 10 16 12 4 20 4 3 1 5 ij             4 1 2 2 2 1 6 3 1 3 2 5 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. 10 n = 4, m = 3,                12 3 6 8 2 4 72 18 36 24 6 12 ij                 5 2 4 3 6 1 1 5 3 6 2 4 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180, 100 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800 м. Номер задачи Данные задачи Номер задачи Данные задания 4 n = 3, m = 4,            24 6 36 12 8 2 12 4 12 3 18 6 ij             1 4 1 2 3 2 5 6 1 4 3 6 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый 12 n = 3, m = 4,            8 6 2 10 16 12 4 20 4 3 1 5 ij             4 6 5 3 5 6 1 4 2 1 3 2 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый
Версия: 1.0
стр. 49 из 81
объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. 5 n = 3, m = 4,            2 4 1 3 10 20 5 15 20 40 10 30 ij             4 6 5 3 5 6 1 4 2 1 3 2 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. 13 n = 4, m = 3,                9 6 3 18 12 6 3 2 1 6 4 2 ij                 3 5 1 4 2 6 6 1 4 3 5 2 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180, 100 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800 м.
Версия: 1.0
стр. 50 из 81
Номер задачи Данные задачи Номер задачи Данные задания 7 n = 4, m = 3,                1 2 3 2 4 6 5 10 15 10 20 30 ij                 5 1 6 3 4 6 6 2 4 3 5 1 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180, 100 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800 м. 15 n = 3, m = 4,            2 4 8 6 10 20 40 30 5 10 20 15 ij             1 5 3 4 6 4 4 2 5 1 2 3 ij с  фонды рабоче- го времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м. 8 n = 3, m = 4,            24 4 36 12 6 1 9 3 12 2 18 6 ij             1 2 3 4 6 4 4 5 5 4 5 3 ij с  фонды рабочего времени станков ( i a ): 90, 220, 180 ч;  планируемый объем выпуска тканей ( j b ): 1200, 900, 1800, 840 м.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Транспортная задача – это… 2. Разпределительная задача – это … 3. Выделите суть рассмотренного метода.
Версия: 1.0
стр. 51 из 81

Практические работы №12

Тема: «Решение задачи о путешествии».

Цель работы
– изучить принципы динамического моделирования; закрепить по- лученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Динамическое программирование – это специальный математический метод опти- мизации решения задач, приспособленный к многошаговым операциям. Суть метода заключается в пошаговой оптимизации решения задач.
Пример.
Путешественнику нужно добраться из пункта 1 в пункт 10 через 4 про- межуточных, для каждого из маршрутов затраты на проезд минимальны. Рисунок 6 – Схема возможных путей для путешественника
Решение
n =1 W 1 (8) = C 810 +W 0 (10) = 1+0 = 1 W 1 (8) = 1 W 1 (9) = C 910 +W 0 (10) = 4+0 = 4 W 1 (9) = 4 n=2 W 2 (5) = min(C 58 +W 1 (8) = 7+1 = 8; C 59 +W 1 (9) = 5+4 = 9) W 2 (5) = 8 W 2 (6) = min(C 68 +W 1 (8) = 3+1 = 4; C 69 +W 1 (9) = 4+4 = 8) W 2 (6) = 4 W 2 (7) = min(C 78 +W 1 (8) = 7+1 = 8; C 79 +W 1 (9) = 1+4 = 5) W 2 (7) = 5 n=3 W 3 (2) = min(C 25 +W 2 (5) = 10+8 = 18; C 26 +W 2 (6) = 12+4 = 16) W 3 (2) = 16 W 3 (3) = min(C 35 +W 2 (8) = 5+8 = 13; C 36 +W 2 (6) = 10+4 = 14; C 37 +W 2 (7) = 7+5 = 12) W 3 (3) = 12 W 3 (4) = min(C 46 +W 2 (6) = 7+4 = 11; C 47 +W 2 (7) = 13+5 = 18) W 3 (4) = 11
Версия: 1.0
стр. 52 из 81
n=4 W 4 (1) = min(C 12 +W 3 (2) = 2+16 = 18; C 13 +W 3 (3) = 5+12 = 17; C 14 +W 3 (4) = 1+18 = 19) W 4 (1) = 17 Для каждого n выделяем минимальное значение: W 4 (1) = 17 – W 3 (4) = 11 – W 2 (6) = 4 – W 1 (8) = 1 Обратный ход: Рисунок 7 – Обратный ход
Задание.
Для задачи вашего варианта построить наиболее дешёвый путь следова- ния. Произвести расчёт затрат на это путешествие. Номер варианта Вид маршрута 1 2 3
Версия: 1.0
стр. 53 из 81
Номер варианта Вид маршрута 4 5 6 7 8
Версия: 1.0
стр. 54 из 81
Номер варианта Вид маршрута 9 10 11 12 13
Версия: 1.0
стр. 55 из 81
Номер варианта Вид маршрута 14 15
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Динамическое программирование – это ... 2. Выделите основные принципы динаминеского моделирования.
Практические работы №13

Тема: «Распределение средств между предприятиями».

Цель работы
– изучить принципы динамического моделирования; закрепить по- лученные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть

Пример.
Планируется деятельность трёх промышленных предприятий на очеред- ной год. Начальные средства S 0 = 5 у.е. Средства х, выделяемые k-ому предприятию (k = 1, 2, 3), приносят в конце года прибыль. Функция f(x) задана таблично. Необходимо определить какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей. Функция f(x)
x

f

1

(x)

f

2

(x)

f

3

(x)
1 7 6 3 2 9 9 4 3 11 11 7 4 12 13 11 5 18 15 16
Версия: 1.0
стр. 56 из 81
Суммарная прибыль   max 3 1     k k k x f W Схема решения Решим задачу в виде:       3 3 ; 0 2 3 2 3 max x f S W x x              2 3 2 2 ; 0 1 2 1 2 max S W x f S W x x               1 2 1 1 5 ; 0 0 1 1 max S W x f S W x    Вычислим W 3 ( S 2 )  W 3 (0) = 0  W 3 (1) = 3  W 3 (2) = 4  W 3 (3) = 7  W 3 (4) = 11  W 3 (5) = 16 Вычислим W 2 (S 1 ) S 1 = x 2 +S 2 0: (0, 0) 1: (0, 1) (1, 0) 2: (1, 1) (2, 0) (0, 2) 3: (3, 0) (0, 3) (2, 1) (1, 2) 4: (4, 0) (0, 4) (3, 1) (1, 3) (2, 2) 5: (5, 0) (0, 5) (3, 2) (2, 3) (4, 1) (1, 4) Вычислим W 2 (S 1 ) S 1 = x 2 +S 2 W 2 (0) = max(f 2 (0) + W 3 (0)) = max (0+0) = 0 W 2 (0) = 0 W 2 (1) = max f 2 (0) + W 3 (1) = 0+3 = 3 f 2 (1) + W 3 (0) = 6+0 = 6 W 2 (1) = 6 W 2 (2) = max(6+3; 9+0; 0+4) = max (9, 9, 4) = 9 W 2 (2) = 9 W 2 (3) = max(11+0; 0+7;
9+3
, 6+4) = max (11, 7, 12, 10) = 12
Версия: 1.0
стр. 57 из 81
W 2 (3) = 12 W 2 (4) = max(9+4;
11+3
; 6+7; 13+0; 0+11) = max (13, 14, 13, 13, 11) = 14 W 2 (4) = 14 W 2 (5) = max(11+4; 9+7; 15+0; 0+16; 13+3; 6+11) = max (15, 16, 15, 16, 16, 17) = 17 W 2 (5) = 17 Вычислим W 1 (5) S 0 = x 1 +S 1 5: (5, 0) (0, 5) (4, 1) (1, 4) (3, 2) (2, 3) W1(5) = max(18+0; 0+17; 12+6;
7+14
; 11+9;
9+12
) = 21 Ответ
I

В

II

В
2 1 I 2 3 II 1 1 III
Задание.
Планируется деятельность трёх промышленных предприятий на очеред- ной год. Начальные средства S 0 . Средства х, выделяемые k-ому предприятию (k = 1, 2, 3), приносят в конце года прибыль. Функция f(x) задана таблично. Необходимо опреде- лить какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммар- ная прибыль была наибольшей.
Номера

вариан-

та

S

0

f(x)
1 7
х

1

2

3
1 2 4 5 2 4 6 14 3 5 9 15 4 3 11 23 5 6 13 25 6 8 15 26 7 7 19 29 2 6
х

1

2

3
1 6 4 7 2 11 9 13 3 16 11 17 4 21 14 20 5 22 18 23 6 26 20 24 3 5
х

1

2

3
1 3 5 8 2 5 8 10 3 9 9 11 4 10 10 14
Версия: 1.0
стр. 58 из 81
5 12 13 15
Номера

вариан-

та

S

0

f(x)
4 7
х

1

2

3
1 3 2 7 2 6 4 9 3 9 5 11 4 14 3 12 5 19 6 14 6 23 8 19 7 28 7 22 5 6
х

1

2

3
1 8 9 4 2 12 10 9 3 15 17 11 4 19 21 14 5 22 22 18 6 23 25 20 6 5
х

1

2

3
1 4 8 3 2 6 10 5 3 14 11 9 4 19 14 10 5 20 15 12 7 7
х

1

2

3
1 4 6 2 2 6 7 4 3 9 9 5 4 11 11 3 5 13 12 6 6 15 15 8 7 19 19 7 8 6
х

1

2

3
1 4 6 8 2 9 9 11 3 11 12 15 4 14 16 18 5 18 20 21 6 20 22 23
Версия: 1.0
стр. 59 из 81

Версия: 1.0
стр. 60 из 81

Номера

вариан-

та

S

0

f(x)
9 5
х

1

2

3
1 8 3 7 2 10 5 10 3 11 9 13 4 14 10 17 5 15 12 20 10 7
х

1

2

3
1 2 7 4 2 4 9 6 3 5 11 9 4 3 12 11 5 6 14 13 6 8 19 15 7 7 22 19 11 6
х

1

2

3
1 1 4 8 2 3 9 11 3 5 11 13 4 8 14 15 5 9 18 17 6 10 20 19 12 5
х

1

2

3
1 4 8 3 2 5 10 5 3 6 11 9 4 9 14 10 5 15 15 12 13 7
х

1

2

3
1 7 2 6 2 9 4 7 3 11 5 9 4 12 3 10 5 14 6 12 6 19 8 14 7 22 7 17
Версия: 1.0
стр. 61 из 81

Номера

вариан-

та

S

0

f(x)
14 6
х

1

2

3
1 1 5 4 2 2 8 9 3 5 9 11 4 8 10 14 5 9 13 18 6 13 15 20 15 5
х

1

2

3
1 3 4 8 2 5 5 10 3 9 6 11 4 10 9 14 5 12 15 15
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Суть рассмотренного метода заключается в … 2. Динамическое моделирование – это …
Практические работы №14

Тема: «Решение задач нелинейного программирования».

Цель работы
– изучить принцип поиска условных экстремумов; закрепить полу- ченные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Рассмотрим задачу:         m i b x x x g x x x f i n n , 1 ,..., , min max ,..., , 2 1 2 1    где функции f и g i непрерывные и имеют частные производные по меньшей мере второго порядка. Составим функцию Лагранжа:              m i n i i n m n x x x g b x x x f x x x L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ,..., , ,..., , ,..., , , ,..., ,    , где m    ,..., , 2 1 – множители Лагранжа. Путь в точке Х* функция   m n x x x L    ,..., , , ,..., , 2 1 2 1 имеет условный локальный экстремум, тогда необходимое условие запишется в виде:
Версия: 1.0
стр. 62 из 81
                          0 ,..., , 0 2 1 1 n i i i j i m i i j j x x x g b L x g x f x L   Алгоритм решения задачи методом множителей Лагранжа: 1. Составить функцию Лагранжа   m n x x x L    ,..., , , ,..., , 2 1 2 1 . 2. Найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным   m n x x x    ,..., , , ,..., , 2 1 2 1 и приравнять их нулю. Так будет получена система уравнений, которая состоит из n+m уравнений. Решить полученную систему и найти стационар- ные точки функции Лагранжа. 3. Из стационарных точек выбрать те, в которых функции f(x) имеет условные ло- кальные экстремумы и этот выбор может осуществляться с применением достаточных условий локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума функции двух переменных z = f(x,y) в точке (x 0 ,y 0 ) определяется: 1. Находим коэффициенты:   2 0 0 2 , x y x f A    ,   y x y x f B     0 0 2 , ,   2 0 0 2 , y y x f C    . 2. Найти значение – 2 B C A     . 3. Если 0   , то в точке (x 0 ,y 0 ) достигается: a. максимум функции f, при A<0 или C<0; b. минимум функции f, при A>0 или C>0. 4. Если 0   , то экстремумов нет.
Пример.
По плану производства продукции предприятия необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способа- ми. При производстве x 1 изделий первым способом затраты . 4 2 1 1 руб x x    , а при изго- товлении x 2 изделий вторым способом они составляют . 8 2 2 2 руб x x    Определить сколько изделий каждого из способов следует изготовить так, чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.
Решение:
Математическая модель:              0 , 180 min 8 4 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x f Метод множителей Лагранжа: 1. Строим функцию Лагранжа:   2 1 2 2 2 2 1 1 180 8 4 x x x x x x L           .
Версия: 1.0
стр. 63 из 81
2. Находим частные производные:                                               0 180 0 2 8 0 2 4 0 180 0 2 8 0 2 4 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x x x L x x L x x L      . Отнимем от второго уравнения системы первое:            0 180 0 2 2 4 2 1 1 2 x x x x . Решим систему и получим:      89 91 2 1 x x . Получили стационарную точку – (91, 89). 3. Проверяем до ст аточное у с л о в и е :   2 89 , 91 2 1 2     x f A ,   0 89 , 91 2 1 2      x x f B ,   2 89 , 91 2 2 2     x f C . 4. Находим 4 0 2 2 2 2           B C A . Поскольку 0   и A>0 (C>0), то точка (91, 89) – точка минимума f min = 17278.
Задание.
Найти условный экстремум функции или установить его отсутствие, ис- пользуя метод множителей Лагранжа. Задание определяется по заданному варианту. Первая цифра варианта задаёт вид целевой функции, вторая – вид ограничений. Первая цифра варианта 0 1 2 3 Вид целевой функции 2 2 2 1 x x f   2 2 2 1 x x f    2 2 2 1 2 x x f    2 2 2 1 x x f   Вторая цифра варианта 0 1 2 3 Вид ограни- чений 5 2 1   x x 5 2 1   x x 4 2 2 1    x x 3 2 2 1    x x Вторая цифра варианта 4 5 6 7 Вид органи- ческий 9 5 2 1    x x 6 2 2 1     x x 7 3 2 1    x x 8 2 1    x x Вторая цифра варианта 8 9
Версия: 1.0
стр. 64 из 81
Вид ограни- чений 2 3 2 1     x x 5 2 1    x x
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Версия: 1.0
стр. 65 из 81

Практические работы №15

Тема: «Построение сетевой модели».

Цель работы
– изучить принцип построения сетевых моделей; закрепить полу- ченные знания оптимизации данного процесса.
Теоретическая часть
Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определённого ре- зультата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяжённость во време- ни. Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие.
Пример.
Постройте сетевую модель программы опроса общественного мнения, которая включает разработку (A; 1 день) и распечатку анкет (B; 0,5 дня), прием на ра- боту (C; 2 дня) и обучение (D; 2 дня) персонала, выбор опрашиваемых лиц (E; 2 дня), рассылку им анкет (F; 1 день) и анализ полученных данных (G; 5 дней).
Решение
Из условия задачи нам известно содержание работ, но явно не указаны взаимосвя- зи между работами. Поэтому для их установления необходимо проанализировать смысл каждой конкретной работы и выяснить, какие из остальных работ должны ей непосредственно предшествовать. Исходной работой, начинающей сетевой график, в данном случае является "прием на работу" (С), поскольку все остальные работы долж- ны выполняться уже принятыми на работу сотрудниками. Перед выполнением всех ра- бот по опросу общественного мнения сотрудников необходимо обучить персонал (D). Перед тем как разослать анкеты (F), их надо разработать (A), распечатать (B) и выбрать опрашиваемых лиц (E), причем работу с анкетами и выбор лиц можно выполнять од- новременно. Завершающей работой проекта является анализ полученных данных (G), который нельзя выполнить без предварительной рассылки анкет (F). В результате этих рассуждений построим сетевую модель и пронумеруем события модели. C D E F G A B 1 2 3 4 5 6 7
Задание.
По данным варианта построить сетевую модель.
Вариант 1.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..М, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 5 B - 10 C - 1 D B 8 E B 10 F B 9 G F 3
Версия: 1.0
стр. 66 из 81
Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени H F 4 I C, G 5 J C, G 4 K A, D 7 L A, D 3 M K, E, H, I 8
Вариант 2.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..L, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 3 B A 6 C B 1 D B 2 E D 11 F C, E 5 G F 4 H D 9 I D 7 J H, I 6 K G, J 3 L K 7
Вариант 3.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..P, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B A 4 C A 4 D C 7 E A 1 F E 2 G F 2 H A 2 I H 2 J A 7 K J 7 L D, G, I, J 7 M L 1 N M 1 O N 1 P O 1
Версия: 1.0
стр. 67 из 81

Вариант 4.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..М, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 1 B - 15 C - 3 D C 8 E - 7 F C 10 G A, D 3 H A, D 10 I G, B 22 J G, B 10 K F, J 12 L E, F, J 5 M E, L 7
Вариант 5.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..H, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B - 10 C - 8 D A, B 4 E B, C 3 F C 1 G D, E 9 H F, G 7
Вариант 6.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..R, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 1 B - 3 C - 2 D A 4 E B 4 F B 5 G C, E 1 H C, E 3 I C, E 2 J D, F 4 K F 6
Версия: 1.0
стр. 68 из 81
Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени L H, J 3 M H, J 2 N I, K, L 7 O I, K, L 5 P N 1 Q O, P 6 R N 1
Вариант 7.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..O, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 4 B - 6 C A 5 D A 1 E B 2 F B 1 G C, E 7 H C, E 8 I F 1 J F 5 K D, J 1 L D, G 6 M J, K 3 N J, K 6 O H, L, M 3
Вариант 8.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..М, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 5 B - 2 C - 4 D A 4 E A 2 F B 1 G B 8 H C 3 I E, F 7 J G 6 K H 9 L H 8 M I, K 10
Версия: 1.0
стр. 69 из 81

Вариант 9.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..N, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 1 B - 3 C - 5 D A 4 E B 3 F B 1 G C 2 H C 4 I D, E 2 J D, E 5 K I 4 L F, G 5 M H, L 3 N J, M 1
Вариант 10.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..O, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B - 4 C B 5 D C 6 E A, D 4 F C 2 G F 6 H F 2 I B 3 J B 2 K I 3 L H, I 2 M E, G 4 N L, M 3 O J, K 2
Вариант 11.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..N, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B - 3 C A 2
Версия: 1.0
стр. 70 из 81
Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени D A 4 E B 4 F B 5 G E 3 H F, G, I 2 I D 4 J F, G, I 1 K D 5 L C, K 3 M J 4 N H 2
Вариант

12.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..М, которая отображает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B - 3 C - 3 D B 4 E A 4 F B 5 G C, D 3 H G 2 I G 1 J G 2 K E, F, H 3 L I 4 M J, K, L 5
Вариант

13.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..М, которая отображает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 4 B - 3 C - 2 D A 4 E C 2 F B, D, E 3 G C 4 H F 4 I F 3 J G, H 4
Версия: 1.0
стр. 71 из 81
Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени K G, H 3 L I, J 2 M K, L 1
Вариант 14.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..N, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 5 B - 3 C - 4 D A 1 E C 3 F C 7 G A 3 H B, D, E 1 I G 2 J G 6 K G 4 L F, H, I 4 M J, L 3 N K, M 4
Вариант 15.
Постройте сетевую модель, включающую работы A..U, которая отоб- ражает упорядочение работ, отражённое в таблице. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени A - 2 B A 1 C A 2 D A 1 E C, D 3 F E 7 G D 1 H G 1 I H 6 J F, I 8 K F, I 2 L J, K 4 M L 4 N L 4 O D 4
Версия: 1.0
стр. 72 из 81
P B, M, N, O 0.2 Q P 1 Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед. времени R Q 2 S Q 2 T S 4 U I 4
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Работа – это … 2. Событие – это …
Практические работы №16

Тема: «График привязки».

Цель работы
– изучить; закрепить полученные знания оптимизации данного про- цесса.
Теоретическая часть
График привязки сетевой модели – это графический способ нахождения критиче- ских путей и расчёта сетевых моделей. Способ определения критического пути на графике привязки: 1. Найти на графике привязки и выписать работу (i,j), которая заканчивается позже всех остальных. Это будет последняя работа критического пути. 2. Из всех работ сети (k,i), конечное событие которой i совпадает с начальным со- бытием i работы (i,j), найденной в пункте 1, выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (i,j). 3. Из всех работ сети (l,k), конечное событие которой k совпадает с начальным со- бытием работы (k,i), найденной в пункте 2, выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (k,i). 4. Продолжить пункт 3 до тех пор пока не будет найдена исходная работа сети, то есть начинающаяся в нулевой момент времени. Следует заметить, что если в сетевой модели несколько критических путей, то, выполняя вышеописанные действия, можно обнаружить несколько работ, удовлетворя- ющих сформулированным требованиям. В таком случае необходимо продолжить поиск по каждой из таких работ в отдельности. В сложных сетевых моделях подобные раз- ветвления могут привести к большим затратам времени на поиск критических путей.
Пример.
По данным о кодах и длительностях работ в днях постройте график при - вязки сетевой модели, определите критические пути. Таблица . Исходные данные примера 12 (i,j) 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 3,6 3,7 4,5 4,6 5,7 6,7
Версия: 1.0
стр. 73 из 81
t(i,j), дни 3 3 2 10 2 5 9 10 6 1 4
Версия: 1.0
стр. 74 из 81

Решение
Строим график, по оси абсцисс откладывают время в днях, начиная с 0; по оси ор- динат откладываем код работы. Рисунок 7 – График привязки При построении графика необходимо обращать внимание на соответствие конеч- ных и начальных работ, например работа (4,5) должна начаться сразу после работы (1,4), а не после работы (1,5). Определяем критический путь: 1. Поиск начинаем справа налево, т.е. с работ завершающих проект. На графике привязки две работы (6,7) и (3,7), которые заканчиваются позже остальных в заверша- ющем событии 7. Записываем работы определённые как критические справа налево: L кр1 = … (6,7) и L кр2 = … (3,7). 2. Найдём критическую работу из L кр1 , предшествующую (6,7). Код работы дол- жен оканчиваться на 6. Таких работ две – (4,6) и (3,6). Но только одна из них, работа (3,6) по времени своего окончания вплотную «примыкает» на графике к началу работы ( 6 , 7 ) . Д о п и ш е м с л е в а н а й д е н н у ю к р и т и ч е с к у ю р а б о т у ( 3 , 6 ) : L кр1 = … (3,6), (6,7). 3. Найдём критическую работу из L кр1 , предшествующую (3,6). Код этой работы должен оканчиваться на 3. Таких работ две – (2,,3) и (1,3). Но только одна из них, рабо- та (2,3) по времени своего окончания вплотную «примыкает» на графике привязки к н ач а л у р а б о т ы ( 3 , 6 ) . Д о п и ш е м с л е в а н а й д е н н у ю р а б о т у ( 2 , 3 ) : L кр1 = … (2,3), (3,6), (6,7). 4. Найдём критическую работу из L кр1 , предшествующую (2,3). Код этой работы должен оканчиваться на 2. Такая работа одна – (1,2). Допишем слева найденную крити- ческую работу (1,2). Допишем слева найденную критическую работы (1,2): L кр1 = (1,2), (2,3), (3,6), (6,7). 5. Определили критический путь Lкр1, в другой форме записи этот путь: L кр1 = 1, 2, 3, 6, 7. 6. Аналогично определим второй критический путь, и он будет выглядеть: L кр2 = 1, 2, 3, 7.
Задание.
Для сетевой модели, построенной в практической работе № 15, по- строить график привязки. Определить критический путь.
Версия: 1.0
стр. 75 из 81

Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. Сетевое моделирование – это … 2. Составить алгоритм построения сетевой модели.
Практические работы №17

Тема: «Построение таблицы расчёта сетевой модели».

Цель работы
– изучить; закрепить полученные знания оптимизации данного про- цесса.
Теоретическая часть
Показатели сетевой модели Показатели работы Формула Ранний срок начала t рн (i, j) = t р (i) Ранний срок окончания t ро (i, j) = t р (i) + t(i, j) Поздний срок начала t по (i, j) = t п (j) Поздний срок окончания t пн (i, j) = t п (j) – t(i, j) Полный резерв времени R п (i, j) = t п (j) – t p (i) – t(i, j) Частный резерв времени первого вида R l (i, j) = t п (j) – t п (i) – t(i, j) или R l (i, j) = R п (i, j) – R(i) Частный резерв времени второго вида (свободный) R c (i, j) = t p (j) – t p (i) – t(i, j) или R c (i, j) = R п (i, j) – R(j) Независимый резерв R н (i, j) = max {0; t p (j) – t п (i) – t(i, j)} = max{0; R п (i, j) – R(i) – R(j)}
Пример.
Провести анализ сетевой модели, представленной на рисунке 8. Пере- чень работ и их продолжительность укажем во второй и третьей графах таблицы, по- следовательно записывая во второй графе работы, начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т. д. В первой графе поставим количество работ К пр , непосредственно предшествую- щих событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Для работ, начинающих- ся с номера 1, предшествующих работ нет. Для k-й работы просматриваются все верх- ние строки второй графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается в строки, начинающиеся с номера k. Например, для работы (5, 8) в первой графе поставим цифру 3, так как во второй графе на номер 5 оканчиваются три работы: (2, 5), (3, 5) и (4, 5).
Версия: 1.0
стр. 76 из 81
Рисунок 8 – Сетевая модель Заполнение таблицы начинается с расчета раннего срока начала работ. Для работ, имеющих число ноль в первой графе, в 4-ю графу заносятся нули, а их значение в 5-й графе получается в результате суммирования чисел 3-й и 4-й граф. В рассматриваемом примере таких работ только одна – (1, 2), поэтому в 4-й графе в соответствующей ей строке проставим 0, а в 5-й графе 0 + 5 = 5. Для заполнения следующих строк 4-й графы, то есть строк, начинающихся с номера 2, просматриваются заполненные строки 5-й графы, содержащие работы, которые окан- чиваются на этот номер, максимальное значение переносится в 4-ю графу «обрабаты- ваемых» строк. В данном случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем можно судить по 1-й графе. Число 6 из 5-й графы переносим в 4-ю графу для всех работ, начинающихся с номера 2, то есть в три последующие строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2, 5). Далее для каждой из этих работ путем суммирования значений 3-й и 4-й граф сформируем значе- ние 5-й графы: t ро (2, 3) = 6+5 =11, t ро (2, 4) = 4+5 =9, t ро (2, 5) = 3+5 =8. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы. Шестая и седьмая графы заполняются «обратным ходом», то есть снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из 5-й графы выбирается максимальная величина, которая записывается в 7-ю графу по всем строкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу t п (N) = t p (N)). В нашем случае t(N) = 33. Затем для этих строк находится содержимое 6-й графы как разность значений 7-й и 3-й граф. Имеем: t ро (10, 11) = 33 – 8 = 25. Далее просматри- ваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое непосредственно предше- ствует завершающему событию (10). Для определения значений 7-й графы этих строк (работы (5, 10), (7, 10), (8, 10), (9, 10)) просматриваются все строки 6-й графы, лежа- щие ниже и начинающиеся с номера 10. Таблица. Расчет основных показателей сетевой модели К пр (i, j) t(i, j) t рн (i, j)=t р (i) t ро (i, j) t пн (i, j) t по (i, j)=t п (j) R п K н
1

2

3

4

5=4+3

6=7–3

7

8

9
0 (1, 2) 5 0 5 0 5 0 1 1 (2, 3) 6 5 11 9 15 4 0,8 1 (2, 4) 4 5 9 5 9 0 1 1 (2, 5) 3 5 8 12 15 7 0,65 1 (3, 5) 0 11 11 15 15 4 0,8 1 (3, 7) 2 11 13 17 19 6 0,7
Версия: 1.0
стр. 77 из 81

1

2

3

4

5=4+3

6=7–3

7

8

9
1 (4, 5) 6 9 15 9 15 0 1 1 (4, 6) 8 9 17 19 27 10 0,58 1 (4, 9) 7 9 16 15 22 6 0,54 3 (5, 8) 5 15 20 15 20 0 1 3 (5, 10) 9 15 24 16 25 1 0,95 1 (6, 11) 6 17 23 27 33 10 0,58 1 (7, 10) 6 13 19 19 25 6 0,7 1 (8, 9) 2 20 22 20 22 0 1 1 (8, 10) 4 20 24 21 25 1 0,93 2 (9, 10) 3 22 25 22 25 0 1 4 (10, 11) 8 25 33 25 33 0 1 В 6-й графе среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в 7-ю графу по обрабатываемым строкам. В нашем случае она одна – (10, 11), поэтому заносим во все строки указанных работ число 25. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки 6-й и 7-й граф. Содержимое 8-й графы равно разности значений 6-й и 4-й граф или 7-й и 5-й граф. Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, принадлежа- щие критическому пути, получаем, что критическим является путь L кр = (1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11), t кр = 33 дня.
Задание.
Рассчитать сетевую модель, построенную в практической работе №15. Определить критический путь. Вычисления провести с помощью табоичного редакто- ра.
Содержание отчёта:
1. Номер, тема и цель практической работы. 2. Текст задания. 3. Процесс построения математической модели с пояснениями.
Контрольные вопросы:
1. График привязки сетевой модели – это … 2. Составьте алгоритм постоения сетевого графика.
Версия: 1.0
стр. 78 из 81
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Морозов, В.В. Исследование операций [Текст]: Учебное пособие для ВУЗов. / В.В. Морозов, А.А., Васин, П.С. Краснощёков. – М.: Академия, 2008 г. 2. Уокенбах, Дж. Microsoft Office Excel 2007 [Текст] / Дж. Уокенбах– М.: ООО «И.Д.Вильямс», 2008. –928 с.
Версия: 1.0
стр. 79 из 81
Приложение А Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П.Романова ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ по МДК 01.05: «Математическое моделиро- вание» ПГТКО.230115.ПКС__.ПР Руководитель С.Г. Устимова Разработал М.М. Михайлов 20__
Версия: 1.0
стр. 80 из 81
Приложение Б Текст работы должен придерживаться следующих параметров:  размер основного шрифта – 12 пт;  размер шрифта заголовка – 14 пт;  интервал междустрочный – одинарный;  поля: левое – 2 см; верхнее – 1 см; правое – 1 см; нижнее – 1.5 см;  тип шрифта – Times New Roman;
Версия: 1.0
стр. 81 из 81