Математические задачи как средство формирования и

развития пространственных представлений обучающихся

Одним из основных условий формирования пространственных пред-

ставлений в процессе обучения геометрии является использование соот-

ветствующих упражнений. Но не все упражнения можно считать такими, а

лишь

те,

которые требуют

оперирования ранее

созданными про-

странственными образами, в которых происходит включение про-

странственных представлений в новые связи, помещение их в новые усло-

вия, определяемые условием задачи.

Следует выделить основные типы упражнений, ориентированные на

формирование и развитие пространственных представлений при обучении

геометрии:

- упражнения на исследование свойств геометрических объектов

(узнавание).

- упражнения на изображение геометрических конфигураций (вос-

произведение).

- упражнения на преобразование образов геометрических конфигу-

раций (оперирование).

- упражнения на конструирование новых образов геометрических

конфигураций.

Разработка данной типологии основана на видах деятельности, со-

ставляющих

содержание

процесса

формирования

и

развития

про-

странственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение,

оперирование и конструирование пространственных представлений).

Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать

упражнения, решение которых требует использования средств наглядно-

сти (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словес-

ным описанием и решаемые в воображении.

I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть

этой

группы

упражнений

состоит

в

следующем:

про-

странственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или

словесного описания. Требуется исследовать его свойства - выделить фор-

му, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а) Задачи - вопросы на распознавание объекта по изображению или

словесному описанию. Их основная цель - определить, принадлежит ли

данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространствен-

ных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные про-

странственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра ко-

торой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды

быть равносторонними треугольниками?

б) Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

1

Пример. ABCDEKMO - изображение куба. Выпишите все изобра-

женные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в) Задачи на сопоставление различных представлений данного про-

странственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и

т.п.)

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являют-

ся развертками данного куба?

г) Задачи на определение взаимного расположения объектов и их

элементов.

Пример. Как могут быть расположены относительно плоскости в

основания трапеции, если плоскость проходит через среднюю линию

трапеции?

Задания этой группы способствуют развитию умений удерживать

образ в памяти, рассматривать его с различных точек зрения, анализиро-

вать пространственный образ, вычленять его форму, создавать про-

странственный образ на основе восприятия различных изображений.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объек-

та, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисун-

ка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по

их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а) Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словес-

ным описанием.

Пример. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника

одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что пред-

ставляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пи-

рамиды? Изобразите данную пирамиду?

б) Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чер-

теж.

Пример 1. Достройте изображение фигуры до куба.

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды.

в) Задачи на построение и использование разверток пространствен-

ных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б)

куба.

г) Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному

описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) тре-

угольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления

проектирования)?

д) Задачи, в которых по заданной проекции пространственного

объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

2

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три по-

парно перпендикулярные плоскости:

Задания этой группы развивают глазомер, точность движений, что

также является характеристикой развитых пространственных представле-

ний.

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований

на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преоб-

разования исходных образов пространственных фигур, которые выполня-

ются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отне-

сти следующие задачи.

а) Задачи на отыскание множеств точек - образов при определенном

геометрическом преобразовании точки.

Пример. Постройте произвольный прямоугольник и его образ при

симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура

является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его об-

раза?

б) Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симмет-

рии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М

и Р на плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

в) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или

фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример. Начертите два угла, таких, что один из них может быть по-

лучен из другого с помощью центральной симметрии.

г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов пу-

тем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК

(К - середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по

ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совме-

стились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

IV.

Упражнения

на

конструирование

и

моделирование

новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или

графического реконструирования и моделирования образ пространствен-

ных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух рав-

ных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование

качественно новых пространственных образов и новых отношений между

ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовы-

вать исходный образ по форме, величине, пространственному положению,

то есть, их решение требует активного оперирования пространственными

3

образами и высокого уровня развития пространственных представлений и

воображения.

Анализ заданий каждой из выделенных групп показывает присут-

ствие всех трех видов оперирования пространственным образом, что поз-

воляет сделать вывод о том, что их использование будет активно способ-

ствовать развитию тех или иных умений, характеризующих как процесс

создания, так и процесс оперирования образами геометрических объектов,

а, следовательно, и повышению уровня развития пространственных пред-

ставлений.

Таким образом, совокупность данных упражнений можно рассмат-

ривать как одно из средств развития пространственных представлений

учащихся в процессе изучения геометрии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.

Маклаева Э.В. Подготовка учителя в педвузе к формированию про-

странственных представлений младших школьников в процессе обучения

математике: диссертация на соискание ученой степени кандидата наук –

Арзамас, 2000. – 185с.

2.

Проблемы восприятия пространства и пространственных представлений /

Под ред. Б. Г. Ананьева, Б.Ф. Ломова, М.: Изд–во АПН РСФСР, –197 с

3.

Якиманская И.С. Психологические основы математического образования.

- М.: издательский центр "Академия", 2004.– 320с.

4