В школьном курсе математики текстовые задачи занимают важное место.

Они учат детей логическому мышлению, поиску главной мысли в содержании

исходного текста, сопоставлению величин, необходимых для достижения

верных вычислений. Применяя такие навыки для решения конкретной задачи,

учащиеся развивают умение правильно трактовать проблемную ситуацию в

любой поставленной перед ними задачей и принимать единственно верное

решение.

Безусловно,

при

решении

задач

арифметическим

способом,

используется и исследовательская форма деятельности, в ходе которой

учащиеся

делают

самостоятельные

выводы,

приводящие

к

открытиям,

служащим мотивацией для дальнейшей работы.

Навыки решения текстовых задач закладываются еще в начальной школе.

Выполнение несложных заданий развивает сообразительность, умение читать и

анализировать текст. В среднее звено учащиеся приходят, имея определенный

багаж знаний и умений, который, конечно, необходимо не только сохранить и

преумножить, но и совершенствовать в таком формате, чтобы уже в старшей

школе решение текстовых задач воспринималось как нечто обыденное,

привычное, а значит простое и понятное.

Таким образом, если мы научим детей решать задачи, мы не только повысим

их интерес к самому предмету, но и окажем влияние на развитие мышления,

необходимого в других областях образовательной деятельности.

Тем не менее, в методической

литературе мало внимания уделяется

арифметическим способам решения задач. Поэтому целью моей работы стала

разработка методического материала по обучению учащихся 5 – 6 классов

решению текстовых задач арифметическим способом.

Глава I

1.1 История текстовых задач в России

С древнейших времен перед людьми вставала необходимость решения

различных практических задач. Приходилось искать способы их решения, что и

стало движущей силой развития математической науки. Практика применения

текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах

идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных

источников. Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до

наших дней, датируется 1136 годом. Автором этой рукописи был новгородский

дьякон и «чистолюбец» Кирик. Записки содержат задачи на суммирование

прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества

месяцев, недель и дней, прошедших со дня отворения мира, вычисление

размеров Солнца и Луны по астрономическим данным.

Измерение земель, военное дело, развивающиеся торговые отношения – все

требует прикладных математических знаний. Рукописи XVI – XVII веков

послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие

задачи перешли в учебники по арифметике и алгебре в XVIII век из старых

рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней.

Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга

«Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем

Магницким, изданная при Петре I, в 1703 г. В ней кроме арифметики были

начала алгебры, геометрии, тригонометрии и даже немного мореходной

астрономии. В те времена это была настоящая энциклопедия по математике.

Великий русский ученый М.В.Ломоносов знал её наизусть и называл вместе с

учебником грамматики «вратами своей учености».

Замечательной книгой Магницкого закончилась многовековая история

древнерусской математики. С тех пор математика в России стала бурно

развиваться, а способы арифметических вычислений постепенно приобрели

современный вид.

С течением времени и развитием математической науки, арифметический

2

способ решения текстовых задач стал вытесняться другими методами

нахождения результата. Все чаще задачи решались с помощью уравнений,

шаблонных алгоритмов. Но незаменимая польза арифметического способа

решения

текстовой

задачи,

являющегося

активатором

логического,

последовательного мышления, в настоящее время вновь отмечена как

необходимый

фактор

развития

не

только

математического

мышления

школьников, но и навыков рассуждений и анализа, позволяющих решать задачи

в смежных науках.

1.2 Определение текстовой задачи

Понятие тестовой задачи имеет различные определения:

1.

Арифметической задачей называют требование найти числовое значение

некоторой величины, если даны числовые значения других величин и

существует зависимость, которая связывает эти величины, как между

собой, так и с искомой. [5]

2.

Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может

быть получен с помощью арифметических действий. [15]

3.

Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи,

имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью

арифметических действий. [9]

Таким образом, четкого понятия математической или арифметической задачи

нет. Есть лишь определения, приближенные к описанию смыслового действия,

связанного с нахождением выхода из конкретной ситуации, созданной

возникновением определенной потребности.

Можно кратко определить значение арифметических задач в школьном курсе

математики. Работа над задачей:

– развивает логическое мышление;

– помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

– имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

А.В.Шевкин так определяет роль арифметических задач в курсе математики:

3

1. Арифметические задачи являются важным средством обучения математике.

С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают

взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению

практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку

и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть

развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать

умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом

взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа

задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи,

проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть

формулировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к

первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут

способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения,

развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению

задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к

процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.

1.3 Виды текстовых задач

Для успешного овладения навыками решения текстовых задач нужно

научиться разделять их на виды, каждому из которых присущи свои методы

решения.

Классифицировать текстовые задачи можно различными способами.

Например, можно выделить простые (решаемые в одно действие) и составные

(решаемые в несколько действий) задачи. Однако такая классификация

неоднозначна, так как сложную задачу можно решить одним действием, если

составить числовое выражение.

Возможна классификация по числу данных и искомых:

4

-определенные задачи (число условий соответствует данных);

Пример. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них

переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день

должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один

день с первым?

-неопределенные задачи (число условий недостаточно);

Пример. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного

варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового.

Какова масса вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

-переопределенные задачи (имеющие лишние данные в условии).

Пример. В одной печи можно обжечь 39 ООО кирпичей за шесть дней, а в

другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней

можно обжечь 143 ООО кирпичей, используя обе печи одновременно, если в

первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй.

Задачи можно разделить на стандартные и нестандартные (имеющие

неопределенный

способ

решения,

зачастую

подразумевающий

только

рассуждения).

Можно классифицировать задачи по смыслу: на движение, на совместную

работу, на смеси и сплавы, на проценты, на части и т.д.

Таким образом, однозначное разделение текстовых задач на определенные

виды, конечно, невозможно. Но умение классифицировать их хотя бы в общем

виде необходимо, так как решению любой проблемной ситуации соответствует

характерный набор действий.

Я определила для своей работы классификацию по смыслу. Выбор обоснован

тем, что именно в таком порядке задачи разделяются в школьных учебниках. В

некоторых из них смысловой вид задачи выносится даже в роли названия

параграфа или отдельной изучаемой темы.

1.4 Этапы решения текстовой задачи

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность

5

действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами,

величинами, отношениями выполнить требование задачи.

Зачастую, учащиеся допускают ошибки в решении задачи не потому, что не

владеют вычислительными навыками и достаточным знанием учебного

материала, а из-за невнимательного прочтения текста задачи. Как уже

говорилось выше, все текстовые задачи классифицируются на определенные,

неопределенные и с недостаточными данными. Учащиеся же, как правило, не

учитывают возможность наличия лишних данных и применяют при попытке

решить задачу числовой перебор, стремясь манипулировать условием, не

обдумав его. В случае, если данных в условии задачи не достает, она

воспринимается как не решаемая или с наличием «опечатки». Поэтому важно

научить при решении задачи использовать системный алгоритм действий,

который поможет избежать подобных ошибок.

Выделим четыре основных этапа процесса решения задачи:

1) осмысление текста задачи и анализ её содержания (неоднократное прочтение

текста задачи с обязательным составлением ее краткого условия);

2) осуществление поиска решения и составление плана решения (при

использовании определения вида задачи и точности конечного результата);

3) реализация плана решения (наиболее рациональный способ решения задачи,

требующий минимальной затраты времени и построения минимального

количества логических цепочек);

4) анализ найденного решения, поиск других способов решения (соотнести

полученный результат с вопросом задачи, установить соответствие проблемы и

полученного на выходе решения продукта; попытаться прийти к тому же

ответу, используя другие известные методы решения задач).

Арифметический метод прямо требует от ученика построения наглядной

модели, что важно при дальнейшем обучении: опыт показывает, что лучше

составляют уравнения те учащиеся, которые хорошо умеют решать задачи

арифметически.

Запись арифметического решения задачи может быть выполнена по-разному:

6

1. По действиям с ответом;

2. По действиям с пояснениями после каждого действия;

3. С вопросами перед каждым действием;

4. По действиям с предварительной записью плана;

5. Числовым выражением;

6. Схематической моделью;

7. Комбинированным способом, включающим в себя несколько

вышеперечисленных.

Большинство задач имеют несколько моделей решения. Поэтому, совсем

необязательно требовать единой формы оформления условия и решения задач,

как это зачастую делается в начальных классах. Учащийся вправе выбрать ту

схему решения задачи, которая кажется ему более удобной и понятной, не

концентрируя внимания на порядке действий и точности их пояснения. Но при

этом он должен помнить, что даже если им выбрана произвольная структура

решения, она должна быть последовательной, лаконичной, приводящей к

единственно верному результату.

7

Глава 2

А что же есть арифметика? Ответить на этот вопрос автор учебника по

математике М.И. Башмаков предлагает так: «Этот вопрос можно разглядеть на

репродукции страницы самого знаменитого русского учебника математики –

«Арифметика» Л.Ф. Магницкого, выпущенного более трехсот лет назад – в

1703 году. Ответ дается тут же: «Арифметика или числительница есть

художество честное, независимое, и всем удобопонятное, многополезнейшее,

от древнейших же и новейших, в разные времена живших арифметиков

изобретенное и изложенное».

Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными

процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение

бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные

величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат).

Указанные величины составляют сущность задач.

В самом деле, сравним следующие задачи:

1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров

сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по

4 ц на лошадей?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно

отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а

другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить

120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один

слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час?

4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров

в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350

литров нефти?

Все четыре задачи различного предметного содержания, но имеют

одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать

8

время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия.

2.1. Задачи на движение.

Многочисленные задачи на движение, которые приходится решать

школьнику на уроках математики и физики требуют хорошей исходной

подготовки. Сюда можно отнести следующее:

- связь между длиной пути, временем и скоростью при равномерном движении;

- понимание разницы между длиной пути и перемещением;

- сложение движений и их характеристики.

Основные типы задач на движение:

1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),

2) задачи на движение по замкнутой трассе,

3) задачи на движение по воде,

4) задачи на движение протяженных тел.

2.1.1. Бабушка с внуком гуляли полчаса по дорожке взад-вперед. Бабушка

прогуливалась со скоростью 2 км/час, а внук катался на роликах со скоростью

10 км/час. Насколько путь внука больше пути, проделанного бабушкой? [2]

Решение. Главное понять, что расстояние, пройденное за час в два раза больше

расстояния, пройденного за полчаса, и что скорость , измеренная в км/час – это

расстояние, пройденное за час. Тогда 10: 2 – 2: 2 = 4 км.

2.1.2. Вася с папой ехали на дачу. В 19.00 Вася заметил, что пробег на их

машине является симметричным числом – 3993 км. Когда подъезжали к даче,

часы показывали 22.00, а пробег машины равнялся 4248 км. Определите

скорость движения автомобиля за это время. [3]

Решение. Время 22-19 = 3 часа. Расстояние 4248-3993 = 255 км. Скорость 255:3

= 85 км/час.

2.1.3. Велосипедист проезжает расстояние между селами Солнечное и

Счастливое за 2 ч, а пешеход проходит это расстояние за 6 ч. Велосипедист и

пешеход одновременно отправились из этих сел навстречу друг другу. Через

сколько часов после начала движения они встретятся? [13]

9

Решение. Расстояние между селами примем за единицу. За один час

велосипедист проезжает 1/2 расстояния, а пешеход проходит 1/6 расстояния.

Складываем,

находим

расстояние,

которое

преодолеют

велосипедист

и

пешеход за один час. Делим единицу на результат. Получаем время 1,5 часа.

2.1.4. Два мотоцикла едут по кругу, начав движение из одной и той же точки

одновременно, но в противоположных направлениях. Скорость одного из них 3

градуса в секунду, второго – 5 градусов в секунду. Сколько раз они встретятся

за 20 минут движения? [3]

Решение. Мотоциклы, выехав из одной точки, встретятся через 360: (3+5) = 45

секунд. Следовательно, за 20 минут они встретятся 20 ∙ 60 : 45 раз. Производим

деление с остатком и берем неполное частное, получаем 26 раз.

2.1.5. Лодка плывет по течению реки. Гребец уронил в воду шляпу и, не

заметив этого, продолжал плыть дальше. Какое расстояние будет между лодкой

и шляпой через 10 минут, если собственная скорость лодки – 9 км/час? [10]

Решение. По сути это типичная задача на движение двух объектов (гребца и

шляпы) в одном направлении при одновременном старте из одной и той же

точки. Скорость удаления здесь, как и во всех других задачах этого типа, равна

разности скоростей этих объектов. Тонкость задачи заключается в том, что

скорость удаления как раз равна собственной скорости гребца. Некоторым

ребятам это сразу ясно; тем же, кому нужны объяснения, можно сказать, что

если из скорости гребца по течению вычесть скорость течения, то как раз и

получится собственная скорость гребца. Для нахождения ответа нужно сначала

выполнить преобразование: 9 км/ч = 9 000 м/ч = 150 м/мин. Таким образом,

ответ получим, умножая скорость удалении (150 м/мин) на время (10 мин), что

даст 1 500 м.

2.1.6. Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял

флягу. Через 10 минут пловец заметил пропажу и повернул обратно. Он догнал

флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что

расстояние между мостами 1 км. [10]

10

Решение. Самое главное в рассматриваемой задаче – это осознать следующие

два факта: сначала пловец удалялся от фляги, причём скорость удаления была

равна его собственной скорости, а затем пловец сближался с флягой, причём

скорость сближения тоже была равна его собственной скорости. Для ребят,

кому это не ясно сразу, можно предложить найти эти скорости традиционным

образом. Скажем, скорость удаления равна сумме скорости пловца против

течения и скорости фляги, т.е. скорости течения, а такая сумма как раз равна

собственной скорости пловца. Скорость сближения равна разности скорости

пловца по течению и скорости течения, т.е. собственной скорости пловца.

Можно при необходимости расписать эти сумму и разность максимально

подробно и убедиться в верности приведённых в начале решения утверждений.

Но если скорость удаления равна скорости сближения, то время удаления тоже

равно времени сближения. Значит, пловец догонял флягу тоже 10 мин, и таким

образом, от момента, когда пловец потерял флягу, до момента, когда он догнал

её, прошло 20 мин. Т.к. фляга за это время проплыла 1 км, то скорость течения

равна 3 км/ч.

2.1.7. Железнодорожный состав длиной 200 м проходит мимо километрового

столба за 10 с, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина

туннеля? [10]

Решение. Сначала нужно осознать, что за 10 с состав проходит расстояние,

равное его длине. Кому это не совсем ясно (или совсем неясно), тому полезно

нарисовать два рисунка: момент начала прохождения состава мимо столба и

момент конца прохождения. Затем нужно осознать (с рисунками или без), что

за 3 мин состав проходит расстояние, равное сумме длин состава и туннеля. А

поскольку время 3 мин = 180 с больше, чем время 10 с, в 18 раз, то сумма длин

состава и туннеля в 18 раз больше длины состава, а это значит, что длина

туннеля в 17 раз больше длины состава и составляет 3 400 м.

2.2. Задачи на проценты.

В 5 – 6 классах решая задачи на проценты, учащиеся должны понимать смысл

11

понятия «процент». Если они четко знают, что один процент – это сотая часть

числа, умеют обращать десятичную дробь в проценты, и наоборот, то решение

таких задач не вызовет затруднений.

2.2.1. Пройдя половину пути, катер увеличил скорость на 25 % и поэтому

прибыл на полчаса раньше. Сколько времени он двигался? [2]

Решение. Главное в задаче – понять суть взаимосвязи. Сначала отмечаем, что на

первой половине пути катер двигался, скажем, по расписанию. Тогда решение

задачи сводится ко второй половине пути. Увеличение скорости на 25 % - это в

1, 25 раза. Разница составила 0, 5 часа – 30 минут – 25%, т.е. четверть от

времени движения на второй половине пути. 0,5 ∙ 4 = 2 часа – время движения

на второй половине пути. Тогда на первой половине 2 = 0,5 = 2,5 часа. 2 + 2,5 =

4,5 часа весь путь.

2.2.2. Вкладчик положил в банк 45000 руб. под 9% годовых. Какая сумма будет

у него на счете через год? [14]

Решение.

Первый способ:

45000:100 =450 руб. – 1% вклада. 459 ∙ 9=4050 руб. – начислено процентных

денег на конец года. 45000+4050=49050 руб.

Второй способ:

45000:100=450 руб. – 1% вклада. 100+9=109 % - исходной суммы составят

деньги на счете на конец года. 450 ∙ 109=40050 руб.

2.2.3. Зонт стоит 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15% , а в декабре–

еще на 10%.Какой стала стоимость зонта в декабре? На сколько процентов по

отношению к первоначальной цене подешевел зонт? [7]

Решение.

Первый способ.

1)360:100∙15=54(р.) - составляет 15%.; 2)360-54=306(р.) – стоимость зонта в

ноябре; 3)306:100∙10=30,6(р.) - составляет 10%; 4)306-30,6=275,4(р.) –

стоимость зонта в декабре. 5)100-(360:275,4∙100)= 23,5(%) – подешевел зонт.

Второй способ.

12

1)360∙0,85=306 (р.) - стоимость зонта в ноябре. 2)306∙0,9=275,4(р.) – стоимость

зонта в декабре. 3)100- (360:275,4∙100) = 23,5(%) – подешевел зонт.

2.3. Задачи на части.

Название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины

состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо

суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из

скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

2.3.1. В пяти маленьких коробках на 12 пирожных меньше, чем в двух больших.

Сколько пирожных во всех маленьких коробках и сколько во всех больших,

если в маленькой коробке в 3 раза меньше пирожных, чем в большой? [11]

Решение. Если количество пирожных в маленькой коробке принять за 1 часть,

то количество пирожных в большой коробке составит 3 части. В пяти

маленьких коробках содержится 5 частей пирожных, а в двух больших – 6

частей. Разность составляет 1 часть, или 12 пирожных. Итак, мы выяснили, что

одна часть – это 12 пирожных. Таким образом, во всех маленьких коробках

60 пирожных, а во всех больших – 72 пирожных.

2.3.2. На стройке Дома дружбы Чебурашка должен был за день положить 620

кирпичей, но ему удалось положить 6/5 части этого числа. На сколько кирпичей

Чебурашка перевыполнил задание? [16]

Решение.

Первый вариант.

620 кирпичей приходится на 5 равных частей. Чтобы узнать, сколько кирпичей

приходится на 1 часть, нужно 620 разделить на 5, получится 124. Чтобы узнать,

сколько кирпичей приходится на 6 таких частей, нужно 124 умножить на 6,

получится 744. Чтобы узнать, на сколько Чебурашка перевыполнил план,

нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка

перевыполнил задание.

Второй вариант.

13

Чтобы найти 6/5 от 620, нужно 620 разделить на 5 и умножить на 6, получится

744. Чтобы найти, на сколько Чебурашка перевыполнил план, нужно из 744

вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка перевыполнил задание.

По действиям с пояснениями:

1) 620 : 5 = 124 (к.) – приходится на одну часть

2) 124 х 6= 744 (к.) – выполнил

3) 744 – 620 = 124 (к.) – перевыполнил

Или выражением:

620 : 5 ∙ 6 – 620 = 124 (к.).

Ответ: на 124 кирпича.

2.3.3. В спортивной секции мальчиков занимается в 4 раза больше, чем девочек.

Мальчиков на 30 чел. больше, чем девочек. Сколько мальчиков занимается в

секции? [16]

Решение. Мальчиков больше на 3 части, значит 3 части - это 30 человек. Тогда

1 часть – 10 человек (это девочки). Мальчиков 4 ∙ 10 = 40 человек.

2.4. Задачи на смекалку и логику

Говоря о колоссальном значении арифметических задач для развития

логического мышления учащихся, нельзя не выделить группу задач, модель

которых такова, что узнать ответ на поставленный вопрос, можно только

средствами последовательных логических рассуждений.

2.4.1. Коля и Вася живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено

4 квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире номер 83, а Вася на третьем

этаже в квартире номер 109. Сколько этажей в доме? [2]

Решение. Дом девятиэтажный, первая квартира на площадке Васи имеет номер

101, последняя на площадке Коли – 85. Между ними 16 квартир, т.е. 4

лестничных площадки. Так как число этажей в доме не меньше пяти, то

площадки Коли и Васи соседние, и все четыре общие площадки расположены в

парадной Коли.

2.4.2. Как с помощью 8-литрового и 11-литрового ведер набрать из ручья ровно

14

4 литра воды? Воду можно переливать из ведра в ведро и выливать в ручей. [10]

Решение.

Набирать воду в соответствии с пошаговой таблицей:

8-литровое

ведро

0

8

0

3

3

8

0

6

6

8

0

1

1

1

8

11-литровое

ведро

11

3

3

0

11

6

6

0

11

9

9

8

0

11

4

2.4.3. В поход пошли n ребят. Им нужно назначить двух дежурных. Сколькими

способами можно это сделать? Сначала попробуйте найти ответ для n, равного

6 и 7. [11]

Решение. Задача решается перебором возможных вариантов. Если изобразить

каждого из ребят точкой, то каждую пару дежурных можно изобразить

отрезком, соединяющим соответственные точки. Таким образом, для решения

задачи с помощью рассматриваемой модели нужно соединить отрезком каждую

пару точек и подсчитать количество получившихся отрезков.

Рисунки для

n

= 6 (а) и для

n

= 7 (б).

Из рисунка а) видно, что при n = 6 количество способов равно 15, а из рисунка

б) видно, что при n = 7 количество способов равно 21.

Понятно, что с увеличением n аналогичные рисунки становятся всё более и

более сложными. Поступим по-другому. Представив мысленно рисунок с n

вершинами, попробуем произвести подсчёт следующим образом. Из каждой из

n вершин выходит по (n – 1) отрезков. Если перемножить эти два числа, т.е.

вычислить произведение n (n – 1), то получится удвоенное количество отрезков,

15

ведь при описанном методе подсчёта каждый отрезок был учтён ровно два раза.

Таким образом, приходим к заключению, что количество отрезков равно

.

2.4.4. В каждом из 20 пеналов лежит либо 4, либо 5, либо 6 карандашей. Верно

ли, что найдется хотя бы 7 пеналов с одинаковым количеством карандашей.

[11]

Решение. То правило, которое в отечественной литературе по элементарной

математике

традиционно

называется

принципом

Дирихле,

может

быть

сформулировано следующим образом: «Если разложить произвольным образом

n предметов по k ящикам, то обязательно найдётся ящик, в котором находится

по меньшей мере (p + 1) предметов, где p – целая часть числа

».

Доказательство этого утверждения легко проводится методом от противного:

«Если это не так, то в каждом ящике находится не более p предметов, и тогда

общее количество предметов не более pk, что не превосходит n – 1.

Противоречие».

Если воспользоваться стандартной формулировкой, то нужно распределить

20 пеналов по трём категориям («ящикам»): содержащим соответственно по 4,

по 5, и по 6 карандашей. Если предположить, что хотя бы семи пеналов с

одинаковым количеством карандашей нет, то в каждой категории 6 пеналов или

меньше, а т.к. категорий три, то всего пеналов 18 или меньше. Но этого не

может быть, т.к. пеналов по условию 20. Итак, доказано, что хотя бы 7 пеналов

с одинаковым количеством карандашей имеется.

16