Дифференцируемый подход в изучении геометрии (на примере одной из тем планиметрии) В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух "полюсах", весьма велик. В настоящее время опубликовано достаточно много работ по дифференцированному обучению. К сожалению, среди них не так уж много работ, связанных с обучением геометрии. Поэтому передо мной, как перед учителем математики, встали вопросы: как осуществлять дифференцированный текущий и тематический контроль на уроках геометрии? Какие задачи предлагать учащимся при контроле знаний? Какие именно задачи проверяют обязательный уровень знаний, а какие – продвинутый? И т. д. Все эти вопросы натолкнули на мысль о разработке дифференцированных контрольных работ по геометрии (на примере темы «параллелограмм»). Прежде всего, рассмотрим свойства параллелограмма и задачи на применение этих свойств. Учитель попадает в трудное положение, так как параллелограмм хотя и имеет конечное число свойств, но их достаточно много. Перечислим некоторые из них по мере усложнения задач. 1. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. 4. Сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 0 . 5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Если работать по учебникам А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, то свойства 2 и 3 выделены в теоретическом материале жирным шрифтом. Свойство пересечения диагоналей параллелограмма у А.В. Погорелова дано в более сложном виде, поэтому учитель в зависимости от индивидуальных особенностей класса может требовать или не требовать от учащихся умения его доказывать. Остальные свойства не выделены ни в одном из этих учебников. А ведь среди них есть такие, без понимания которых невозможно дальнейшее продвижение вперед. Например, свойство 4. В практической работе только опытные учителя дают учащимся представление о том, что параллелограмм имеет большее количество свойств, чем предложено в учебниках. Проанализировав задачи на применение свойств параллелограмма, распределим их таким образом, что задачи групп с первой по пятую направлены на применение соответствующих свойств, предложенных выше. В шестую группу входят комбинированные задачи (на два-три свойства) и задачи, в которых выражены свойства параллелограмма, не предложенные в учебниках ни в теоретическом материале, ни в задача. Причем задачи на прямое применение свойств и соответствующие обязательным результатам обучения обозначены значком – 0 , а задачи, требующие дополнительных основных знаний из изученного ранее и также являющимися обязательными результатами обучения, - * . Свойства, выраженные в задачах, выделены курсивом. Очень жаль, что в планируемых результатах обучения нет разделения задач на прямое применение свойств и задач, требующих дополнительных элементарных знаний. 1. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
1 * В параллелограмме АВСД перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АД, делит ее пополам. Докажите, что: а) треугольник АВД – равнобедренный; б) треугольник ВДС – равнобедренный. 2. Четырехугольник АВСД делится диагональю АС на два равных треугольника. Будет ли АВСД всегда параллелограммом? 2. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 1 0 Расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ. 2 0 АВСД – параллелограмм. О – точка пересечения диагоналей. а) диагональ АС= 12 см. чему равен отрезок АО? б) Отрезок ВО = 3 см. Чему равна диагональ ВД? 3 * Сторона АВ параллелограмма АВСД равна 7 см, диагонали АС и ВД равны 6 и 10 см, О - точка пересечения диагоналей. Определите периметр треугольника АОВ. 4 * В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику СОД. 5 * АВСД – параллелограмм. Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ВО является медианой треугольника АВС. 6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок прямой, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. 7. В параллелограмме АВСД через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и АД отрезки: ВЕ = 2 см (Е принадлежит ВС) и АК = 2,8 см (к принадлежит АД). Найдите стороны ВС и АД. 3. Докажите, что в параллелограмме противолежащие стороны равны. 1 0 В параллелограмме АВСД АВ = 10 см, ВС = 15 см. Чему равны сторона АД и СД? Объясните ответ. 2 * Стороны параллелограмма равны 3 и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма? 3 * Периметр параллелограмма равен 18 см. Чему равна сумма двух соседних сторон? 4 * Периметр параллелограмма АВСД равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона равна 10 см; б) одна сторона на 3 см больше другой; в)разность двух сторон равна 7 см; г) одна сторона в 2 раза больше другой; д) две стороны относятся как 3:5. 5. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. а) Докажите, что периметр получившегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. б) Найдите периметр получившегося четырехугольника, если боковая сторона равнобедренного треугольника 5 м. 4. Докажите, что в параллелограмме сумма величин углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 0 . 1 0 Докажите, что сумма углов параллелограмма равна 360 0 . 2 * Могут ли углы треугольника быть равными каким- либо трем углам параллелограмма? 3. Докажите, что в параллелограмме противолежащие углы равны. 4 0 Может ли только один угол параллелограмма быть прямым? 5 0 Может ли один угол параллелограмма быть равным 40 0 , а другой – 50 0 ? 6 * Найдите углы параллелограмма АВСД, если: а) ∟А = 84 0 ; б) ∟А - ∟В = 55 0 ; в) ∟А + ∟С = 142 0 ; г) ∟А = 2 ∟В; д) ∟САД = 16 0 , ∟АСВ = 37 0 ; е) углы прилежащие к одной стороне параллелограмма, относятся как 4 : 5. 7 * Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25 0 и 35 0 . Найдите углы параллелограмма. 8. Найдите углы параллелограмма, если: а) сумма двух из них равна: 100 0 ; 160 0 ; 180 0 ; б) разность двух из них равна70 0 ; 110 0 ; 140 0 . 5. Докажите, что биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
1 * В параллелограмме проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. а) Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АД = 15 см; б) Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ = 7 см, ЕС = 14 см. 2 0 Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, лежит на противоположной стороне. Какому условию удовлетворяют стороны параллелограмма? 3 Стороны параллелограмма равны 10 и 3 см. Биссектрис двух углов, прилежащих к боковой стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки. 4. Периметр параллелограмма АВСД равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. 6. 1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на которых лежат его стороны, - величина постоянная для данного параллелограмма. 2. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разбивает его на два равных четырехугольника. 3. Докажите, что биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны. 4. Докажите, что в параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны. 5. Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ. 6. Докажите, что противоположные параллельные стороны параллелограмма отсекают на прямой, параллельной его диагонали, равные отрезки. 7. Докажите, что в параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. 8. Середины (точки Е и К) параллельных сторон ВС и АД параллелограмма АВСД соединены с вершинами Д и В. Докажите, что полученные отрезки ВК и ДЕ делят диагональ АС на три равные части. 9. В параллелограмме АВСД перпендикуляр опущенный из вершины В на сторону АД, делит ее пополам. Найдите диагональ ВД, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 см, а периметр треугольника АВД равен 3 см. 10. В параллелограмме АВСД проведен перпендикуляр ВК к прямой АД, причем точка К лежит на стороне АД. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что АК = 3 см, КД = 5 см, ∟АВК = 30 0 . 11. Параллелограмм, периметр которого 50 см, разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность периметров двух из них равна 5 см. Найдите стороны параллелограмма. Перейдем к рассмотрению признаков параллелограмма. 1. Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике каждая диагональ делит его на два равных треугольника, то этот четырехугольник – параллелограмм. 5. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
В учебнике А.В. Погорелова выделен только признак 1, признак 2 предложен в виде задачи, другие вообще не рассматриваются. В учебнике Л. С. Атанасяна выделены признаки 1, 2, 3. Так же как и при рассмотрении свойств на применение признаков с 1 по 3 предлагаются группы задач. 1. Задачи на применение определения параллелограмма. 1 0 Дан треугольник АВС. Из вершин В и С проведены прямые, параллельные сторонам АС и АВ и пересекающиеся в точке Д. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 2 0 Через точку С, лежащую во внутренней области угла МАК, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие их в точках В и Д. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 3 * Докажите, что если в четырехугольнике АВСД ∟А + ∟Д = 180 0 и ВС параллельна АД, то этот четырехугольник – параллелограмм. 4 * В четырехугольнике АВСД диагональ АС разбивает углы А и С так, что ∟ВАС = ∟АСД, ∟САД = ∟АСВ. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 5 * В параллелограмме АВСД ВК параллельна ЕД, К принадлежит АД, Е принадлежит ВС. Докажите, что четырехугольник ВКДЕ – параллелограмм. 6 * В параллелограмме АВСД ВК перпендикулярно СА, ДЕ перпендикулярно АС, К принадлежит АД, Е принадлежит ВС. Докажите, что четырехугольник ВКДЕ – параллелограмм. 7 В четырехугольнике АВСД диагональ АС образует со сторонами АВ и СД равные углы и АВ = СД. Докажите, что этот четырехугольник – параллелограмм. 2. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что этот четырехугольник – параллелограмм. 1 0 ВМ – медиана треугольника АВС. На ее продолжении за точку М отложен отрезок МД, равный ВМ. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 2 0 Стороны ВО и ОА треугольника АВО продолжены за точку О так, что АО = ОС, Во = ОД. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 3 * АС и ВД – диаметры двух окружностей с общим центром О. Докажите, что четырехугольник АВСД - параллелограмм. 4 * Диагонали параллелограмма АВСД пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А 1 В 1 С 1 Д 1 , вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОД - параллелограмм. 5 * На диагонали ВД параллелограмма АВСД отмечены две точки Р и К так, что РВ = КД. Докажите, что четырехугольник АРСК - параллелограмм. 6 Докажите, что если из четырех вершин параллелограмма опустить перпендикуляры на диагонали и соединить их основания отрезками, то полученный четырехугольник - параллелограмм. 3. Докажите, что если в четырехугольнике АВСД АВ = СД и АВ параллельна СД, то этот четырехугольник – параллелограмм. 1 0 Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие равны. Можно ли утверждать, что этот четырехугольник – параллелограмм. 2 * На сторонах АД и ВС параллелограмма АВСД отложены равные отрезки АЕ и СК. Докажите, что четырехугольник АКСЕ - параллелограмм. 3 * В параллелограмме АВСД точка Е – середина стороны ВС, а точка К – середина стороны АД. Докажите, что четырехугольник АКСЕ - параллелограмм. 4 * В параллелограмме АВСД продолжили сторону АВ за точку В на отрезок ВЕ = АВ, сторону СД – за точку Д на отрезок ДК = СД и провели отрезки ЕС и АК. Докажите, что четырехугольник АЕСК - параллелограмм.
5 * В параллелограмме АВСД продолжили сторону АВ за точку В на отрезок ВЕ = АВ и провели отрезки ЕС и ВД. Докажите, что четырехугольник ВЕСД - параллелограмм. 4. Докажите, что если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 1 0 В четырехугольнике МНРК МН = РК, НР = МК. Докажите, что этот четырехугольник – параллелограмм. 2 * Четырехугольник АВСД – параллелограмм. АМ = ¼ АВ, ВН = ¼ ВС, СР = ¼ СД, ДК = ¼ АД. Докажите, что четырехугольник МНРК - параллелограмм. 3 На сторонах АВ, ВС, СД и ДА четырехугольника АВСД отмечены соответственно точки М, Н, Р и Е так, что АМ = СР, ВН = ДЕ, ВМ = ДР, НС = ЕА. Докажите, что четырехугольники АВСД и МНРЕ - параллелограммы. Тематическая проверка знаний проводится в виде самостоятельной работы. Предлагаю работу в двух вариантах. Первая задача направлена на проверку знаний, умений и навыков обязательного уровня обучения, а вторая – продвинутого. Выполнение первого задания каждой задачи помогает решить второе. 1 вариант 2 вариант 1 0 В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику СОД. б) Известно, что АС = 10 см, ВД = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ. 1 0 В четырехугольнике АВСД диагональ АС разбивает его на два равных треугольника ВАС и ДСА. АВ параллельна ДС. а) Докажите, что данный четырехугольник - параллелограмм. б) Известно, что ∟ВАС = 30 0 , ∟ В СА = 4 0 0 . Определите углы параллелограмма. 2. Один из углов параллелограмма равен 45 0 . Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Найдите: а) длину другой стороны, если периметр параллелограмма равен 27,4 см; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота; в) углы, которые о б р а з у е т д и а г о н а л ь с о с т о р о н а м и параллелограмма. 2 . И з в е р ш и н ы е г о т у п о г о у г л а параллелограмм АВСД, равного 120 0 , п р о в ед е н а в ы с от а , кот о р а я д е л и т противолежащую сторону пополам. а) Д о к а ж и т е , ч т о в ы с о т а я в л я е т с я бисс ект рисой угла, о б р а з о в а н н о г о диагональю и стороной параллелограмма. б) найдите периметр параллелограмма и длину меньшей диагонали. В результате проведения самостоятельной работы учитель может судить о достигнутых знаниях учащихся по теме, что позволит оптимально организовать дальнейшую работу в классе.