Применение теории нечётких множеств для оценки математических

проектов в старших классах

Бондарева Анна Владимировна,

учитель высшей категории, МОБУ СОШ № 23 г. Таганрог

Аннотация

Статья посвящена вопросам применения теории нечётких множеств в задаче

формирования проекта. Рассматриваются различные способы оценивания показателей

проекта, как численных, так и качественных, при помощи нечётких чисел. Представлена

модель формирования оптимального портфеля проектов на основе нечётких оценок в

условиях ограниченных ресурсов. Разобран пример решения задачи формирования портфеля

проектов на основе рассматриваемой модели.

Ключевые слова

Нечёткие множества, оценивание проекта, портфель проектов, ранжирование проектов,

нечёткая оптимизационная модель.

Application of fuzzy set theory for evaluation math projects in high school

Bondareva Anna Vladimirovna,

The teacher of the highest category, MOBU secondary school No. 23 Taganrog

Abstract

The article is devoted to problems of application of fuzzy set theory to project portfolio

management. We consider several approaches to estimate project value and other project

characteristics (both quantitative and qualitative) by means of fuzzy numbers. We present a fuzzy

model for project portfolio selection under resource constraints. An example of portfolio section

using this model is given.

Key words

Fuzzy sets, project estimation, project portfolio, ranking of projects, fuzzy optimization

model.

Статья посвящена вопросам применения теории нечётких множеств в оценке

формирования

портфеля

проекта.

Рассматриваются

различные

способы

оценивания

стоимости и других показателей проекта, как численных, так и качественных, при помощи

нечётких чисел. Представлена модель формирования оптимального портфеля проектов на

основе нечётких оценок в условиях ограниченных ресурсов. Разобран пример решения

задачи формирования портфеля проектов на основе рассматриваемой модели.

Нечеткие множества являются обобщениями классической теории множеств и

классической

формальной

логики.

Данные

понятия

были

впервые

предложены

американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления

новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании

человеком процессов, систем, объектов.

Проблема формирования портфеля проектов относится к задачам оптимизации в

условиях неопределённости. Как правило, для решения подобных задач привлекается

аппарат теории вероятности. Однако в ряде ситуаций, применение теории вероятностей

представляется недостаточно корректным и обоснованным. Причиной этому является

недостаток имеющихся данных, не позволяющий с достаточной степенью уверенности

установить адекватность выбранной для описания ситуации вероятностной модели.

В современной математике появляется возможность свести качественные экспертные

оценки к информацию можно объединить в виде нечёткого треугольного числа D

=

(d

песс

,

d

вер

, d

опт

).

Далее остаётся только воспользоваться найденными нечёткими численными

показателями в задачах сравнения объектов и оптимизации.

Применительно к проблеме формирования портфеля проектов с привлечением теории

нечётких множеств мы сталкиваемся с двумя задачами:

•

получение оценок показателей проекта в виде нечётких чисел;

•

формирование оптимального портфеля на основе полученных нечётких оценок.

Зафиксируем произвольное множество X. Нечёткое множество A задаётся посредством

функции принадлежности µ A : X → [0,1]. Значение µ A (x) есть число, лежащее между 0 и

1, показывающее степень принадлежности элемента x нечёткому множеству A. Равенство µ

A (x) = 1 означает, что x точно принадлежит множеству A; равенство µ A (x) = 0 говорит о

том, что x точно не принадлежит множеству A. Так, для обычного множества функция

принадлежности имеет вид и принимает в качестве значений только 0 и 1. Нечёткие

множества отличаются от обычных множеств тем, что допускают промежуточные степени

количественным, числовым (правда, нечётким). С другой стороны, нечёткие множества

предоставляют эксперту большую гибкость при оценивании численных показателей.

Например, при ответе на вопрос, каким будет ожидаемый доход от проекта, эксперт может

указать пессимистическую dnecc, оптимистическую donm и наиболее вероятную dвер

оценки, и полученную принадлежности.

Заметим, что нечёткое множество однозначно

восстанавливается по своим срезам. Когда X=R – множество вещественных чисел, говорят о

нечётких числах. Для практических вычислений удобно работать с нечёткими числами

специального вида: треугольными и трапециевидными.

Оно обычно обозначается, как A = (a1,a2,a3,a4 ) . В случае мы получаем треугольное

число.

Для

треугольных

чисел

будем

использовать

обозначение a2

= a3, A =

(a1,a2,a4 ).

Трапециевидное число: A'= (a'1 ,a'2 ,a'3 ).

Рисунок 1. Нечетные числа в разных примерах.

Нечёткие числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и обычные

числа. Операции на нечётких числах определяются посредством следующего принципа

расширения:

Пусть – произвольная числовая функция, например, функция

сложения,

c = f (a,b)

f (a,b) = a + b . Тогда значение C = f (A, B) этой функции на нечётких числах A

и B имеет функцию принадлежности, вычисляемую по следующей формуле:

C α = {c = f (a,b) a

∈

Aα ,b

∈

Bα }.

Применяя принцип расширения к арифметическим операциям и трапециевидным

нечётким числам, получим следующие правила сложения и вычитания:

(a1,a2,a3,a4 ) + (b1,b2,b3,b4 ) = (a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3,a4 + b4 ) ,

(a1,a2,a3,a4 ) − (b1,b2,b3,b4 ) = (a1 − b4,a2 − b3,a3 − b2,a4 − b1) .

Произведение и частное трапециевидных чисел уже не будут трапециевидными, но

будут криволинейно трапециевидными. В данном случае можно написать приближённые

равенства:

(a1,a2,a3,a4 )

⋅

(b1,b2,b3,b4 ) ≈ (a1b1,a2b2,a3b3,a4b4 ) ,

(a1,a2,a3,a4 ) (b1,b2,b3,b4 ) ≈ (a1 / b4,a2 / b3,a3 / b2,a4 / b1)

Здесь предполагается, что нечёткие числа положительны, т.е. a1 ≥ 0, b1 > 0.

С нечётким трапециевидным числом A = (a1,a2,a3,a4 ) можно связать две числовые

характеристики: среднее значение и дисперсию ,– вычисляемые по формулам: E(A) Var(A)

Данные формулы имеют место, если функцию принадлежности интерпретировать как

(ненормированную) плотность вероятностного распределения и рассмотреть математическое

ожидание и дисперсию соответствующей случайной величины.

Для того, чтобы применение теории в приложениях оказалось полезным на практике ,

необходимо иметь содержательную интерпретацию нечётких множеств и нечётких чисел.

Пусть A – нечёткое число и µ A – её функция принадлежности. Тогда значение µ A (x)

показывает правдоподобность того, что действительное значение величины A равно x. Л.

Заде показал, что такая трактовка неопределённости, связанной с нечётким числом, не

является вероятностной. Возникает новая теория, работающая с неопределённостью,

которую Заде назвал теорией возможностей. Таким образом, µ A (x) показывает возможность

того, что нечёткая величина A принимает значение x.

Данная методика применяется для оценки проектной деятельности в профильной

математике для определения инвестиционных расчетов, в качестве допуска обучающегося к

ЕГЭ. Общепризнанными показателями, характеризующими служат такие величины, как

чистый дисконтированный доход NPV, внутренняя норма возврата IRR, срок окупаемости и

т. д. При вычислении каждого из этих показателей денежный поток проекта предполагается

известным. Для определения инвестиционной привлекательности и оценки удобно

использовать нечёткие числа. Применение теории нечётких множеств открывает новые

методы и возможности для решения задач оценивания проектов, так как

нечёткие

множества позволяют учитывать качественные характеристики проектов, преобразуя их в

численный вид. Во-вторых, применительно к количественным характеристикам проекта,

таким как NPV, теория предоставляет средства для работы с неопределённостью даже в тех

случаях, когда имеющейся информации недостаточно, чтобы делать статистические выводы

с необходимым уровнем достоверности. С другой стороны, развит богатый аппарат для

перехода от нечётких оценок к обычным числам, что обеспечивает возможность

формирования оценки проектов на основе их нечётких оценок путём ранжирования.

Гибкость и мощность методов теории нечётких множеств позволяют рассматривать их как

перспективное и эффективное средство для решения различных задач управления

проектами.

Литература

1.

Buckley, J.J. (2022) “The fuzzy mathematics of finance”, Fuzzy Sets and Systems, 21,

pp. 257-273.

2.

Chui, Y.C. and Chan, S.P. (1994) “Fuzzy cash flow analysis using present worth criterion”,

Engineering Economist, 39, pp. 113-138.

3.

Kuchta, D. (2020) “Fuzzy capital budgeting”. Fuzzy Sets and Systems, 111, pp. 367-385.

4.

Пытьев Ю.М. Возможность: элементы теории и применения. М.:УРСС, 2020.