Министерство образования и науки Хабаровского края

Краевое государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ХАБАРОВСКИЙ АВТОДОРОЖНЫЙ ТЕХНИКУМ»

(КГБ ПОУ ХАДТ)

Методические указания и задания для выполнения

расчетно-проектировочной работы на тему

«Центральное растяжение и сжатие бруса» по дисциплине

«ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

для студентов специальностей

23.02.04
«Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования»
23.02.02
«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»
08.02.05
«Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов» 2015
БББ 30.121 я723 М54 Техническая механика: Методические указания и задания по выполнению расчетно-проектировочной работы для студентов ПОУ технических специальностей/ Сост. Г.В.Мельникова – Хабаровск: Изд-во Хабаровского автодорожного техникума, 2015. –
26
с. Методические указания составлены для студентов специальностей: 08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», 23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно- транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования» и 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта». Содержат примеры решения задач, приведены варианты расчетно-проектировочных работ и методические указания по их применению. Печатается в соответствии с решениями ЦК специальности 08.02.05 и методического совета очного отделения КГБ ПОУ «ХАДТ». © Г.В. Мельникова © Издательство ХАДТ, 2015

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ.
Расчетно-проектировочная работа выполняется на листах формата А-4. На титульном листе указывается номер задания и варианта, наименование задания, фамилия и инициалы студента, специальность, номер группы, дата выполнения и фамилия преподавателя. На первой странице объяснительной записки вычерчивается схема задания и записываются исходные данные. Расчеты должны иметь краткие пояснения, точность расчетов – до трех значащих цифр. Расчетно-проектировочное задание состоит из двух задач: задача №1 – «Центральное растяжение и сжатие статически определимого бруса переменного сечения» и задача №2 – «Расчет статически неопределимой стержневой системы». 2

Центральное растяжение и сжатие.
Центральное растяжение и сжатие имеет место в том случае, когда все действующие на брус внешние нагрузки (включая опорные реакции в связях) или их равнодействующие направлены вдоль оси бруса. При этом в поперечных сечениях бруса действуют только нормальные напряжения σ, одинаковые во всех точках сечения. Они приводятся к одному внутреннему усилию – продольной силе N, которая при известных внешних нагрузках и опорных реакциях может быть определена статически с помощью метода сечений. В качестве примера применим этот метод для расчёта бруса, находящегося в равновесии под действиям произвольных осевых нагрузок. Ввиду того, что при осевом растяжении – сжатии нормальные напряжения распределены равномерно по ширине сечения, величину их можно определить из соотношения σ = N/А. Рассмотрим равновесие левой части бруса ΣF z = 0: F 1 – qa + N = 0 отсюда N = qa – F 1 Таким образом, продольная сила в любом сечении бруса определяется как сумма проекций всех нагрузок, приложенных к одной из частей бруса, 3
на его ось. Будем считать положительной продольную силу, вызывающую растяжение бруса, и отрицательной силу, вызывающую сжатие. Установим дифференциальное соотношение между продольной силой N и интенсивностью осевой распределенной нагрузки q(z) . Для этого вырежем на участке бруса с распределенной нагрузкой элемент dz и рассмотрим его равновесие. Действие отброшенных частей бруса заменим продольными силами, которые должны отличаться друг от друга на величину приращения продольной силы на отрезке dz; это приращение заменим дифференциалом dN. В виду малости элемента dz считаем распределенную по его длине нагрузку постоянной. Составим уравнение равновесия вырезанного элемента ΣF z =0: – N + qdz + (N + dN)=0 dN/dz = – q(z). Производная от продольной силы равна интенсивности распределенной осевой нагрузки. Это соотношение позволяет установить характер изменения продольной силы N в зависимости от вида распределенной 4
нагрузки q(z). Например, на участках бруса, свободных от распределенной нагрузки, продольная сила постоянна, а на участках, где q=const, она изменяется по линейному закону. В пределах упругости изменение длины стержня (или его части) рассчитывается по закону Гука: Δl = Nl EA (¿) где Δl – абсолютное удлинение (укорочение) стержня; l – длина части стержня, для которого определяется перемещение; Е – модуль упругости материала стержня. Формула (*) справедлива только для той части стержня, где сохраняется постоянство продольной силы, площади сечения и модуля упругости. Если же внешние силы будут равномерно распределены по длине стержня или будут иметь ещё более сложный закон распределения, то перемещение стержня следует определять по интегральной зависимости: Δl = ∫ 0 l Nl EA dz Удлинение (укорочение) стержня определяется отдельно для каждого участка, а полное изменение длины стержня находится как сумма составляющих.
Пример 1.
5
Необходимо построить для ступенчатого стержня эпюры N и σ . Площади сечений стержня А 1 =А 3 =0,01м 2 ; А 2 =0,02м 2 ; Решение: Расчет начинаем с определения опорной реакции R А в месте закрепления стержня. В этом сечении помещаем начало координат и направляем ось z вдоль оси стержня. Направление опорной реакции выбираем произвольно. Составляем уравнение равновесия стержня: ΣF z = 0: – R А +q 1 ·b – q 2 ·a – 2F 1 +F 1 =0; R А = q 1 ·b – q 2 ·a – 2F 1 +F 1 =20кН. Для установления законов изменения продольной силы на трёх характерных участках бруса (АВ; ВС; СD) проводим сечения в пределах каждого из этих участков, отбрасываем одну из частей бруса и рассматриваем равновесие оставшейся части под действием приложенных к ней нагрузок и искомой силы N. Первоначально направляем эту силу по нормали к поперечному сечению бруса. 6
При использовании метода сечений удобно для простоты вычислений отбрасывать ту часть стержня, к которой приложено большее число нагрузокэ
Участок 1
. 0 ≤ z 1 ≤ а ΣF z =0: – R А – N 1 =0; N 1 = – R A = – 20кН Знак минус указывает на то, что направление N 1 выбрано неверно. Направляем N 1 вверх, она вызывает сжатие участка, и окончательно записываем: N 1 = –20 кН.
Участок 2
. а ≤ z 1 ≤ а + b ΣF z =0: – R А – 2F 1 + q 1 (z 2 – a) – N 1 =0; N 2 = – 80 + 30(z 2 – a) z 2 = a: N 2 = – 80кН (сжатие) z 2 = а + b : N 2 = 10кН (растяжение) В пределах второго участка N меняет знак. 7

Участок 3
. 0 ≤ z 1 ≤ а ΣF z =0: N 3 – q 2 · z 3 + F 1 =0; N 2 = q 2 ·z 3 – F 1 = 20 · z 3 – 30 z 2 = 0: N 2 = – 30кН ( сжатие ) z 2 = а : N 2 = 20·2 – 30 = 10кН ( растяжение ). Определяем нормальные напряжения на участках стержня. На первом участке: σ АВ = N 1 A 1 = − 20 0,01 =− 2000 кН м 2 На втором участке: σ В = N 2 A 2 = − 80 0,02 =− 4000 кН м 2 ; σ С = N 2 A 2 = 10 0,02 = 500 кН м 2 На третьем участке: σ С = N 3 A 3 = 10 0,01 = 1000 кН м 2 ; σ D = N 3 A 3 = − 30 0,01 =− 3000 кН м 2 Откладываем вычисленные ординаты N и
σ
на оси бруса и строим эпюры. В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре N должен быть скачок на величину этой силы. На эпюре
σ
получаем скачок в сечениях, где изменяется площадь поперечного сечения стержня. 8

Пример 2.
Для статически определимого ступенчатого стержня требуется: 1. Определить в характерных сечениях продольные силы и нормальные напряжения и построить эпюры N и
σ
. 2. Вычислить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня и построить эпюру его осевых перемещений. Модуль упругости материала стержня Е = 105 МПа. А 1 = 0,001 м 2 ; А 2 = 0,004 м 2 ; А 3 = 0,002 м 2 ; а = 2м; 9
Решение: Определяем опорную реакцию R A : ΣF z =0: –R А – F 1 + q 1 ·a – q 2 ·a – F 2 =0; R А = –20 +40·2 – 20·2 – 10 =10кН. Методом сечений определяем N и
σ
для каждого участка .
Участок 1
. 0 ≤ z 1 ≤ а ΣF z =0: – R А + N 1 =0; N 1 = R A = – 10кН ( сжатие ) σ 1 = N 1 A 1 = − 10 0,001 =− 1 · 10 4 кН м 2
Участок 2
. а ≤ z 2 ≤ 2а ΣF z =0: – R А – F 1 + q 1 (z 2 – a) =0; N 2 = –30 + 40(z 2 – 2); При z 2 = a: N 2 = –30 + 40(2 – 2)= –30 кН ( сжатие ); σ 2 = N 2 A 2 = − 30 0,004 =− 0,75 ∗ 10 4 кН м 2 При z 2 = 2a: N 2 = –30 + 40·2 = 50 кН ( растяжение ); 10
σ 2 = N 2 A 2 = 50 0,004 = 1,25 · 10 4 кН м 2
Участок 3
. 0 ≤ z 1 ≤ а ΣF z =0: N 3 – q 2 ·z 3 – F 2 =0; N 3 = q 2 ·z 3 + F 2 ; При z 2 = 0: N 3 = F 2 = 10 кН ( растяжение ); σ 3 = N 3 A 3 = 10 0,002 = 0,5 · 10 4 кН м 2 При z 2 = 2a: N 3 = 20·2 + 10 = 50 кН ( растяжение ); σ 3 = 50 0,002 = 2,5 ·10 4 кН м 2 Откладываем на оси бруса полученные ординаты продольных сил и нормальных напряжений и строим эпюры N и
σ
. При вычислении осевых перемещений участков стержня, в пределах которых продольная сила переменна, удобно пользоваться следующей формулой: Δl = ∫ N EA dz = 1 E ∫ σ dz = 1 E ω σ ; где ω σ – площадь эпюры σ на рассматриваемом участке, вычисленная с учетом знака напряжений. Если в пределах участка продольная сила постоянна, его перемещение вычисляется по закону Гука. 11
Перемещение участков бруса: Δl 1 = N 1 а E A 1 = − 10 ∙ 2 1 ∙ 10 8 ∙ 0,001 =− 2 ∙ 10 − 4 м ; (укорочение) Δl 2 = 1 E ω σ = 1 1 ∙ 10 8 1,25∙ 10 4 − 0,75∙ 10 4 2 = 5∙ 10 − 5 м (удлинение) Δl 3 = 1 E ω σ = 1 1 ∙ 10 8 2,5 ∙ 10 4 + 0,5 ∙ 10 4 2 ∙ 2 = 3∙ 10 − 4 м (удлинение) Перемещение бруса равно сумме перемещений всех его участков. Δl = Δl 1 + Δl 2 + Δl 3 = – 2·10 -4 +5·10 -5 +3·10 -4 =1,5·10 -4 м. Под действием приложенных нагрузок брус удлиняется. Вычисляем величины осевых перемещений характерных сечений бруса, начиная от места закрепления. z = 0: w 0 = 0; z = 2м: w 1 = w 0 + Δl 1 = – 2·10 -4 м; z = 4м: w 2 = w 1 + Δl 2 = – 2·10 -4 +5·10 -5 =-1,5·10 -4 м; z = 6м: w 3 = w 2 + Δl 3 = – 1,5·10 -4 +3·10 -4 =1,5·10 -4 м; Для правильного построения эпюры перемещений необходимо использовать дифференциальные зависимости ЕА· w'(z) = N (z) При ЕА = const (постоянная жесткость) ЕА· w''(z) = – q(z), Из этих соотношений следует, что на участках, где q = 0,осевые перемещения изменяются по линейному закону, а где q = const, по закону квадратной параболы. В сечениях, где N = 0, осевые перемещения имеют экстремум. В нашем случае на втором участке есть сечение, где N = 0. 12
Устанавливаем координату этого сечения и вычисляем экстремальное значение осевого перемещения: 30 b = 50 2 − b ; Отсюда b = 0,75м, Следовательно на расстоянии а + b = 2,75 м от закрепления имеет место экстремум на эпюре Δl w lx = w 1 + Δl 2 ¿ =− 2 ∙ 10 − 4 − 2,8 ∙ 10 − 5 =− 2,28 ∙ 10 − 4 м , где Δl 2 ¿ = − 1 10 8 ∙ 1 2 ∙ 0,75 ∙ 0,75∙ 10 4 =− 2,8 ∙ 10 − 5 м , - укорочение заштрихованной части второго участка бруса. Для точного построения квадратной параболы в эпюре Δl на третьем участке бруса вычисляем значение
w
в середине этого участка z = 5м: w = w 2 + Δl * 3 = – 1,5·10 -4 +2·10 -4 =0,5·10 -4 м; Δl 3 ¿ = − 1 10 8 ∙ 1 2 ∙ ( 2,5 ∙ 10 4 + 1,5 ∙ 10 4 )= 2∙ 10 − 5 м , 13

ЗАДАЧА №1

Центральное растяжение и сжатие статически

определимого бруса.
Для бруса ступенчатого сечения, загруженного осевыми расчетными нагрузками, требуется: 1. Составить по участкам законы изменения продольной силы и нормального напряжения. 2. Построить эпюру продольных сил. 3. Из условия прочности по предельным состояниям определить размеры поперечных сечений бруса, соблюдая заданное соотношение площадей. 4. Построить эпюру нормальных напряжений. 5. Определить значения осевых перемещений характерных сечений бруса и построить эпюру перемещений. 6. Определить нормальные и касательные напряжения, действующие по наклонному сечению, заданному углом α=45 0 . 7. Модуль упругости материала бруса Е=2·10 5 МПа , расчетное сопротивление R p =210МПа. Остальные исходные данные принимать по
таблице I.
Таблица I. группа а, м F 1 , кН F 2 , кН q 1 , кН/м q 2 , кН/м ДМ – 21 1 40 60 12 6 ДМ – 22 1,8 90 40 16 12 ДМ – 23 2 50 80 24 30 ДС – 21 0,6 60 90 26 20 ДС – 22 1,2 80 70 15 16 ДС – 23 1,4 100 50 18 14 14

1 схема

2 схема

3 схема

4 схема

5 схема

6 схема

7 схема

8 схема

9 схема

10 схема

11 схема

12 схема

13 схема

14 схема

15 схема

16 схема

17 схема

18 схема

19 схема

20 схема
15

21 схема

22 схема

23 схема

24 схема

25 схема

26 схема

27 схема

28 схема

29 схема

30 схема

31 схема

32 схема

33 схема

34 схема

35 схема

36 схема
16

Статически неопределимые стержневые системы.
Статически неопределимыми принято называть системы, усилия в которых нельзя определить с помощью только уравнений статики. Все статически неопределимые системы имеют «лишние» связи в виде дополнительных закреплений и стержней. «Лишними» такие связи называют потому, что они не являются необходимыми с точки зрения обеспечения равновесия системы или её геометрической неизменяемости. Их устройство преследует конструктивные или эксплуатационные цели. Разность между количеством неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, характеризует степень статической неопределимости. Расчет статически неопределимой системы производят в следующем порядке: 1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия, в которые входят внешние нагрузки, опорные реакции и усилия в стержнях. Выявляем степень статической неопределимости системы. 2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном с о с тоя н и и , устанавливаем взаимосвязь между перемещениями точек её элементов. Полученные зависимости называются уравнениями совместности перемещений, их количество должно быть равно числу лишних связей. 3. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражаем удлинения (укорочения) стержней, входящие в уравнения совместности перемещений, через усилия в стержнях. 4. Синтез. Решая совместно статические и физические уравнения, находим неизвестные усилия. Основные свойства статически неопределимых систем: 17
1. Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных связей являются более жесткими, чем статически определимые. 2. Ввиду большей связности статически неопределимых систем в них возникают меньшие усилия, т.е. такие системы экономичны. 3. Нарушение лишних связей в статически неопределимых системах не приводит к непосредственному разрушению. 4. Величины усилий в элементах статически неопределимых систем зависят от жесткости этих элементов. 5. В статически неопределимых системах изменение температуры и неточность изготовления дают дополнительные усилия.
Пример 3.
Невесомый абсолютно жёсткий брус АВ поддерживается двумя стальными стержнями 1 и 2 и загружается в точке В постоянной силой F . Соотношение площадей стержней А 1 =2А 2 . Подобрать поперечное сечение стержней из двух равнобоких уголков при R=210МПа (расчетное сопротивление) и определить разрушающую нагрузку в пластической стадии. Решение: I. Определяем величину расчетной нагрузки. F P = F H ·n пост = 500·1,1 = 550 кН, 18
где n пост = 1,1 – коэффициент перегрузки для постоянной нагрузки. II. Раскрываем статическую неопределимость системы и определяем усилия в стержнях. Система находится в равновесии под действием силы F и усилий в стержнях N 1 и N 2 . Составляем уравнение равновесия. ΣМ С =0: N 1 ·r + N 2 · a – F ·a/2 =0; (1) r = a ·cos30 0 = 6 · 0,866 = 5,2м 5,2·N 1 + 6·N 2 =1650 (1') Система один раз статически неопределима. Второе соотношение между усилиями в стержнях можно получить, рассмотрев геометрическую схему деформации системы при действии силы F. Жесткий брус повернется на бесконечно малый угол относительно опоры С. При этом стержни получат перемещение Δl 1 и Δl 2 Составим уравнение совместности перемещений. Учитывая, что перемещения малы по сравнению с размерами конструкции, можно считать угол DA'A равным 30 0 . Тогда из ΔDA'A получаем уравнение совместности перемещений Δl 1 = Δl 2 ·cos30 0 (2) В соответствии с законом Гука выражаем в уравнении (2) удлинения через усилия 19
N 1 l 1 Е 1 А 1 = N 2 l 2 Е 2 А 2 · cos 30 0 Преобразуем это уравнение, учитывая, что Е 1 = Е 2 ; А 1 = 2А 2 ; l 1 = b sin 30 0 = 4 м ; l 2 = l 1 · cos30 0 = 3,46 м N 1 = 1,63N 2 , (3') Решаем совместно уравнения (1') и (3') и вычисляем величины усилий 5,2·1,63·N 2 + 6·N 2 = 1650 N 2 = 111,2 кН, N 1 = 181,23 кН III. Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений стержней, учитывая заданное соотношение площадей. Для более нагруженного первого стержня: А 1 треб = N 1 R = 181,23 ·10 − 3 210 = 0,86 ·10 − 3 м 3 = 8,6 см 2 Тогда площадь второго стержня: А 2 = А 1 2 = 4,3 см 2 Сечение стержней подбираем в виде двух равнобоких прокатных уголков по ГОСТу 8509-86. Для первого стержня – 2
∟
50
×
5 А 1 = 4,8 · 2 = 9,6 см 2 > А 1 треб Для второго стержня – 2
∟
50
×
4 А 2 = 3,89 · 2 = 7,78см 2 > А 2 треб Определяем напряжения в стержнях и проверяем их прочность σ 1 = N 1 A 1 = 181,23· 10 − 3 9,6 · 10 − 4 = 188,8 МПа < R 20
σ 2 = N 2 A 2 = 111,2· 10 − 3 7,78· 10 − 4 = 143,0 МПа < R Прочность обеспечена. Отметим, что второй стержень недогружен. Это характерно для статически неопределимых систем при расчете их по методу предельных состояний или по методу допускаемых напряжений. При расчете по методу разрушающих нагрузок (по несущей способности) расчет производится следующим образом: напряжения в стержнях в пластической стадии работы полагаются равными пределу текучести материала σ m = 230 МПа , при этом усилия в стержнях будут равны N 1 разр = σ m · A 1 = 230 · 10 3 · 0,96 ·10 − 3 = 220,8 кН N 2 разр = σ m · A 2 = 230 · 10 3 · 0,778 · 10 − 3 = 178,9 кН Тогда из уравнения равновесия (1) системы в пластической стадии можно определить величину разрушающей силы F разр = N 1 разр · r + N 2 разр · а 0,5 · а = 220,8 · 5,2 + 178,9 · 6 3 = 740,5 кН Определим коэффициент запаса по отношению к нормативной нагрузке к = F разр F H = 740,5 500 1,48 Вычислим перемещение точки приложения силы ΔАА'С ∞ ΔСВВ' Тогда перемещение точки приложения силы определится из подобия треугольников ВВ ' = АА ' · ВС АС где ВС = 0,5а = 3м; АС = а = 6м, 21
АА' = Δl 2 – удлинение второго стержня, вычисляем его по закону Гука Δ l 2 = N 2 · l 2 E· A 2 = 111,2· 10 − 3 · 3,46 2 · 10 5 · 0,43 · 10 − 3 = 447,38· 10 − 5 м , ВВ ' = 447,38 · 10 − 5 · 3 6 = 223,69 · 10 − 5 м .
ЗАДАЧА №2

Расчет статически неопределимой стержневой системы.
Статически неопределимая стержневая система состоит из невесомой абсолютно жесткой балки, поддерживаемой стальными стержнями 1 и 2. Нагружена сосредоточенной силой F , которая слагается из постоянной нагрузки F пост и временной F вр . Величины нормативных нагрузок, геометрические размеры системы и соотношение площадей А 1 и А 2 взять из табл. 2 Для заданной системы требуется: 1. Определить расчетную силу F p , при этом коэффициент перегрузки для постоянной нагрузки принять равным n пост =1,1 ; для временной n вр =1,4 . 2. Раскрыть статическую неопределимость системы и определить усилия в стержнях от действия расчетной нагрузки. 22
3. Подобрать поперечные сечения стержней из двух равнобоких уголков по методу предельных состояний, при этом обеспечить з а д а н н о е с о о т н о ш е н и е п л о щ а д е й А 1 /А 2 . Р а с ч е т н о е сопротивление R = 210МПа . 4. Определить разрушающие усилия в стержнях в пластической стадии, приняв предел текучести стали σ m = 230 МПа . Определить коэффициент запаса по отношению к нормативной нагрузке. 5. Вычислить перемещение точки приложения силы. Таблица II. группа а, м b, м А 1 /А 2 F пост , кН F вр , кН ДМ – 21 2,0 1,4 2,0 100 220 ДМ – 22 2,2 1,6 1,5 120 180 ДМ – 23 2,6 1,8 1,2 150 400 ДС – 21 2,4 1,6 1,4 160 350 ДС – 22 2,1 1,3 1,8 130 280 ДС – 23 1,8 1,0 1,6 100 420
1 схема



2 схема 3 схема



4 схема



5 схема 6 схема
23

7 схема



8 схема 9 схема



10 схема



11 схема 12 схема





13 схема



14 схема 15 схема

16 схема



17 схема 18 схема





19 схема



20 схема 21 схема
24



22 схема



23 схема 24 схема
25