План-конспект урока по алгебре для 9 класса (ФГОС)

Тема: «Множества и операции над ними».

Тип урока: урок открытия нового знания.

Цель урока:

Формирование у учащихся предметных и метапредметных компетенций через

освоение понятия множества и операций над ними, развитие логического мышления и

умения применять теоретические знания для решения практико-ориентированных

задач.

Задачи урока:

1. Личностные УУД:

•

Развивать познавательный интерес к математике через решение жизненных

задач (выбор блюд в столовой, анализ друзей в соцсетях).

•

Формировать ответственное отношение к учебной деятельности через

самооценку и рефлексию.

2. Метапредметные УУД:

Познавательные:

•

Научиться определять понятия (множество, элементы множества, операции).

•

Развивать логическое мышление через анализ и синтез (сравнение множеств,

выявление общих элементов).

•

Овладеть знаково-символическими средствами (запись множеств,

использование символов

∪

, ∩).

Регулятивные:

•

Учиться ставить учебные задачи (например, "Как найти общие решения двух

неравенств?").

•

Развивать навыки самоконтроля через проверку решений по эталонам.

Коммуникативные:

•

Совершенствовать умение работать в группе (обсуждение задач,

взаимопроверка).

•

Формировать грамотную математическую речь (объяснение операций над

множествами).

3. Предметные УУД:

•

Усвоить основные понятия: множество, элементы множества, пустое

множество, подмножество.

•

Освоить операции над множествами: объединение, пересечение, разность.

•

Научиться применять знания для:

o

решения задач с числовыми и нечисловыми множествами;

o

работы с интервалами на числовой прямой;

o

анализа реальных ситуаций (статистика, базы данных).

1. Мотивация (5 мин)

ФГОС-ориентированная задача (личностные и метапредметные УУД):

"В школьной столовой есть три категории блюд: первые блюда (борщ, суп), вторые

(пюре с котлетой, макароны с сосиской) и напитки (чай, компот). Как можно

описать все возможные варианты обедов, включающих первое и второе блюда?

Можно ли исключить неподходящие комбинации (например, борщ + макароны)?"

Обсуждение:

•

Учащиеся предлагают варианты группировки.

•

Учитель подводит к понятию множества и необходимости операций над ними.

Проблемная ситуация:

В школьной столовой предлагают:

•

Первые блюда: борщ (Б), суп (С)

•

Вторые блюда: пюре с котлетой (П), макароны с сосиской (М)

Сколько существует вариантов обеда из первого и второго блюда?

Решение:

1.

Составляем все возможные пары:

o

Б+П, Б+М, С+П, С+М

2.

Всего 4 варианта.

Объяснение:

Мы неявно использовали операцию декартова произведения множеств. Это

показывает, как важно уметь работать с множествами.

2. Актуализация знаний (5 мин)

Задача (познавательные УУД):

"Изобразите на числовой прямой решения неравенств и назовите общие числа для

обоих случаев:"

1.

x2−4≤0 → [−2;2]

2.

x+1>0 → (−1;+∞)

Вопрос: Какие числа удовлетворяют обоим неравенствам?

Ответ: (−1;2] — это пересечение множеств решений.

Изобразим оба решения на числовой прямой:

-2 -1 0 1 2

[--------] (первое неравенство)

[---------> (второе неравенство)

Общая часть: (-1; 2]

Объяснение:

Общие решения - это пересечение множеств решений. Мы нашли A ∩ B.

3. Объяснение нового материала (15 мин)

Практико-ориентированные примеры (регулятивные УУД):

Пример 1 (из жизни):

Даны множества учеников:

•

A = {Аня, Боря, Ваня} (любят математику)

•

B = {Боря, Ваня, Галя} (любят физкультуру)

Задача:

Найдите:

1.

Кто любит и математику, и физкультуру?

2.

Кто любит хотя бы один предмет?

Решение:

1.

A ∩ B = {Боря, Ваня}

2.

A

∪

B = {Аня, Боря, Ваня, Галя}

Объяснение:

•

∩ (пересечение) - общие элементы

•

∪

(объединение) - все элементы из обоих множеств

Пример 2 (интервалы):

•

Даны: A=[1;5), B=(3;7].

•

Найдите A ∩ B и A

∪

B.

Решение:

1.

A ∩ B = (3; 5) - общая часть интервалов

2.

A

∪

B = [1; 7] - все числа из обоих интервалов

4. Первичное закрепление (10 мин)

Групповая работа (коммуникативные УУД):

Задача 1:

Даны множества:

•

A={2,4,6,8} (чётные цифры номера телефона).

•

B={1,2,3,5} (нечётные цифры + 2).

Найти A∩B и A

∪

B.

Задача 2 (работа с графиками):

Изобразите на одной числовой прямой:

•

A=(−∞;4) — температура ниже 4°C.

•

B=[0;+∞) — температура неотрицательная.

Определите, при каких температурах будет:

1.

Одновременно холодно и не морозно (A∩B).

2.

Либо холодно, либо тепло (A

∪

B).

5. Самостоятельная работа (10 мин)

Дифференцированные задания (предметные УУД):

Уровень 1 (базовый):

1.

Задайте перечислением:

{x

∣

x — день недели, начинающийся на ’С’}{x

∣

x — день недели, начинающийся н

а ’С’}.

2.

Найдите A∩B, если A={3,5,7}, B={5,6,7}.

Уровень 2 (повышенный):

1.

Для A={x

∣

x

∈

N,x≤6}, B={x

∣

x — простое число ≤10} найдите A

∪

B.

2.

Даны интервалы: A=(−3;2], B=[0;5). Найдите A∩B.

Уровень 3 (олимпиадный):

Докажите, что для любых множеств A и B:

(A∩B)

∪

(A

∖

B)=A.

6. Рефлексия (3 мин)

ФГОС-критерии:

1.

Личностные: "Как вы можете применить знания о множествах в

повседневной жизни?"

2.

Метапредметные: "Какие логические операции вам пригодились?"

3.

Предметные: "В чём разница между A∩B и A

∪

B?"

Форма: Заполнение таблицы:

Узнал(а)

Научился(ась)

Осталось непонятно

Домашнее задание (ФГОС-ориентированное)

1.

Практическое задание:

"Составьте множество любимых предметов вашей семьи (математика,

литература и т.д.) и найдите пересечение с вашими предпочтениями."

2.

Теоретическое:

o

Докажите, что A

∪∅

=A.

o

Для A=[1;4), B=(2;5] найдите A

∖

B.

3.

Творческое (по желанию):

"Придумайте задачу на множества, используя расписание уроков."

Оборудование (согласно ФГОС):

•

Интерактивная доска с визуализацией кругов Эйлера.

•

Раздаточные материалы с дифференцированными заданиями.

•

Онлайн-тренажёр (например, LearningApps) для закрепления.

Критерии оценки (ФГОС):

•

Базовый уровень: верное выполнение 2 задач.

•

Повышенный: решение 3 задач, включая работу с интервалами.

•

Высокий: доказательство свойств множеств.

Урок соответствует требованиям ФГОС, так как:

1.

Реализует системно-деятельностный подход (ученики "открывают" знания

через задачи).

2.

Включает дифференциацию (задания трех уровней сложности).

3.

Интегрирует межпредметные связи (информатика — базы данных,

обществознание — статистика).

4.

Формирует навыки 21 века (критическое мышление, креативность,

коллаборация).

Оборудование: интерактивная доска (для визуализации кругов Эйлера), раздаточные

материалы с заданиями разных типов.

Приложение 1

Примеры задач с решениями для достижения целей

Для познавательных УУД:

Задача: Даны множества:

A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 4, 5}.

Найти A ∩ B и A

∪

B.

Решение:

•

A ∩ B = {3, 5} (общие элементы);

•

A

∪

B = {1, 2, 3, 4, 5, 7} (все уникальные элементы).

Объяснение:

Пересечение — это "и", объединение — "или".

Для регулятивных УУД:

Задача: Самостоятельно придумать задачу на множества, используя расписание

уроков.

Образец решения:

A = {математика, физика, информатика} (любимые предметы Пети),

B = {литература, история, математика} (любимые предметы Маши).

A ∩ B = {математика} — общий любимый предмет.

Для коммуникативных УУД:

Групповая задача:

"В классе 20 человек. 12 любят математику, 8 — биологию, 5 — оба предмета.

Сколько человек не интересуются ни тем, ни другим?"

Решение:

1.

12 + 8 - 5 = 15 (любят хотя бы один предмет);

2.

20 - 15 = 5 (не интересуются ни одним).

Критерии достижения целей (ФГОС):

•

Базовый уровень: Верное выполнение 70% заданий (например, нахождение A

∩ B для простых множеств).

•

Повышенный уровень: Решение задач с интервалами и прикладных задач

(анализ данных).

•

Высокий уровень: Доказательство свойств операций (например, A

∪

∅

= A).

Приложение 2.

Доказательство равенства множеств: (A ∩ B)

∪

(A

∖

B) = A

1. Вспомним определения операций:

•

Пересечение (A ∩ B): все элементы, которые принадлежат и A, и B.

•

Разность (A

∖

B): все элементы, которые принадлежат A, но не принадлежат B.

•

Объединение (X

∪

Y): все элементы, которые принадлежат или X, или Y (или

обоим).

2. Доказательство через принадлежность элементов:

Пусть x — произвольный элемент. Рассмотрим два случая:

Случай 1: x

∈

B.

•

Если x

∈

A и x

∈

B, то x

∈

A∩B.

•

Тогда x

∈

(A∩B)

∪

(A

∖

B), так как он попал в первое множество объединения.

•

Если x

∉

A, то он не входит ни в A∩B, ни в A

∖

B, значит, не входит и в их

объединение.

Случай 2: x

∉

B.

•

Если x

∈

A и x

∉

B, то x

∈

A

∖

B.

•

Тогда x

∈

(A∩B)

∪

(A

∖

B), так как он попал во второе множество объединения.

•

Если x

∉

A, то он не входит ни в одну из частей.

Вывод:

Элемент xx принадлежит (A∩B)

∪

(A

∖

B) тогда и только тогда, когда x

∈

A.

Следовательно, (A∩B)

∪

(A

∖

B)=A.

3. Графическая иллюстрация (круги Эйлера):

1.

Нарисуем два пересекающихся круга (A и B).

2.

A∩B — область пересечения.

3.

A

∖

B — часть круга A без пересечения с B.

4.

Объединение этих двух областей даст весь круг A, что подтверждает равенство.

4. Формальное доказательство через равенство множеств:

Докажем, что:

1.

(A∩B)

∪

(A

∖

B)

⊆

A;

2.

A

⊆

(A∩B)

∪

(A

∖

B).

Часть 1:

Любой элемент из (A∩B) или (A

∖

B) по определению принадлежит A.

Следовательно, их объединение тоже содержится в A.

Часть 2:

Возьмем произвольный x

∈

A. Возможны два подслучая:

•

x

∈

B

⇒

x

∈

A∩B

•

x

∉

B

⇒

x

∈

A

∖

B.

В любом случае, xx принадлежит объединению (A∩B)

∪

(A

∖

B).

Из 1 и 2 следует равенство.

Пример для наглядности:

Пусть:

•

A={1,2,3,4},

•

B={3,4,5,6}.

Тогда:

1.

A∩B={3,4};

2.

A

∖

B={1,2};

3.

(A∩B)

∪

(A

∖

B)={1,2,3,4}=A.

Применение в реальных задачах:

Это свойство полезно, например, при анализе данных:

•

A — клиенты, купившие товар X,

•

B — клиенты, купившие товар Y.

Тогда (A∩B) — купили оба товара, а (A

∖

B) — купили только X.

Объединение этих групп даст всех покупателей товара X, что соответствует

исходному множеству A.