Решение текстовых задач.

БОУ ОО «Мезенский лицей»

Учитель математики

Сопнева Светлана Викторовна

•

Задачи на движение

•

Задачи на совместную работу

•

Задачи на смеси, сплавы и растворы

1. моделирование ситуации, описанной в

условии задачи (схема, таблица)

2. составление и решение уравнения

3. составление ответа

Задачи

на движение

по прямой.

v – скорость объекта

v

теч

– скорость течения

S - расстояние

t - время

Равенства, связывающее эти три величины:

𝑆

=

⋅

𝒗 𝑡

𝑣

=

𝑆

𝑡

𝑡

=

𝑆

𝑣

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в

город В, расстояние между которыми равно 209 км. Отдохнув, он

отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он

сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на

обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

Найдите скорость велосипедиста и на пути из А в В.

Х км/ч

209 км

(Х+8) км/ч

t

1

= t

2

v

S

t

=

209 км

v

t

S

Из А в В

х км/ч

209 км

Из В в А

(x+8) км/ч

209 км

𝟐𝟎𝟗

𝒙

𝟐𝟎𝟗

𝒙

+

𝟖

+

𝟖

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А

в город В, расстояние между которыми равно 209 км.

Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость

на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в

результате чего затратил на обратный путь столько же

времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость

велосипедиста и на пути из А в В.

СОСТАВИМ УРАВНЕНИЕ

𝟐𝟎𝟗

𝒙

=

𝟐𝟎𝟗

𝒙

+

𝟖

+

𝟖

;

8

8

209

209

+

+

=

x

x

209(x+8)=209x+8x(x+8)

209x+1672=209x+8x

2

+64x

8x

2

+64x-1672=0

x

2

+8x-209=0

x=-19(посторонний корень)

x=11

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из

города А в город В, расстояние между которыми

равно 112 км. Отдохнув, он отправился обратно в А,

увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал

остановку на 4 часа, в результате чего затратил на

обратный путь столько же времени, сколько на путь

из А в В. Найдите скорость велосипедиста и на пути

из А в В.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля.

Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй

проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую

половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости

первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с

первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ дайте в км/ч.

Х км/ч

S км

2

S

2

S

24 км/ч

(Х+16) км/ч

t

1

= t

2

v

S

t

=

v

t

S

1

x

1/x

1

2

24 км/ч

(x+16)

1/2

1/2

v

t

S

1

x

1/x

1

2

24 км/ч

(x+16)

𝟏

𝟐

𝟐𝟒

𝟏

𝟐

𝒙

+

𝟏𝟔

1/2

1/2

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля.

Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй

проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую

половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости

первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с

первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ дайте в км/ч.

;

16

2

1

24

2

1

1

+

+

=

x

x

;

)

16

(

2

1

24

2

1

1

+



+



=

x

x

;

)

16

(

2

1

24

2

1

1

+



+



=

x

x

;

24

)

16

(

)

16

(

48

x

x

x

x

+

+



=

+

;

24

16

16

48

48

2

x

x

x

x

+

+

=



+

;

0

16

48

8

2

=



−

−

x

x

32

;

ень)

постор.кор

(

24

=

−

=

x

x

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля.

Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй

проехал первую половину пути со скоростью, меньшей

скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со

скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В

одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость

первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч.

Ответ дайте в км/ч.

Решите самостоятельно

следующую задачу

;

78

2

1

13

2

1

1

+

−

=

x

x

;

78

2

1

)

13

(

2

1

1



+

−

=

x

x

);

(

)

(

13

78

13

78

2

−

+

=

−



x

x

x

x

0

13

78

2

91

2

=





+

−

x

x

.

52

2

),

условию

яет

удовлетвор

не

(

39

1

=

=

x

x

v

t

S

1

x

1/x

1

2

(x-13)

78 км/ч

𝟏

𝟐

−

𝒙 𝟏𝟑

𝟏

𝟐

𝟕𝟖

1/2

1/2

Из двух городов одновременно навстречу друг другу

отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть

пути, первый велосипедист сделал остановку на две

минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым

велосипедистом. Расстояние между городами составляет 277

км, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч, скорость

второго – 30 км/ч. Определите расстояние то города, из

которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

16км/ч

30км/ч

2мин=1/30 ч

277-х км

х км

v

t

S

1

16 км/ч

277-х км

2

30 км/ч

x км

−

𝟐𝟕𝟕

𝒙

𝟏𝟔

+

𝟏

𝟑𝟎

𝒙

𝟑𝟎

Из двух городов одновременно навстречу друг другу

отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть

пути, первый велосипедист сделал остановку на две

минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым

велосипедистом. Расстояние между городами составляет 277

км, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч, скорость

второго – 30 км/ч. Определите расстояние то города, из

которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

−

𝟐𝟕𝟕

𝒙

𝟏𝟔

+

𝟏

𝟑𝟎

=

𝒙

𝟑𝟎

277*30-30x+16=16x

277*30-30x+16-16x=0

-46x+8326=0

-46x=-8326

X=181

Решите самостоятельно

следующую задачу

Из двух городов одновременно навстречу друг другу

отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть

пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минуты, а

затем продолжил движение до встречи со вторым

велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217

км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость

второго – 30 км/ч. Определите расстояние то города, из

которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут

следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после

отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30

минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста,

если длина трассы равна 30 км.

Ответ дайте в км/ч.

1 мотоцик.

2 велосип.

S,

км

х

у

v,

км/ч

t

,

ч

1

6

2

3

2

3

у

у

х

3

2

6

1

=

1 уравнение:

1

6

х

=

Показать

1 встреча. Велосипедист был

до 1 встречи 40 мин (2/3 ч),

мотоциклист 10 мин (1/6ч). А

расстояние за это время они

проехали равное.



Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30

минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут

после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще

через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите

скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.

Ответ дайте в км/ч.

1 мотоцик.

2 велосип.

S,

км

х

у

v,

км/ч

t

,

ч

1

2

1

2

1

2

у

на 30 км больше (1 круг)

30

2

1

2

1

=

−

у

х

2 уравнение:

Ответ 80

1

2

х

30

2

1

2

1

=

−

у

х

у

х

3

2

6

1

=

Искомая величина – х

Показать (2)

2 встреча. Велосипедист и

мотоциклист были в пути

до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).

А расстояние за это время

мотоциклист проехал на 1 круг

больше.



?

1

Баржа прошла по течению реки 32 км и , повернув

обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа.

Найдите собственную скорость баржи, скорость течения

реки равна 5 км/ч.

32 км

24 км

5 км/ч

v

S

t

=

t=t1+t2

v

t

S

По течению

(x+5) км/ч

32 км

Против течения

(x-5) км/ч

24 км

𝟑𝟐

𝒙

+

𝟓

𝟐𝟒

−

𝒙 𝟓

Баржа прошла по течению реки 32 км и , повернув

обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4

часа. Найдите собственную скорость баржи, скорость

течения реки равна 5 км/ч.

𝟑𝟐

𝒙

+

𝟓

+

𝟐𝟒

−

𝒙 𝟓

=

𝟒

32(x-5)+24(x+5)=4(x+5)(x-5)

32x-160+24x+120=4x

2

-100

4x

2

-56x-60=0

x

2

-14x-15=0

X=-1 (

)

посторонний корень

X=15

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и

вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на

2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде,

если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч

255 км

1 км/ч

v

S

t

=

t=t1-t2

v

t

S

Против течения

(x-1) км/ч

255 км

По течению

(x+1) км/ч

255 км

𝟐𝟓𝟓

−

𝒙 𝟏

𝟐𝟓𝟓

𝒙

+

𝟏

𝟐𝟓𝟓

−

𝒙 𝟏

−

𝟐𝟓𝟓

𝒙

+

𝟏

=

𝟐

255(x+1)-255(x-1)=2(x+1)(x-1)

255x+255-255x+255=2x

2

-2

2x

2

-512=0

x

2

-256=0

X=-16 (

)

посторонний корень

X=16

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и

вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь

на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной

воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по

течению рекиотправился плот, а через час вслед за ним

отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В,

тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому

времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в

неподвижной воде, если скорость течения реки 5 км/ч

А

В

60 км

30 км

5 км/ч

t

– время, в течение которого производится работа,

k

– производительность труда, работа, произведенная в

единицу времени (возможны и другие обозначения N, W);

A

– работа, произведенная за время t

Равенства, связывающее эти три величины:

A=k·t

k =

A

t

t =

k

A

•

Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя

красят этот же забор за 12 часов а Володя и Игорь – за 15

часов. За сколько минут мальчики покрасят забор работая

вместе.

А

t

k(в час)

Игорь и Паша

1

10

x+y

Паша и

Володя

1

12

y+z

Володя и

Игорь

1

15

z+x

Игорь, Паша

и Володя

1

?

x+y+z

Полный объем работ примем

за 1 (единицу)

Пусть x, y и z –

производительность

(количество работы в 1 час)

Игоря, Паши и Володи

соответственно.

𝟏

𝒙

+

+

𝒚 𝒛

Нужно найти

𝑥

+

=

𝑦

1

10

,

𝑦

+

=

𝑧

1

12

,

𝑧

+

=

𝑥

1

15

.

Выполним сложение уравнений по

столбцам

𝟐𝒙

+

+

=

𝟐𝒚 𝟐𝒛

𝟏

𝟏𝟎

+

𝟏

𝟏𝟐

+

𝟏

𝟏𝟓

𝟐

(

+

+

) =

𝒙 𝒚 𝒛

𝟔

+

+

𝟓

𝟒

𝟔𝟎

𝟐

(

+

+

) =

𝒙 𝒚 𝒛

𝟏

𝟒

𝒙

+

+

=

𝒚 𝒛

𝟏

𝟖

𝟏

𝒙

+

+

𝒚 𝒛

=

𝟏

𝟏

𝟖

𝟏

𝒙

+

+

𝒚 𝒛

=

𝟖

8 часов=480 мин

99

2

На изготовление

деталей первый рабочий тратит на

,

110

часа меньше чем второй рабочий на изготовление

.

,

таких же деталей Известно что первый рабочий за час

1

,

.

делает на

деталь больше чем второй Сколько деталей в

?

час делает второй рабочий

k,

дет./час

A, дет

t, ч

1

x+1

99

2

x

110

𝟗𝟗

𝒙

+

𝟏

+

=

𝟐

𝟏𝟏𝟎

𝒙

99x+2x(x+1)=110(x+1)

;

110

110

2

2

2

99

+

=

+

+

x

x

x

x

;

0

110

110

99

2

2

2

=

−

−

+

+

x

x

x

x

0

110

9

2

2

=

−

−

x

x

корень)

ий

(посторонн

2

11

,

10

2

1

−

=

=

x

x

𝟗𝟗

𝒙

+

𝟏

𝟏𝟏𝟎

𝒙

•

Задачи на смешивание растворов разных

.

концентраций

•

;

Задачи на понижение концентрации

•

«

»;

Задачи на высушивание

•

.

Задачи на переливание

n

–

процентное содержание (концентрация,

массовая доля) чистого вещества в

сплаве или растворе,

m

–

масса чистого вещества

M

–

масса сплава или раствора

Равенства, связывающее эти три величины:

𝒏

=

𝒎

𝑴

⋅

𝟏𝟎𝟎

%

𝒏

=

𝒏

𝟏𝟎𝟎

%

⋅

𝑴

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг

раствора кислоты различной концентрации. Если

их слить вместе, то получим раствор, содержащий

81% кислоты. Если же слить равные массы этих

растворов, то полученный раствор будет содержать

83% кислоты. Сколько килограммов кислоты

содержится во втором растворе?

30 кг

20 кг

20 кг

20 кг

81%

50 кг

83%

40 кг

M,

масса раствора

n,

концентрация

m,

масса вещества

I

30

X

II

20

Y

III=I+I

I

30+20=50

81%

IV=I+

II

20+20=40

83%

𝑥

100%

⋅

30

𝑦

100%

⋅

20

81

100

⋅

50

83

100

⋅

40

30

𝑥

100

+

20

𝑦

100

=

81

100

∙ 50;

20

𝑥

100

+

20

𝑦

100

=

83

100

∙ 40,

ቊ

30 + 20

= 4050;

𝑥

𝑦

20 + 20

= 3320,

𝑥

𝑦

ቊ

3 + 2

= 405;

𝑥

𝑦

2 + 2

= 332,

𝑥

𝑦

ቊ

𝑥

= 73,

𝑦

= 93.

𝑦

100%

⋅

20 =

93%

100%

∙ 20 = 18,6

Свежие фрукты содержат 88% воды, а

высушенные – 30%. Сколько требуется

фруктов для приготовления 72 кг

высушенных фруктов.

M,

масса фруктов

n,

концентрация

m,

масса сухого вещества

Свежие фрукты

X кг

100%-88%=12%

Высушенные

фрукты

72 кг

100%-30%=70%

𝟏𝟐

𝟏𝟎𝟎

⋅ 𝒙

𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟎

⋅

𝟕𝟐

Составим и решим уравнение

𝟏𝟐

𝟕𝟎𝟎

⋅

𝒙

=

𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟎

⋅

𝟕𝟐

12 x=70*72

X=420