Бенуа Мандельброт

(20 ноября 1924 - 14 октября 2010г)

Цели, задачи проекта.

Задачами проекта стали:

1)

Изучение основ Фрактальной геометрии, ее возможностей и

механизмов, которыми она оперирует.

2)

Поиск сфер ее применения.

3)

Изложение полученных сведений.

Фракталы – нечто гораздо большее, чем очередной математический

парадокс. Доказательство этого суждения и явилось целью данного

проекта

“ Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это

не окружности, и кора не является гладкой, и молния не

распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не

просто более высокую степень, а совсем другой уровень

сложности”

Бенуа Мандельброт 1977г.

Введем некоторые обозначения

Фрактал

(лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый)

•

сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то

есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей

фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают

множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную

метрическую, либо метрическую размерность, строго большую

топологической.

•

бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент

которой повторяется при уменьшении масштаба

Е

- Евклидова размерность. (Евклидова размерность точки: Е=0, прямой: Е=1,

плоскости: Е=2 и объемной фигуры: Е=3)

D

- Фрактальная размерность. Каждый фрактал имеет собственную

размерность.

Λ; λ

- внешний и внутренний «пороги»

Фрактальная размерность

3

Линейные фракталы

Троичная кривая Коха

D=ln4/ln3≈1.2619

Свойства:

•

Имеет бесконечную длину

•

Не спрямляема, не дифференцируема

ни в одной из точек.

Озеро Коха

D=ln9/ln7

Свойства:

•

Имеет бесконечную длину

Кривая Минковского

D=ln8/ln4=3/2

Свойства аналогичны троичной кривой Коха

Ковер Серпинского

D = ln3/ln2=1,5850

Свойства

:

Площадь вырезанных участков равна площади

исходного треугольника

S

выр

=

Σ

0.25+3(0.25) +3 (0.25) +…+3

ⁿ

⁻

(0.25)

ⁿ=1

2

2

3

1

Губка Менгера

D=2,7268

Свойства:

•

Нулевой объем

•

Бесконечная площадь поверхности пор

Нелинейные фракталы

Множества Жюлиа

Множество Мандельброта

Применение фракталов.

•

Телекоммуникации

•

Компьютерные системы

•

Компьютерная графика

•

Анализ рынков

•

Физика и другие

естественные науки

•

Медицина

•

Биология

Подведем итоги

•

Фракталы — это прежде всего язык геометрии. Однако его

главные элементы недоступны непосредственному наблюдению.

Существуют две основные группы фрактальных языков:

линейные и нелинейные. Оба диалекта используют бесконечное

количество алгоритмов и, следовательно, охватывают

бесконечное число возможных фрактальных изображений.

•

Фракталы – столь же причудливы, парадоксальны и не

подвластны человеческому воображению, сколь

подсознательно понятны и интересны.

•

Фракталы являются языком не только геометрическим, но и

природным, они встречаются повсеместно, что в свою очередь

открывает просто огромные перспективы перед учеными разных

направлений, однако применение фракталов пока что

ограничено.